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3-1行列式2 第三章 行列式 行列式是一個很特殊的函數,將一個 n 階方陣對應到由此 n 階方陣中的 n 個位元之乘積的和所產生的數。 如何計算行列式所對應的值: Laplace 展開式 在本節中將介紹如何利用 Laplace 展開式,求得一個 n 階方陣 A 的行列式, det(A): 1. 當 n = 1 時,若 A = [ ] , 則 det(A) = a。 a 11× 2. 當 n = 2 時,若 A = , 則 det(A) = ad – bc。   ...

3-1行列式2
第三章 行列式 行列式是一個很特殊的函數,將一個 n 階方陣對應到由此 n 階方陣中的 n 個位元之乘積的和所產生的數。 如何計算行列式所對應的值: Laplace 展開式 在本節中將介紹如何利用 Laplace 展開式,求得一個 n 階方陣 A 的行列式, det(A): 1. 當 n = 1 時,若 A = [ ] , 則 det(A) = a。 a 11× 2. 當 n = 2 時,若 A = , 則 det(A) = ad – bc。   c a   d b 22× 3. 利用 n – 1 階矩陣 M 之行列式, 求得 n 階矩陣 A 之行列式。 定義 : 假設 A 是 n 階方陣。 (a) Mij(A) 代表 A 的 (i , j) minor 即為將 A 的第 i 列及第 j 行去掉後, 所形成的 n – 1 階矩陣之行列式。 (b) Cij(A) 代表 A 的 (i, j) 餘因子(cofactor ),即 Cij(A) = (–1)i+jMij(A) (c) det(A) 代表 A 的行列式(determinant),即 det(A) = a11C11(A) + a21C21(A) + … + an1Cn1(A) = , ∑ = n i ii ACa 1 11 )( 此稱為利用第 1 行的 Laplace 展開式所得之 det(A)。 例 1 : A = , 求 det(A)。     9 1 3 8 7 4     − 6 2 5 解: M11 = det = –58 C  8 7   6 2 11 = (–1)1+1(–58) = –58 M21 = det = –64 C  8 4   − 6 5 21 = (–1)2+1( –64) = 64 M31 = det = –27 C  7 4   2 5 31 = (–1)3+1( –27) = –27 det(A) = 3(–58) + 1⋅64 + 9(–27) = –353 定理 1 : (a) ∀ 1 ≦ j ≦ n, det(A) = , 利用第 j 行的 Laplace 展開式所 得之 det(A)。 ∑ = n i ijij ACa 1 )( (b) ∀1 ≦ I ≦n ,det(A) = , 利用第 i 列的 Laplace 展開式所得 之 det(A)。 ∑ = n j ijij ACa 1 )( 例 2 : 設 A = , 求 det(A)     9 1 3 8 7 4     − 6 2 5 解 : 利用第 1 列的 Laplace 展開式 det(A) = 3  – 4 + 5  = –353 8 7   − 6 2   9 1   − 6 2 9 1   8 7 利用第 2 行的 Laplace 展開式 det(A) = –4  + 7  – 8 = –353 9 1   − 6 2 9 3   − 6 5   9 3   − 6 3 故知不管用哪一行哪一列所得到的展開式值都相等。 定理 2 : 假設 A 是 n 階矩陣,令 Ri 代表 A 的第 i 列,Cj 代表 A 的第 j 行,則 (a) 若 A 中有一列或一行全為零,即 Ri = 0 或 Ci = 0 ,則 det(A) = 0 (b) 若 B 為將 A 中之第 i 列與第 j 列交換後所得到之矩陣 i≠j,則 det(B) = –det(A) (c) 若 B 中之第 i 列為 A 中之第 i 列的 c 倍,c≠0, 則 det(B) = c⋅det(A) (d) 若 A 中有兩列或兩行相等,即 Ri = Rj 或 Ci = Cj,i≠j,則 det(A) = 0 (e) 若 B 中之第 i 列等於 A 中之第 i 列加上第 j 列的 c 倍, c≠0 ,則 det(B) = det(A) 證明: (a) 假設 Ri = [0 0 … 0] , 則 aij = 0 nj ≤≤∀1 由定理 1.1 可得 det(A) = ⋅ C∑ = n i ija 1 ij(A)= ⋅ C∑ = n i 1 0 ij(A)=0 , 同理 , 若 Ci = 即 a           0 . . . 0 ij = 0 ni ≤≤∀1 , 則 det(A) = 0 (b) 若 B 為將 A 中之第 i 列與第 j 列交換後所得到之矩陣,i≠j 利用數學歸納法於 n 來證明, (1) 當 n = 2 時 A = 若 B 為將 A 中之第 1 列與第 2 列 交換後所得到之矩陣,即 B = 。   c a   d b   a c   b d 由於 det(A) = ad – bc,則 det(B) = cb – da = –(ad – bc) = –det(A)。 (2) 假設 B 為將 A 中之第 i0 列與第 i1 列交換後所得到之矩陣 i0 ≠ i1 若 Aij 表示將 A 中之第 i 列與第 j 行刪去後所得到之矩陣 如果 i ≠ i0 且 i ≠ i1 ,又 Bij 表示將 Aij 中之第 i0 列與第 i1 列交換後 所得到之矩陣。 