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高中數學(一)第3章_數列與級數

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高中數學(一)第3章_數列與級數 PAGE 42 高中數學(一)講義 33第三章 數列與級數 第三章 數列與級數 3-1 等差數列與等比數列 一. 等差數列與級數: 公式:若一等差數列之首項為a1,公差為d,則: 第n項an  a1  (n – 1)d。 第n項之和Sn  。 二. 等比數列與級數: 公式:若一等比數列之首項為a1,公比為r,則: 第n項an  a1rn1。 第n項之和Sn  (r ( 1);Sn  na1(r  1)。 三. 級數之和: 定義:  a1  a2  ……  a...

高中數學(一)第3章_數列與級數
PAGE 42 高中數學(一)講義 33第三章 數列與級數 第三章 數列與級數 3-1 等差數列與等比數列 一. 等差數列與級數: 公式:若一等差數列之首項為a1,公差為d,則: 第n項an  a1  (n – 1)d。 第n項之和Sn  。 二. 等比數列與級數: 公式:若一等比數列之首項為a1,公比為r,則: 第n項an  a1rn1。 第n項之和Sn  (r ( 1);Sn  na1(r  1)。 三. 級數之和: 定義:  a1  a2  ……  an。 性質:     。 公式:  1  2  ……  n  。       12  22  ……  n2  。       13  23  ……  n3  。 在10與5間插8個數,使10個數字形成一個等差數列,求a5 ______。 解:a1  10,a10  5  10  9d ∴d  。 a5  10  4d  10  。  an 為等比數列,設第n項為an,已知a4  5,a9  20 ,求 a16 設am  10000,則m的最小值。 解:a4  a1 ( r3……,a9  a1 ( r8……,  r  ,a1  ,a16   320。   10000,  2000,  2000 210  1024,211  2048 ∴  11,m  26。 有一等差數列,第10項是23,第25項是22,當n為多少時,前n項的和之值為最大,又其值為何? 解:a10  a  9d  23…… a25  a  24d  22……  ( d  3,a  50 an  a  (n – 1)d  50 – 3 – (n – 1)  0 ∴n   表此數列前17項均為正 S17   442。 某甲向銀行貸款100萬元,約定從次月開始每月還給銀行1萬元,依月利率0.6%複利計算,則某甲需要幾年就可還清? (答案以四捨五入計算成整數,而log2  0.3010,log1.006  0.0026) 解:設n個月後可還清,依題意 100(1  0.006)n  1 ( (1.006)n – 1  1 ( (1.006)n2  ……  1 ( (1.006)1+1  0.6 ( (1.006)n  (1.006)n – 1 0.4 ( (1.006)n  1 ( = (1.006)n ( log10 – log4 = nlog1.006 ( n  153.076 ( ≒12.75年 ∴至少需13年。 求下列各題:     。 解: 。   1155。   5 ( (22  23  ……  211)  5 (  5 ( 4 ( 1023  20460。 設有一數列 an 之前n項和為3n2  4,則a1 ______,an ______。 解:a1  S1  7。 an  Sn – Sn – 1  6n – 3。(n 2) 求 ______。 解:原式 。 ( 精 選 類 題 ( 一. 若一數列 an 之前n項和Sn  2n2  n,則a1 ______,an ______。 答:3,4n  1 二. 設有一複數等比數列,首項為1  2i,第二項為3  i,求此數列前5項之和為______。 答:6 – 13i 三. 設Sn  1  ,若2 – Sn  0.001;則n之最小值為______。 答:11 四. 求 ______。 答: 五. 求 ______。 答: 六. 設二等差數列 an  ,  bn ,前n項和各為Sn , Sn(, 若an : bn  (7n  3) : (n  3),求Ss : Ss( ______。 若 :  (7n  3) : (n  3),求a7 : b7 ______。 答:4 : 1 47 : 8 七. 一等比級數之公比為r,首項為a,前n項之和為48,前2n項之和為60,試求 rn ______  ______ 前3n項和S3n ______。 答: 64 63 八. 設年利率為12.5%,若依複利計算,則至少需要幾年(取整數年),本利和才會超過本金2倍。(log 2  0.3010,log 3  0.4771) 答:6年 九. 設 an 為一等比數列,首項a  ,公比 ,求使an  的最小自然數n。 答:10 3-2 無窮等比級數與循環小數 一. 無窮等比數列的數斂與發散: 一無窮等比數列a1 , a1r , a1r2 , …… , a1rn1 , …… 若1  r  1時,則此數列趨近於0。 若r  1時,則此數列趨近於a1。 若r  1或r ( 1時,則此數列不趨於某一定數(數列發散)。 二. 無窮等比級數的和: 一無窮等比級數a1  a1r  a1r2  ……  a1rn1  …… 若1  r  1時,則此級數和為 。 若r ( 1或r ( 1時,則此級數和不存在。 若數列 收斂,求x的範圍為______。 解:  1 ( | 3x |  | 2x  1 | ( (3x)2  (2x  1)2 ( (5x  1)(x – 1)  0 (  x  1。 當  1 ( x  1 ∴  x ( 1。 無窮等比級數1  x(1 – x)  x2(1 – x)2  ……  xn1(1 – x)n1  ……收斂且公比不為0,則x的範圍為______ 和為______。 解:公比 x(1 – x) ( | x(1 – x) |  1且x ( 0或1 ( (x2 – x – 1)(x2 – x  1)  0且x ( 0或1 ( x2 – x – 1  0且x ( 0或1 (  x  且x ( 0或1。 Sn = 。 求無窮級數 1  的和  的和。 解:r  ,S   2。 r  ,S  。 無窮等比級數 ,Sn表前n項的和,求 Sn。 解:Sn  1  Sn  EMBED Equation.3 。 設無窮等比級數1   ……的和為S,其前n項之和為Sn,若 | S – Sn |  ,則n至少為______。 解:∵| S – Sn |  ( ( ( n最小為7。 求下列各值:   。 解:   ……) ∵r   1為發散級數 ∴ 發散。    ……)  2 (  2 ( 。 將下列循環小數化為分數形式:   。 解:  0.727272…   …  。   0.3   0.3  0.0666…  0.3  0.06  0.006  0.0006  …   …)   。 ( 精 選 類 題 ( 一. 若無窮等比級數 收斂,則 x的範圍為______ 和為______。 答:  x  1, 二. 皮球離地10公尺掉下,若每次返彈高度為落下高度的 ,問皮球所經過幾公尺。 答:90m 三. 一無窮等比級數之首項為 ,第二項為 ,則此級數之和為______。 答: 四. 設無窮等比級數3  的和為S,其前n項之和為Sn,若 | S – Sn |  ,則n至少為______。 答:4 五. 求 ______。 