2013年中考数学分类自定义之线段垂直平分线的性质

2013年中考数学分类汇编之线段垂直平分线的性质 　 一．选择题 10．（2013遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． 　 A．1 B．2 C．3 D．4 考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图． 分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数； ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°． 故②正确； ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的中垂线上． 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．　 10．（2013威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） 　 A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF 考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质． 分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可． 解答：解：∵EF垂直平分BC， ∴BE=EC，BF=CF， ∵CF=BE， ∴BE=EC=CF=BF， ∴四边形BECF是菱形； 当BC=AC时， ∵∠ACB=90°， 则∠A=45°时，菱形BECF是正方形． ∵∠A=45°，∠ACB=90°， ∴∠EBC=45° ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90° ∴菱形BECF是正方形． 故选项A正确，但不符合题意； 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意； 当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意； 当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．　 8．（2013威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（　　） 　 A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC 　 C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点 考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割． 分析：求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2=BC•AC，求出AD=BC，即可判断D． 解答：解：A．∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠C=∠ABC=72°， ∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误； B．∵DO是AB垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD， ∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误； C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确； D．∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°， ∴△DBC∽△CAB， ∴=， ∴BC2=BC•AC， ∵∠C=72°，∠DBC=36°， ∴∠BDC=72°=∠C， ∴BC=BD， ∵AD=BD， ∴AD=BC， ∴AD2=CD•AC， 即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误； 故选C． 点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．　 23．（2013泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ． 考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质． 分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度． 解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB， ∴∠∠ACB=∠FDB=90°， ∵∠F=30°， ∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）． 又AB的垂直平分线DE交AC于E， ∴∠EBA=∠A=30°， ∴直角△DBE中，BE=2DE=2． 故 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是：2． 点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．　 10．（2013临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　） 　 A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 考点：线段垂直平分线的性质． 分析：根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC． 解答：解：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，BC=CD， ∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE， ∴∠BCE=∠DCE， 在Rt△BCE和Rt△DCE中， ∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）， 故选：C． 点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 7．（2013扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　） 　 A．50° B．60° C．70° D．80° 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；几何综合题． 分析：连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=CD，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF． 解答：解：如图，连接BF， 在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD， ∵∠BAD=80°， ∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°， ∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°， ∵在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴∠CDF=∠CBF=60°． 故选B． 点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．　 9．（2013天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　） 　 A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 考点：线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质． 分析：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN=BC﹣BMCN求出即可． 解答：解： 连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D， ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm， ∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm， ∴AB==2cm=AC， ∵AB的垂直平分线EM， ∴BE=AB=cm 同理CF=cm， ∴BM==2cm， 同理CN=2cm， ∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm， 故选C． 点评：本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，喊30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．　 　 二．填空题 15．（2013义乌）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ． 考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质． 分析：先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可． 解答：解：∵AD⊥BC，∠AOC=125°， ∴∠C=∠AOC﹣∠ADC=125°﹣90°=35°， ∵D为BC的中点，AD⊥BC， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠C=35°， ∵OB平分∠ABC， ∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°． 故答案为：70°． 点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键．　 15．（2013百色）如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是 cm． 考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质． 分析：首先连接AC，由BC的垂直平分线EF经过点A，根据线段垂直平分线的性质，可得AC的长，由菱形的性质，可求得AC=AB=3，然后由勾股定理，求得OB的长，继而求得答案． 解答：解：连接AC， ∵菱形ABCD的周长为12cm， ∴AB=6，AC⊥BD， ∵BC的垂直平分线EF经过点A， ∴AC=AB=3， ∴OA=AC=， ∴OB==， ∴BD=2OB=3． 故答案为：3． 点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．　 15．（2013淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 条． 考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；新定义． 分析：根据相似三角形的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出． 解答：解：当PD∥BC时，△APD∽△ABC， 当PE∥AC时，△BPE∽△BAC， 连接PC， ∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上， ∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°， ∴∠ACP=∠PAC=36°， ∴∠PCB=36°， ∴∠B=∠B，∠PCB=∠A， ∴△CPB∽△ACB， 故过点P的△ABC的相似线最多有3条． 故答案为：3． 点评：此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．　 17．（2013烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度． 考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）． 分析：连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 解答：解：如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27°， ∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°， ∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=36°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=36°， 在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°． 故答案为：108． 点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．　 15．（2013锦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，则BE+CE= ． 考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形；分类讨论；和差倍分． 分析：本题有两种情形，需要分类讨论． 首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案． 解答：解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示： ∵AB的垂直平分线是DE， ∴AE=BE，ED⊥AB，AD=AB， ∵AE=5，tan∠AED=， ∴sin∠AED=， ∴AD=AE•sin∠AED=3， ∴AB=6， ∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6； ②若∠BAC为钝角，如答图2所示： 同理可求得：BE+CE=16． 故答案为：6或16． 点评：本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．　 16．（2013无锡）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= °． 考点：等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质． 