风雨同行
相似三角形专题
一、选择题
1.(2010·北京)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥BC,若AD∶AB=3∶4,AE=6,则AC等于 ( )
A. 3 B. 4 C. 6 D.8
答案 D
解析 ∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴eq \f(AD,AB)=eq \f(AE,AC).
∴eq \f(3,4)=eq \f(6,AC),AC=8.
2.(2011·威海)在▱ABCD中,点E为AD的中点,连接BE,交AC于点F,则AF∶CF=( )
A.1∶2
B.1∶3
C.2∶3
D.2∶5
答案 A
解析 在▱ABCD中,AD綊BC,
∴AE=eq \f(1,2)AD=eq \f(1,2)BC.
由△AFE∽△CFB得,eq \f(AF,CF)=eq \f(AE,BC)=eq \f(\f(1,2)BC,BC)=eq \f(1,2).
3.(2011·泰安)如图,点F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( )
A.eq \f(ED,EA)=eq \f(DF,AB) B.eq \f(DE,BC)=eq \f(EF,FB)
C.eq \f(BC,DE)=eq \f(BF,BE) D.eq \f(BF,BE)=eq \f(BC,AE)
答案 C
解析 在▱ABCD中,BC∥AD,所以△BCF∽△EDF,eq \f(BC,DE)=eq \f(BF,EF),故结论C错误.
4.(2011·潼南)若△ABC∽△DEF,它们的面积比为4∶1,则△ABC与△DEF的相似比为( )
A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4
答案 A
解析 由△ABC∽△DEF,得AB∶DE=eq \r(4)=2.
5.(2010·黔东南)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD为斜边上的高,若AC=m,AB=n,则△BCD的面积与△ACD的面积比eq \f(S△BCD,S△ACD)的值是( )
A. eq \f(n2,m2) B.1-eq \f(n2,m2)
C. eq \f(n2,m2)-1 D. eq \f(n2,m2)+1
答案 C
解析 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=m,AB=n.得BC2=n2-m2;又∠ACB=90°,CD⊥AB,所以△BCD∽△CAD,eq \f(S△BCD,S△ACD)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,AC)))2=eq \f(BC2,AC2)=eq \f(n2-m2,m2)=eq \f(n2,m2)-1.
二、填空题
6.(2010·兰州)如图,上体育课甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲、乙两同学相距1 m,甲身高1.8 m,乙身高1.5 m,则甲的影子是________m.
答案 6
解析 由△ADE∽△ACB,得eq \f(AD,AC)=eq \f(DE,BC).
又∵AC=AD+1,
∴eq \f(AD,AD+1)=eq \f(1.5,1.8),AD=5,
∴AC=5+1=6.
7.(2011·黄冈)如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC、S△ADF、S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=__________.
答案 2
解析 过D画DG∥BC交AE于G,易证△BEF≌△DGF,
S△BEF=S△DGF,△ADG∽ACE,S△ADG∶S△ACE=1∶4,
所以S△ADF-S△BEF=S△ADG=eq \f(1,4)S△ACE
=eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12×\f(2,3)))=2.
8.(2011·苏州)如图,已知△ABC是面积为eq \r(3)的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于______(结果保留根号).
答案 eq \f(3-\r(3),4)
解析 过F画FG⊥AE于G,易求△ABC的边长AB=2,则AD=AE=1.在Rt△EFG中,∠E=60°,EG=eq \f(\r(3),3)FG,在Rt△AFG中,∠FAG=45°,FG=AG.∵EG+AG=AE=1,∴eq \f(\r(3),3)FG+FG=1,FG=eq \f(3-\r(3),2),∴S△AEF=eq \f(1,2)AE·FG=eq \f(1,2)×1×eq \f(3-\r(3),2)=eq \f(3-\r(3),4).
9.(2011·鸡西)如图,△ABC是边长为1的等边三角形.取BC边中点E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四边形EDAF,它的面积记作S1;取BE中点E1,作E1D1∥FB,E1F1∥EF,得到四边形E1D1FF1,它的面积记作S2;……;照此规律作下去,则S2011=____________.
答案 eq \f(\r(3),8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2010
解析 ∵AB=BC=AC=1,
∴S△ABC=eq \f(\r(3),4),S1=eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),4)=eq \f(\r(3),8)=eq \f(\r(3),8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))0,
S2=eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(\r(3),4)))=eq \f(\r(3),32)=eq \f(\r(3),8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))1,
S3=eq \f(\r(3),8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,……,
Sn=eq \f(\r(3),8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n-1,所以S2011=eq \f(\r(3),8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2010.
