3-1行列式2
第三章 行列式
行列式是一個很特殊的函數,將一個 n 階方陣對應到由此 n 階方陣中的 n
個位元之乘積的和所產生的數。
如何計算行列式所對應的值: Laplace 展開式
在本節中將介紹如何利用 Laplace 展開式,求得一個 n 階方陣 A 的行列式,
det(A):
1. 當 n = 1 時,若 A = [ ] , 則 det(A) = a。 a 11×
2. 當 n = 2 時,若 A = , 則 det(A) = ad – bc。
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第三章 行列式
行列式是一個很特殊的函數,將一個 n 階方陣對應到由此 n 階方陣中的 n
個位元之乘積的和所產生的數。
如何計算行列式所對應的值: Laplace 展開式
在本節中將介紹如何利用 Laplace 展開式,求得一個 n 階方陣 A 的行列式,
det(A):
1. 當 n = 1 時,若 A = [ ] , 則 det(A) = a。 a 11×
2. 當 n = 2 時,若 A = , 則 det(A) = ad – bc。
c
a
d
b
22×
3. 利用 n – 1 階矩陣 M 之行列式, 求得 n 階矩陣 A 之行列式。
定義 : 假設 A 是 n 階方陣。
(a) Mij(A) 代表 A 的 (i , j) minor 即為將 A 的第 i 列及第 j 行去掉後,
所形成的 n – 1 階矩陣之行列式。
(b) Cij(A) 代表 A 的 (i, j) 餘因子(cofactor ),即 Cij(A) = (–1)i+jMij(A)
(c) det(A) 代表 A 的行列式(determinant),即
det(A) = a11C11(A) + a21C21(A) + … + an1Cn1(A) = , ∑
=
n
i
ii ACa
1
11 )(
此稱為利用第 1 行的 Laplace 展開式所得之 det(A)。
例 1 : A = , 求 det(A)。
9
1
3
8
7
4
− 6
2
5
解: M11 = det = –58 C
8
7
6
2
11 = (–1)1+1(–58) = –58
M21 = det = –64 C
8
4
− 6
5
21 = (–1)2+1( –64) = 64
M31 = det = –27 C
7
4
2
5
31 = (–1)3+1( –27) = –27
det(A) = 3(–58) + 1⋅64 + 9(–27) = –353
定理 1 :
(a) ∀ 1 ≦ j ≦ n, det(A) = , 利用第 j 行的 Laplace 展開式所
得之 det(A)。
∑
=
n
i
ijij ACa
1
)(
(b) ∀1 ≦ I ≦n ,det(A) = , 利用第 i 列的 Laplace 展開式所得
之 det(A)。
∑
=
n
j
ijij ACa
1
)(
例 2 : 設 A = , 求 det(A)
9
1
3
8
7
4
− 6
2
5
解 : 利用第 1 列的 Laplace 展開式
det(A) = 3 – 4 + 5 = –353 8
7
− 6
2
9
1
− 6
2
9
1
8
7
利用第 2 行的 Laplace 展開式
det(A) = –4 + 7 – 8 = –353 9
1
− 6
2
9
3
− 6
5
9
3
− 6
3
故知不管用哪一行哪一列所得到的展開式值都相等。
定理 2 :
假設 A 是 n 階矩陣,令 Ri 代表 A 的第 i 列,Cj 代表 A 的第 j 行,則
(a) 若 A 中有一列或一行全為零,即 Ri = 0 或 Ci = 0 ,則 det(A) = 0
(b) 若 B 為將 A 中之第 i 列與第 j 列交換後所得到之矩陣 i≠j,則 det(B) = –det(A)
(c) 若 B 中之第 i 列為 A 中之第 i 列的 c 倍,c≠0, 則 det(B) = c⋅det(A)
(d) 若 A 中有兩列或兩行相等,即 Ri = Rj 或 Ci = Cj,i≠j,則 det(A) = 0
(e) 若 B 中之第 i 列等於 A 中之第 i 列加上第 j 列的 c 倍, c≠0 ,則 det(B) = det(A)
證明: (a) 假設 Ri = [0 0 … 0] , 則 aij = 0 nj ≤≤∀1
由定理 1.1 可得
det(A) = ⋅ C∑
=
n
i
ija
1
ij(A)= ⋅ C∑
=
n
i 1
0 ij(A)=0 ,
同理 , 若 Ci = 即 a
0
.
.
.
