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高中數學(一)講義
33第三章 數列與級數
第三章 數列與級數
3-1 等差數列與等比數列
一. 等差數列與級數:
公式:若一等差數列之首項為a1,公差為d,則:
第n項an a1 (n – 1)d。
第n項之和Sn
。
二. 等比數列與級數:
公式:若一等比數列之首項為a1,公比為r,則:
第n項an a1rn1。
第n項之和Sn
(r ( 1);Sn na1(r 1)。
三. 級數之和:
定義:
a1 a2 …… an。
性質:
。
公式:
1 2 …… n
。
12 22 …… n2
。
13 23 …… n3
。
在10與5間插8個數,使10個數字形成一個等差數列,求a5 ______。
解:a1 10,a10 5 10 9d ∴d
。
a5 10 4d 10
。
an 為等比數列,設第n項為an,已知a4 5,a9 20
,求
a16 設am 10000,則m的最小值。
解:a4 a1 ( r3……,a9 a1 ( r8……,
r
,a1
,a16
320。
10000,
2000,
2000
210 1024,211 2048 ∴
11,m 26。
有一等差數列,第10項是23,第25項是22,當n為多少時,前n項的和之值為最大,又其值為何?
解:a10 a 9d 23……
a25 a 24d 22……
( d 3,a 50
an a (n – 1)d 50 – 3 – (n – 1) 0 ∴n
表此數列前17項均為正
S17
442。
某甲向銀行貸款100萬元,約定從次月開始每月還給銀行1萬元,依月利率0.6%複利計算,則某甲需要幾年就可還清?
(答案以四捨五入計算成整數,而log2 0.3010,log1.006 0.0026)
解:設n個月後可還清,依題意
100(1 0.006)n 1 ( (1.006)n – 1 1 ( (1.006)n2 …… 1 ( (1.006)1+1
0.6 ( (1.006)n (1.006)n – 1
0.4 ( (1.006)n 1 (
= (1.006)n ( log10 – log4 = nlog1.006
( n 153.076 (
≒12.75年 ∴至少需13年。
求下列各題:
。
解:
。
1155。
5 ( (22 23 …… 211) 5 (
5 ( 4 ( 1023 20460。
設有一數列 an 之前n項和為3n2 4,則a1 ______,an ______。
解:a1 S1 7。
an Sn – Sn – 1 6n – 3。(n
2)
求
______。
解:原式
。
( 精 選 類 題 (
一. 若一數列 an 之前n項和Sn 2n2 n,則a1 ______,an ______。
答:3,4n 1
二. 設有一複數等比數列,首項為1 2i,第二項為3 i,求此數列前5項之和為______。
答:6 – 13i
三. 設Sn 1
,若2 – Sn 0.001;則n之最小值為______。
答:11
四. 求
______。
答:
五. 求
______。
答:
六. 設二等差數列 an , bn ,前n項和各為Sn , Sn(,
若an : bn (7n 3) : (n 3),求Ss : Ss( ______。
若
:
(7n 3) : (n 3),求a7 : b7 ______。
答:4 : 1 47 : 8
七. 一等比級數之公比為r,首項為a,前n項之和為48,前2n項之和為60,試求
rn ______
______ 前3n項和S3n ______。
答:
64 63
八. 設年利率為12.5%,若依複利計算,則至少需要幾年(取整數年),本利和才會超過本金2倍。(log 2 0.3010,log 3 0.4771)
答:6年
九. 設 an 為一等比數列,首項a
,公比
,求使an
的最小自然數n。
答:10
3-2 無窮等比級數與循環小數
一. 無窮等比數列的數斂與發散:
一無窮等比數列a1 , a1r , a1r2 , …… , a1rn1 , ……
若1 r 1時,則此數列趨近於0。
若r 1時,則此數列趨近於a1。