10.(2011·凉山)已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上,若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则eq \f(MC,AM)的值是________.
答案 eq \f(8,5)或eq \f(8,11)
解析 (1)当点E在线段AD上,AE=AD-DE=8-3=5,由AD∥BC,得△AEM∽△CBM,eq \f(AM,CM)=eq \f(AE,BC)=eq \f(5,8).
(2)当点E在线段AD的延长线上,AE=AD+DE=8+3=11,由AD∥BC,得△AEM∽△CBM,eq \f(CM,AM)=eq \f(BC,AE)=eq \f(8,11).
三、解答题
11.(2010·衢州)如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P1、P2、P3、P4、P5、D、F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连结相应线段,不必说明理由).
解 (1)△ABC和△DEF相似.理由如下:
根据勾股定理,得AB=2 eq \r(5),AC=eq \r(5),
BC=5;
DE=4 eq \r(2),DF=2 eq \r(2),EF=2eq \r(10).
∵eq \f(AB,DE)=eq \f(AC,DF)=eq \f(BC,EF)=eq \f(\r(5),2 \r(2)),
∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可.
△P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,
△P4P5D,△P2P4 P5,△P1FD.
12.(2010·南京)如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长交CE于点E.
(1)求证:△ABD∽CED;
(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.
解 (1)在正△ABC中,
∠ACB=∠A=60°,
∴∠ACF=120°.
∵CE平分∠ACF,
∴∠ACE=eq \f(1,2)∠ACF=60°.
∴∠A=∠ACE.
又∵∠ADB=∠CDE,
∴△ABD∽△CED.
(2)∵△ABD∽△CED,
∴eq \f(AB,CE)=eq \f(AD,CD)=2.
∴CE=eq \f(1,2)AB=3.
过E作EG⊥BF于G,
在Rt△CEG中,
∠ECG=60°,CE=3,
∴CG=eq \f(3,2),EG=eq \f(3,2) eq \r(3).
在Rt△BEG中,BG=BC+CG=6+eq \f(3,2)=eq \f(15,2),
∴BE=eq \r(BG2+EG2)=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2) \r(3)))2)
=eq \r(63)=3 eq \r(7).
14.(2010·成都)已知:在菱形ABCD中,O是对角线BD上的一动点.
(1)如图甲,P为线段BC上一点,连接PO并延长交AD于点Q,当O是BD的中点时,求证:OP=OQ;
(2)如图乙,连接AO并延长,与DC交于点R,与BC的延长线交于点S.若AD=4,∠DCB=60°,BS=10,求AS和OR的长.
解 (1)在菱形ABCD中,AD∥BC,
∴∠QDO=∠PBO,∠DQO=∠BPO.
∵O是BD中点,∴BO=DO.
∴△BOP≌△DOQ.
∴OP=OQ.
(2)如图,过A作AT⊥BC,与CB的延长线交于T.
∵ABCD是菱形,∠DCB=60°,
∴AB=AD=4,∠ABT=60°,
∴AT=AB·sin 60°=2 eq \r(3),TB=AB·sin 60°=2.
∵BS=10,∴TS=TB+BS=12.
∴AS=eq \r(AT2+TS2)=2eq \r(39).
∵AD∥BS,∴△AOD∽△SOB,
∴eq \f(AO,OS)=eq \f(AD,SB)=eq \f(4,10)=eq \f(2,5).
则eq \f(AS-OS,OS)=eq \f(2,5),∴eq \f(AS,OS)=eq \f(7,5).
∵AS=2eq \r(39),∴OS=eq \f(5,7)AS=eq \f(10\r(39),7).
同理可得△ARD∽△SRC,∴eq \f(AR,RS)=eq \f(AD,SC)=eq \f(4,6)=eq \f(2,3),
则eq \f(AS-SR,RS)=eq \f(2,3),∴eq \f(AS,RS)=eq \f(5,3),∴RS=eq \f(3,5)AS=eq \f(6\r(39),5).
∴OR=OS-RS=eq \f(10\r(39),7)-eq \f(6\r(39),5)=eq \f(8\r(39),35).
一份耕耘,一份收获
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