由數學歸納法之假設可知, det(B ) = –det(A ) ij ij 又 det(B) = (-1) i det(B ij ) ∑ = n j a 1 ij j+ = (-1) i [– det(A ij )] ∑ = n j a 1 ij j+ = –∑ (-1) i det(A ij ) = n j a 1 ij j+ = –det(A)。 (c) 若 B 中之第 i 列為 A 中之第 i 列的 c 倍,c≠0, 則 det(B) = (-1) det(B ij ) ∑ = n j b 1 ij ji+ = ⋅ a (-1) det(A ij ) ∑ = n j c 1 ij ji+ = c ⋅ (-1) i det(A ∑ = n j ija 1 j+ )ij = c ⋅ det(A) (d) 若 A 中有兩列或兩行相等,即 Ri = Rj 或 Ci = Cj,i≠j, 假設 Ri = Rj , i≠j 若 B 為將 A 中之第 i 列與第 j 列交換後所得到之矩陣 則 由 (b) 可知 det(B) = –det(A) 但是因為 Ri = Rj, 故 A = B , 則 det(B) = det(A) det(A) = –det(A) ⇒ 2 ⋅ det(A) = 0 ⇒ det(A) = 0 ⇒ (e) 若 B 中之第 i 列等於 A 中之第 i 列加上第 k 列的 c 倍, c ≠ 0 即 bij = aij + cakj 對於每一個 j det(B) = ∑ = n j b 1 ij (-1)i+jdet(Bij) = (-1)∑ = + n j kjij caa 1 )( i+jdet(Aij) = (-1)∑ = n j ija 1 i+jdet(Aij) + c (-1)∑ = n j kja 1 i+jdet(Aij) = det(A) + 0 (利用(d)) = det(A) 例 3 : 當 A = ,計算 det(A)的值。     2 1 1 1 0 1−     − 6 1 3 解: 令 B 為將 A 中之第 3 列以 A 中之第 1 列加上第 3 列的和取代後所得到之矩陣, 即 B = 。     3 1 1 0 0 1−     − 9 1 3 由 定理 2(e) 可知 det(A) = det(B) = (–1) ⋅ (– 1) ⋅   3 1  − 9 1 = (– 1) ⋅ (– 1) ⋅ (9 – (– 3)) = 12。 例 4: 證明 det( ) = (a     2 1 1 1 a a 2 2 2 1 a a     2 3 3 1 a a 3 – a2)(a3 – a1)(a2 – a1)。 證明 : det(  ) = det(  )   2 1 1 1 a a 2 2 2 1 a a     2 3 3 1 a a   2 1 1 1 a a 2 1 2 2 12 0 aa aa − −     − − 2 1 2 3 13 0 aa aa = 1 ⋅ (– 1)1 det( ) 1+   − − 2 1 2 2 12 aa aa   − − 2 1 2 3 13 aa aa = det(  )  ++− − )()( 1212 12 aaaa aa   ++− − )()( 1313 13 aaaa aa = ))())(()(( 12131312 aaaaaaaa +−+−− = (a3 – a2)(a3 – a1)(a2 – a1) 定義 : (a) 當一個 n 階方陣 A = [aij] 中 aij = 0, ∀i < j, 則稱方陣 A 為下三 角矩陣,即 A =      1 11 . . . na a . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . .      nna . 0 0 0 (b) 當一個 n 階方陣 A=[aij] 中 aij = 0, ∀i > j, 則稱方陣 A 為上三角矩 陣,即 A =       0 . . . 0 11a . . . 0 22 12 a a . . 0 . . . . . . . . ⋅ 0 . . . 11 11 −− − nn n a a       ⋅ − nn nn n a a a 1 1 . . (c) 一個 n 階三角矩陣可稱為下三角矩陣或上三角矩陣矩陣。 定理 3 : 若 A = [aij] 是一個三角矩陣,則 det(A) = ∏ = n i iia 1 證明: 利用數學歸納法對 n 來證明。 假設 A 是下一個三角矩陣,則 det(A) = = a∑ = n j jjCa 1 11 11C11 + a12C12 + … + a1nC1n = a11C11 由數學歸納法之假設可得 = 111111 )1( MC ⋅−= + nnaaa L3322 所以 det(A) = a11C11 = = ∏ 。 11a nnaaa L3322 = n i iia 1 定理 4 : 假設 M 的方塊形式為 或 , 其中 A 和 B 都是方陣, 則   0 A   B X   X A   B 0 det(M) = det(A) ⋅ det(B)。 例 5:假設 , 求 det(M)。         = 300 220 212 M 解:由定理 3 可得 det(M) = 2 × 2 × 3 = 12。 例 6:假設 , 求 det(M)。         = 300 223 212 M 解:由定理 4 可得 det(M) = det( ) × det([3]) = (4 – 3) × 3 = 3。    23 12
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分类:高中数学
上传时间:2013-08-12
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