若r 1或r ( 1時,則此數列不趨於某一定數(數列發散)。
二. 無窮等比級數的和:
一無窮等比級數a1 a1r a1r2 …… a1rn1 ……
若1 r 1時,則此級數和為
。
若r ( 1或r ( 1時,則此級數和不存在。
若數列
收斂,求x的範圍為______。
解:
1 ( | 3x | | 2x 1 | ( (3x)2 (2x 1)2 ( (5x 1)(x – 1) 0
(
x 1。
當
1 ( x 1 ∴
x ( 1。
無窮等比級數1 x(1 – x) x2(1 – x)2 …… xn1(1 – x)n1 ……收斂且公比不為0,則x的範圍為______ 和為______。
解:公比 x(1 – x) ( | x(1 – x) | 1且x ( 0或1
( (x2 – x – 1)(x2 – x 1) 0且x ( 0或1 ( x2 – x – 1 0且x ( 0或1
(
x
且x ( 0或1。
Sn =
。
求無窮級數 1
的和
的和。
解:r
,S
2。
r
,S
。
無窮等比級數
,Sn表前n項的和,求
Sn。
解:Sn 1
Sn
EMBED Equation.3 。
設無窮等比級數1
……的和為S,其前n項之和為Sn,若 | S – Sn |
,則n至少為______。
解:∵| S – Sn |
(
(
( n最小為7。
求下列各值:
。
解:
……)
∵r
1為發散級數 ∴
發散。
……) 2 (
2 (
。
將下列循環小數化為分數形式:
。
解:
0.727272…
…
。
0.3
0.3 0.0666… 0.3 0.06 0.006 0.0006 …
…)
。
( 精 選 類 題 (
一. 若無窮等比級數
收斂,則
x的範圍為______ 和為______。
答:
x 1,
二. 皮球離地10公尺掉下,若每次返彈高度為落下高度的
,問皮球所經過幾公尺。
答:90m
三. 一無窮等比級數之首項為
,第二項為
,則此級數之和為______。
答:
四. 設無窮等比級數3
的和為S,其前n項之和為Sn,若
| S – Sn |
,則n至少為______。
答:4
五. 求
______。
答:
六. 求
______。
答:
七. 試求無窮級數1
之和。
答:
八. 有一無窮等比級數,其和為
,第四項為
,若公比為一有理數,求公比。
答:
3-3 數學歸納法
設n ( N,試證1 2 ( 2 3 ( 22 …… n ( 2n1 1 (n – 1) ( 2n。
解:n 1時,左式右式。
假設n k時原式成立,即1 2 ( 2 3 ( 22 …… k ( 2k1 1 (k – 1) ( 2k,
當n k 1時,
左式 1 2 ( 2 3 ( 22 …… k ( 2k – 1 (k 1) ( 2k
1 (k – 1) ( 2k (k 1) ( 2k 1 k ( 2k 1 右式。
設P ( 1,證明對於任意自然數n,(1 P)n ( 1 nP。
解:n 1時,原式成立。
假設n k時原式成立,即(1 P)k ( 1 kP,
當n k 1時,
(1 P)k1 (1 kP)(1 P) 1 (k 1)P kP2 1 (k 1)P。
設n ( N,試證10n 3 ( 4n2 5為恆9的倍數。
解:n 1時,原式 207為9的倍數。
假設n k時,10k 3 ( 4k 3 5 9P,P ( N
當n k 1時,10k 1 3 ( 4k 3 5 10 ( 10k 12 ( 4k 2 5
(10k 3 ( 4k 2 5) 9 ( 10k 9 ( 4k 2。
( 精 選 類 題 (
一. 設n ( N,試證:13 23 33 …… n3
。
二. 設n ( N,且n ( 4,試證2n ( n2。
三. 若n ( N,且n ( 2,試證23n – 7n – 1為49的倍數。
四. 已知對所有正整數n,32n 1 2n 2恆為某一質數的倍數,試求此質數並驗證你的答案。
( 範例1
( 範例2
( 範例3
( 範例4
( 範例5
( 範例6
( 範例7
( 範例1
( 範例2
( 範例3
( 範例4
( 範例5
( 範例6
( 範例7
( 範例1
( 範例2
( 範例3
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