1-2線性方程組

第二節 高斯消去法 (Gaussian Elimination) 在上一節中的例 11 中，利用基本列運算化簡線性方程組的增 廣矩陣求得一組解，而且恰有一組解，但是否每一個線性方程組都是 如此呢？試觀察下面的例子： 例 1：解 { )1( 164 143 510 ∗ =++ −=−+ =+ L zyx zyx zx 解：將方程組以增廣矩陣方式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，並化簡：         −− 1 1 5 614 413 1001 13 12 4 3 RR RR − −       − − − − 19 16 5 3410 3410 1001  23 RR −         − −− 3 16 5 000 3410 1001 因此 與下列 是等價的 )1( ∗ )2( ∗ { )2( 30 1634 510 ∗ −= −=− =+ Lzy zx 由第三個方程式，可知 中含有矛盾式，因此原方程組 無解。 )2( ∗ )1( ∗ 例 2：解 …（1    −=++ −=++ =−+ 15177 1252 22 zyx zyx zyx ＊） 解：化簡方程組之增廣矩陣：         − − − 15177 1252 2121 13 12 7 2 RR RR − −         − − − 151230 5410 2121 23 3RR −         − − 0000 5410 2121 21 2RR −         − − 0000 5410 12901 因此（1＊）與 是等價的。    = −=+ =− 00 54 129 zy zx 令 ，則 tz =   −−= += 54 129 ty tx 故方程組之解集合為 { }Rtttt ∈−−+ ),54,129( 。 註：上式中的解之表示為參數式，其中 為參數，其實也可以令 為 參數或 t y x為參數，但會得出不同形式的解集合，這些不同形式的 集合都是一樣。 定義 （a）一個矩陣若有下面的形式則稱為列梯形（row-echelon form） RE1. 零列一定排在最底下 RE2. 在非零列中，左邊看過來第一個非零元素是 1，稱為 領導元 1（leading 1） RE3. 每一個領導元 1 都在上方領導元 1 的右邊（好像下樓 梯一般） （b）一個列梯形的矩陣若有下列的情形又稱為最簡（reduced） RE4. 在有領導元 1 的那一行只有那一個領導元 1 不是零。 例 3: 下面的矩陣就是一個最簡的列梯形矩陣。           ∗ ∗ 000000 100000 010000 00100 00010 定理 2.1. 任何一個矩陣 M 都會與一最簡的列梯形矩陣等價，而且此 最簡的列梯形矩陣是為唯一的。 事實上只需在一個矩陣上施以一連串的列運算即可形成其最簡的 列梯形矩陣，我們常記以 RRE（M） 因此要解一個線性方程組，我們只要針對其增廣矩陣施以一連串 的列運算，使其化簡為最簡的列梯形矩陣即可。 定義（矩陣之秩） 若 M 為一個 矩陣（m 列 n 行）則 M 的秩（rank）為其最簡 列梯形矩陣中領導元 1 的個數，記為 rank（M） nm× 。 m註：rank（M）≤ ，因為 M 只有 m 列。 定理 2.2： 考慮一個線性方程組 (*) ... ... ... 2211 22222121 11212111 LLLLLM mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa =+++ =+++ =+++    ， 假設(*)至少有一解，若其增廣矩陣之秩為 r，則 )(∗ 之解集合恰含 有 n – r 個參數。 例如在本節的例 2 中，方程組之 m＝n＝3，r＝2 因此 n – r = 1， 故解集合含有一個參數。 證明見後。 系 2.3： 考慮一個線性方程組 (*) ... ... ... 2211 22222121 11212111 LLLLLM mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa =+++ =+++ =+++    的解有下列三個可 能，而且恰有其中一個成立。 （1） 無解 )(∗ （2） 有唯一解 )(∗ （3） 有無限多組解 )(∗ 我們先舉一個例子來說明定理 2.1 也就是如何將一個矩陣化簡成 最簡列梯形矩陣： 例 4: 設一矩陣 ，將 M 化簡成最簡列梯形 矩陣。         − −−= 1922930 022620 202620 912000 M 解: 第一步：先觀察 M 是否為零矩陣 [ ]0 （所有的元均為 0） 若 M＝[0] 則不必化簡。 第二步：若 M ≠ [0]，則從左邊看過來先找非零行，把這一行其 中（任何）一個非零元素 a 所在的那一個列搬到最上 方，例如 M 中的第二行是從左邊看過來最先出現不全 為 0 的行，其中 –2 在第二列（取 a = –2）可以將第二 列搬到第一列（此為列運算 I），因此 M ~ （~表等價）         − −− 1922930 022620 912000 202620 第三步：把新的矩陣的第一列乘以 a 1 （即 2 1 − ）使第一列出現第 一個領導元 1（此為列運算 II） 故得         − −− 1922930 022620 912000 101310 第四步：將領導元 1 下方的數利用列運算 III 統統化成 0， 即 14 13 )3( )2( RR RR −+ −+         −− 2225000 220000 91000 101310 2 第五步：不看第一列，重複第一步到第四步，例如出現不為零的 那一行為第四行，而其中的 2 不為零，因此利用列運算 將之化為 1 得           −− 2225000 220000 2 9 2 11000 101310 再把其下的元（即 5）利用列運算 III 變成 0，又得 25 )5( RR −+           −− −− 2 1 2 10000 220000 2 9 2 11000 101310 第六步：不看第二列，重複第一步到第四步，則得 32 1 R           −− −− 2 1 2 10000 110000 2 9 2 11000 101310 34 2 1 RR +           −− 000000 110000 2 9 2 11000 101310 第七步：將領導元 1 的上方元素由下而上逐步化為零（利用列運 算 III）則得 32 )2 1( RR −+         −− 000000 110000 401000 101310 21 RR +         000000 110000 401000 300310 因此 M 的最簡列梯形矩陣有三個領導元 1，故 rank（M） =3。 若M 是某個線性方程組之增廣矩陣，則其解將含有 n – r = 5 – 3 = 2 個參數。設參數時必須先觀察領導元 1 所出現的行數，例如上面的 最簡式中領導元 1 所出現的行為第二行、第四行、及第五行，則可將 原方程組中的第一個與第三個變數設為參數，雖然不出現領導元 1 的 行為第一行、第三行、及第六行，但第六行是方程組的常數行，所以 設參數時只設第一個與第三個變數。現在我們可以來證明定理 2.2： 證明: 假設 rank（M）＝ r，也就是 M 的最簡列梯形矩陣中有 r 個領 導元 1，設其所在的行分別為 i ， r21 r ii ,...,, 又假設 niii ≤≤≤≤≤ ...1 （在上例中 =2， =4， =5） 21 1 2 3i i i 設{ } { } { }iiinjjjj ,...,,,.....2,1...,,, −=− rrn 21321 rn21 1 且假設1 njjj ≤≤≤≤≤ −... 令 1sx j = 2sx j =2 rn− r21 ： rnj sx −= 代入最後的最簡列梯形中，則得 故 為 之解 iii xxx ,...,, ),...,,( 21 nxxx )(∗ 其中有 n – r 個參數， 接著也可以證明系 2.3： 證明: 假設 有解 )(∗ 若 n = r 則解集合中無參數，故其解為恰有一個。 若 n ＞ r 則解集合中至少有一個參數，所以其解有無限多組。