答: 六. 求 ______。 答: 七. 試求無窮級數1  之和。 答: 八. 有一無窮等比級數,其和為 ,第四項為 ,若公比為一有理數,求公比。 答: 3-3 數學歸納法 設n ( N,試證1  2 ( 2  3 ( 22  ……  n ( 2n1  1  (n – 1) ( 2n。 解:n  1時,左式右式。 假設n  k時原式成立,即1  2 ( 2  3 ( 22  ……  k ( 2k1  1  (k – 1) ( 2k, 當n  k  1時, 左式 1  2 ( 2  3 ( 22  ……  k ( 2k – 1  (k  1) ( 2k  1  (k – 1) ( 2k  (k  1) ( 2k  1  k ( 2k  1 右式。 設P ( 1,證明對於任意自然數n,(1  P)n ( 1  nP。 解:n  1時,原式成立。 假設n  k時原式成立,即(1  P)k ( 1  kP, 當n  k  1時, (1  P)k1  (1  kP)(1  P)  1  (k  1)P  kP2  1  (k  1)P。 設n ( N,試證10n  3 ( 4n2  5為恆9的倍數。 解:n  1時,原式 207為9的倍數。 假設n  k時,10k  3 ( 4k  3  5  9P,P ( N 當n  k  1時,10k  1  3 ( 4k  3  5  10 ( 10k  12 ( 4k  2  5  (10k  3 ( 4k  2  5)  9 ( 10k  9 ( 4k  2。 ( 精 選 類 題 ( 一. 設n ( N,試證:13  23  33  ……  n3  。 二. 設n ( N,且n ( 4,試證2n ( n2。 三. 若n ( N,且n ( 2,試證23n – 7n – 1為49的倍數。 四. 已知對所有正整數n,32n  1  2n  2恆為某一質數的倍數,試求此質數並驗證你的答案。 ( 範例1 ( 範例2 ( 範例3 ( 範例4 ( 範例5 ( 範例6 ( 範例7 ( 範例1 ( 範例2 ( 範例3 ( 範例4 ( 範例5 ( 範例6 ( 範例7 ( 範例1 ( 範例2 ( 範例3 _1082066983.unknown _1082068108.unknown _1082068822.unknown _1082069303.unknown _1112687034.unknown _1114949279.unknown _1114949297.unknown _1112687062.unknown _1082069607.unknown _1082069704.unknown _1082069857.unknown _1082554548.unknown _1082554652.unknown _1112686740.unknown _1082554651.unknown _1082069878.unknown _1082070569.unknown _1082069863.unknown _1082069818.unknown _1082069836.unknown _1082069730.unknown _1082069751.unknown _1082069636.unknown _1082069682.unknown _1082069623.unknown _1082069528.unknown _1082069566.unknown _1082069596.unknown _1082069536.unknown _1082069424.unknown _1082069480.unknown _1082069347.unknown _1082069146.unknown _1082069227.unknown _1082069251.unknown _1082069275.unknown _1082069231.unknown _1082069206.unknown _1082069217.unknown _1082069161.unknown _1082069024.unknown _1082069112.unknown _1082069119.unknown _1082069106.unknown _1082069063.unknown _1082068849.unknown _1082068884.unknown _1082068938.unknown _1082068831.unknown _1082068551.unknown _1082068648.unknown _1082068745.unknown _1082068775.unknown _1082068709.unknown _1082068595.unknown _1082068620.unknown _1082068578.unknown _1082068484.unknown _1082068521.unknown _1082068532.unknown _1082068497.unknown _1082068392.unknown _1082068405.unknown _1082068128.unknown _1082067546.unknown _1082067962.unknown _1082068037.unknown _1082068084.unknown _1082068003.unknown _1082067709.unknown _1082067717.unknown _1082067690.unknown _1082067257.unknown _1082067287.unknown _1082067515.unknown _1082067272.unknown _1082067194.unknown _1082067234.unknown _1082067063.unknown _1082065959.unknown _1082066539.unknown _1082066692.unknown _1082066787.unknown _1082066819.unknown _1082066736.unknown _1082066654.unknown _1082066660.unknown _1082066640.unknown _1082066006.unknown _1082066174.unknown _1082066195.unknown _1082066031.unknown _1082065977.unknown _1082065992.unknown _1082065964.unknown _1082065527.unknown _1082065727.unknown _1082065867.unknown _1082065908.unknown _1082065923.unknown _1082065729.unknown _1082065567.unknown _1082065578.unknown _1082065548.unknown _1082065369.unknown _1082065438.unknown _1082065472.unknown _1082065495.unknown _1082065409.unknown _1082065227.unknown _1082065302.unknown _1082065131.unknown
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分类:高中数学
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