0
ij = 0 ni ≤≤∀1 , 則 det(A) = 0
(b) 若 B 為將 A 中之第 i 列與第 j 列交換後所得到之矩陣,i≠j
利用數學歸納法於 n 來證明,
(1) 當 n = 2 時 A = 若 B 為將 A 中之第 1 列與第 2 列
交換後所得到之矩陣,即 B = 。
c
a
d
b
a
c
b
d
由於 det(A) = ad – bc,則 det(B) = cb – da = –(ad – bc) = –det(A)。
(2) 假設 B 為將 A 中之第 i0 列與第 i1 列交換後所得到之矩陣 i0 ≠ i1
若 Aij 表示將 A 中之第 i 列與第 j 行刪去後所得到之矩陣
如果 i ≠ i0 且 i ≠ i1 ,又 Bij 表示將 Aij 中之第 i0 列與第 i1 列交換後
所得到之矩陣。
由數學歸納法之假設可知, det(B ) = –det(A ) ij ij
又 det(B) = (-1) i det(B ij ) ∑
=
n
j
a
1
ij
j+
= (-1) i [– det(A ij )] ∑
=
n
j
a
1
ij
j+
= –∑ (-1) i det(A ij )
=
n
j
a
1
ij
j+
= –det(A)。
(c) 若 B 中之第 i 列為 A 中之第 i 列的 c 倍,c≠0, 則
det(B) = (-1) det(B ij ) ∑
=
n
j
b
1
ij
ji+
= ⋅ a (-1) det(A ij ) ∑
=
n
j
c
1
ij
ji+
= c ⋅ (-1) i det(A ∑
=
n
j
ija
1
j+ )ij
= c ⋅ det(A)
(d) 若 A 中有兩列或兩行相等,即 Ri = Rj 或 Ci = Cj,i≠j,
假設 Ri = Rj , i≠j
若 B 為將 A 中之第 i 列與第 j 列交換後所得到之矩陣
則 由 (b) 可知 det(B) = –det(A)
但是因為 Ri = Rj, 故 A = B , 則 det(B) = det(A)
det(A) = –det(A) ⇒
2 ⋅ det(A) = 0 ⇒
det(A) = 0 ⇒
(e) 若 B 中之第 i 列等於 A 中之第 i 列加上第 k 列的 c 倍, c ≠ 0
即 bij = aij + cakj 對於每一個 j
det(B) = ∑
=
n
j
b
1
ij (-1)i+jdet(Bij)
= (-1)∑
=
+
n
j
kjij caa
1
)( i+jdet(Aij)
= (-1)∑
=
n
j
ija
1
i+jdet(Aij) + c (-1)∑
=
n
j
kja
1
i+jdet(Aij)
= det(A) + 0 (利用(d))
= det(A)
例 3 : 當 A = ,計算 det(A)的值。
2
1
1
1
0
1−
−
6
1
3
解: 令 B 為將 A 中之第 3 列以 A 中之第 1 列加上第 3 列的和取代後所得到之矩陣,
即 B = 。
3
1
1
0
0
1−
−
9
1
3
由 定理 2(e) 可知 det(A) = det(B)
= (–1) ⋅ (– 1) ⋅
3
1
−
9
1
= (– 1) ⋅ (– 1) ⋅ (9 – (– 3))
= 12。
例 4: 證明 det( ) = (a
2
1
1
1
a
a
2
2
2
1
a
a
2
3
3
1
a
a 3 – a2)(a3 – a1)(a2 – a1)。
證明 :
det( ) = det( )
2
1
1
1
a
a
2
2
2
1
a
a
2
3
3
1
a
a
2
1
1
1
a
a
2
1
2
2
12
0
aa
aa
−
−
−
−
2
1
2
3
13
0
aa
aa
= 1 ⋅ (– 1)1 det( ) 1+
−
−
2
1
2
2
12
aa
aa
−
−
2
1
2
3
13
aa
aa
= det( ) ++−
−
)()( 1212
12
aaaa
aa
++−
−
)()( 1313
13
aaaa
aa
= ))())(()(( 12131312 aaaaaaaa +−+−−
= (a3 – a2)(a3 – a1)(a2 – a1)
定義 : (a) 當一個 n 階方陣 A = [aij] 中 aij = 0, ∀i < j, 則稱方陣 A 為下三
角矩陣,即
A =
1
11
.
.
.
na
a
.
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
nna
.
0
0
0
(b) 當一個 n 階方陣 A=[aij] 中 aij = 0, ∀i > j, 則稱方陣 A 為上三角矩
陣,即
A =
0
.
.
.
0
11a
.
.
.
0
22
12
a
a
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
⋅
0
.
.
.
11
11
−−
−
nn
n
a
a
⋅
−
nn
nn
n
a
a
a
1
1
.
.
(c) 一個 n 階三角矩陣可稱為下三角矩陣或上三角矩陣矩陣。
定理 3 : 若 A = [aij] 是一個三角矩陣,則 det(A) = ∏
=
n
i
iia
1
證明: 利用數學歸納法對 n 來證明。
假設 A 是下一個三角矩陣,則
det(A) = = a∑
=
n
j
jjCa
1
11 11C11 + a12C12 + … + a1nC1n = a11C11
由數學歸納法之假設可得 = 111111 )1( MC ⋅−= + nnaaa L3322
所以 det(A) = a11C11 = = ∏ 。 11a nnaaa L3322
=
n
i
iia
1
定理 4 : 假設 M 的方塊形式為 或 , 其中 A 和 B 都是方陣, 則
0
A
B
X
X
A
B
0
det(M) = det(A) ⋅ det(B)。
例 5:假設 , 求 det(M)。
=
300
220
212
M
解:由定理 3 可得 det(M) = 2 × 2 × 3 = 12。
例 6:假設 , 求 det(M)。
=
300
223
212
M
解:由定理 4 可得 det(M) = det( ) × det([3])
= (4 – 3) × 3 = 3。
23
12
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