分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 解答：解：∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∵BE⊥AC， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABE=45°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣45°）=67.5°， ∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°， ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=CF， ∴BF=EF， ∴∠BEF=∠CBE=22.5°， ∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°． 故答案为：45． 点评：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．　 14．（2013泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm． 考点：线段垂直平分线的性质． 专题：数形结合． 分析：根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长． 解答：解：∵l垂直平分BC， ∴DB=DC， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm． 故答案为：6． 点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 15．（2013荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= ． 考点：解直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理． 分析：在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE． 解答：解：∵BC=6，sinA=， ∴AB=10， ∴AC==8， ∵D是AB的中点， ∴AD=AB=5， ∵△ADE∽△ACB， ∴=，即=， 解得：DE=． 故答案为：． 点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式．　 20．（2013哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为 ． 考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义． 分析：由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE=5，S△AEC=2S△AOE=10，由S△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度；然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果． 解答：解：如图，连接EC． 由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线， ∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5， ∴S△AEC=2S△AOE=10． ∴AE•BC=10，又BC=4， ∴AE=5， ∴EC=5． 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE===3． ∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°， ∴B、C、O、E四点共圆， ∴∠BOE=∠BCE． （另解：∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO， ∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°﹣∠OBC=90°﹣（∠BCE+∠ECO） ∴∠BOE+（90°﹣（∠BCE+∠ECO））+∠EAO=90°， 化简得：∠BOE﹣∠BCE﹣∠ECO+∠EAO=0 ∵OE为AC中垂线， ∴∠EAO=∠ECO． 代入上式得：∠BOE=∠BCE．） ∴sin∠BOE=sin∠BCE=． 故答案为：． 点评：本题是几何综合题，考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、三角函数的定义等知识点，有一定的难度．解题要点有两个：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE．　 15．（2013六盘水）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于 ． 考点：梯形；线段垂直平分线的性质． 分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DE=CE，然后求出四边形ABED的周长=AD+AB+BC，然后代入数据进行计算即可得解． 解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E， ∴DE=CE， ∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=AD+AB+BC， ∵AD=4，AB=5，BC=10， ∴四边形ABED的周长=4+5+10=19． 故答案为：19． 点评：本题考查了梯形，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．　 11．（2013广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= ． 考点：线段垂直平分线的性质． 分析：根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案． 解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7， ∴PB=PA=7， 故答案为：7． 点评：本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．　 15．（2013三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q． ②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE= ． 考点：作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 分析：根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB=∠CAE=30°，即可得出AE的长． 解答：解：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°， ∴∠CBA=30°， ∴∠EAB=∠CAE=30°， ∴CE=AE=4， ∴AE=8． 故答案为：8． 点评：此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB=∠CAE=30°是解题关键．　 　 三．解答题 22．（2013义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F． （1）若⊙O的半径为8，求CD的长； （2）证明：PE=PF； （3）若PF=13，sinA=，求EF的长． 考点：切线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形． 分析：（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长； （2）由PE是⊙O的切线，易证得∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，继而可证得∠PEF=∠PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF； （3）首先过点P作PG⊥EF于点G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF•sinA=13×=5，又由等腰三角形的性质，求得答案． 解答：解：（1）连接OD， ∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8， ∴OB=OA=4，BC=BD=CD， ∴在Rt△OBD中，BD==4， ∴CD=2BD=8； （2）∵PE是⊙O的切线， ∴∠PEO=90°， ∴∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A， ∵OE=OA， ∴∠A=∠AEO， ∴∠PEF=∠PFE， ∴PE=PF； （2）过点P作PG⊥EF于点G， ∴∠PGF=∠ABF=90°， ∵∠PFG=∠AFB， ∴∠FPG=∠A， ∴FG=PF•sinA=13×=5， ∵PE=PF， ∴EF=2FG=10． 点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．　 18．（2013乐山）如图，已知线段AB． （1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）； （2）在（1）中所作的直线l上任意取两点M，N（线段AB的上方）．连结AM，AN，BM，BN．求证：∠MAN=∠MBN． 考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 分析：（1）根据线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，AN=BN，再根据等边对等角可得∠MAB=∠MBA，∠NAB=∠NBA，进而可得∠MAN=∠MBN． 解答：解：（1）如图所示： （2）∵l是AB的垂直平分线， ∴AM=BM，AN=BN， ∴∠MAB=∠MBA，∠NAB=∠NBA， ∴∠MAB﹣∠NAB=∠MBA﹣∠NBA， 即：∠MAN=∠MBN． 点评：此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 25．（2013上海市）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值； （3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值． 考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；勾股定理；直线与圆的位置关系；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质． 分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y关于x的函数解析式；注意求x的取值范围时，需考虑计算x最大值与最小值的情形； （2）如答图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ的长；利用垂直平分线的性质PQ=BQ，列方程求出x的值； （3）如答图2所示，关键是证明△CEQ∽△ABP，据此列方程求出x的值． 解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25． ∵MQ是线段BP的垂直平分线， ∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°， ∴∠MBQ+∠BQM=90°， ∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM， 又∵∠A=∠BMQ=90°， ∴△ABP∽△MQB， ∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）． 当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1； 又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13． ∴y=（x2+25）（1≤x≤13）． （2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示： 设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y； ∵PQ=BQ， ∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0 将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0， 解此分式方程得：x=， 经检验，x=是原方程的解且符合题意． ∴x=． （3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE． ∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）． ∵PQ=BQ，∴∠3=∠4， 而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3． 又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5， ∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°， ∴△CEQ∽△ABP， ∴，即，化简得：4x+5y=65， 将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65， 解此分式方程得：x=， 经检验，x=是原方程的解且符合题意， ∴x=． 点评：本题是中考压轴题，难度较大．试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错．　 21．（2013梅州）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB与点E，且CF=AE， （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数． 考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的性质． 分析：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即∠ABC=45°，进而求出∠A=45度． 解答：（1）证明：∵EF垂直平分BC， ∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD， 又∵∠ACB=90°， ∴EF∥AC， ∴BE：AB=DB：BC， ∵D为BC中点， ∴DB：BC=1：2， ∴BE：AB=1：2， ∴E为AB中点， 即BE=AE， ∵CF=AE， ∴CF=BE， ∴CF=FB=BE=CE， ∴四边形BECF是菱形． （2）解：∵四边形BECF是正方形， ∴∠CBA=45°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A=45°． 点评：此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等知识，根据已知得出∠CBA=45°是解题关键．