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例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

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例谈“放缩法”证明不等式的基本策略例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 江苏省苏州市木渎第二高级中学 母建军 215101 近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意...

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略
例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 江苏省苏州市木渎第二高级中学 母建军 215101 近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 ,例谈“放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 例1、已知 求证: 证明: 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 ,从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例2、函数f(x)= ,求证:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+ . 证明:由f(n)= =1- 得f(1)+f(2)+…+f(n)> . 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩) 例3、已知an=n ,求证: eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1)) eq \r(k) eq \f(, eq a\o(2,k) ) <3. 证明: eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1)) = eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1)) <1+ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) eq \r((k-1)k(k+1)) eq \f(1,) <1+ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) eq \r((k-1)(k+1)) eq \f(2,( eq \r(k+1) + eq \r(k-1) )) = =1+ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) (eq \r((k-1)) eq \f(1,) -eq \r((k+1)) eq \f(1,) ) =1+1+ - -eq \r((n+1)) eq \f(1,) <2+ <3. 本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标. 4、放大或缩小“因式”; 例4、已知数列 满足 求证: 证明 EMBED Equation.DSMT4 本题通过对因式 放大,而得到一个容易求和的式子 ,最终得出证明. 5、逐项放大或缩小 例5、设 求证: 证明:∵ ∴ ∴ , ∴ 本题利用 ,对 中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列,达到化简的目的。 6、固定一部分项,放缩另外的项; 例6、求证: 证明: 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。 7、利用基本不等式放缩 例7、已知 ,证明:不等式 对任何正整数 都成立. 证明:要证 ,只要证 . 因为 , , 故只要证 , 即只要证 . 因为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , 所以命题得证. 本题通过化简整理之后,再利用基本不等式由 放大即可. 8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 例8、.已知i,m、n是正整数,且1<i≤m<n. (1)证明:niA <miA ;(2)证明:(1+m)n>(1+n)m 证明:(1)对于1<i≤m,且A =m·…·(m-i+1), , 由于m<n,对于整数k=1,2,…,i-1,有 , 所以 (2)由二项式定理有: (1+m)n=1+C m+C m2+…+C mn, (1+n)m=1+C n+C n2+…+C nm, 由(1)知miA >niA (1<i≤m<n ,而C = ∴miCin>niCim(1<m<n ∴m0C =n0C =1,mC =nC =m·n,m2C >n2C ,…, mmC >nmC ,mm+1C >0,…,mnC >0, ∴1+C m+C m2+…+C mn>1+C n+C2mn2+…+C nm, 即(1+m)n>(1+n)m成立. 以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略,解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用,掌握基本的放缩方法和放缩调整手段. _1220428842.unknown _1232374704.unknown _1232390386.unknown _1233430269.unknown _1233430959.unknown _1233432086.unknown _1233432483.unknown _1233430436.unknown _1232477131.unknown _1232477154.unknown _1232433302.unknown _1232433423.unknown _1232433231.unknown _1232374911.unknown _1232374957.unknown _1232374828.unknown _1232373878.unknown _1232374223.unknown _1232374611.unknown _1232374125.unknown _1220429267.unknown _1220429292.unknown _1220428939.unknown _1108384490.unknown _1141372315.unknown _1180525581.unknown _1180525782.unknown _1211343547.unknown _1211343690.unknown _1220428423.unknown _1180525882.unknown _1211343443.unknown _1180525921.unknown _1180525829.unknown _1180525656.unknown _1180525720.unknown _1180525641.unknown _1180460923.unknown _1180525535.unknown _1180460917.unknown _1108384617.unknown _1109233824.unknown _1141243945.unknown _1141244729.unknown _1141244706.unknown _1109233963.unknown _1141243861.unknown _1109233958.unknown _1108384637.unknown _1108384662.unknown _1108384702.unknown _1108384709.unknown _1108384686.unknown _1108384647.unknown _1108384624.unknown _1108384532.unknown _1108384589.unknown _1108384602.unknown _1108384608.unknown _1108384598.unknown _1108384577.unknown _1108384515.unknown _1108384523.unknown _1108384501.unknown _1108213565.unknown _1108384457.unknown _1108384475.unknown _1108384482.unknown _1108384461.unknown _1108384400.unknown _1108384441.unknown _1108384385.unknown _1037765689.unknown _1037765845.unknown _1108213556.unknown _1037765747.unknown _1037765659.unknown _1037765466.unknown _1037765592.unknown
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分类:高中数学
上传时间:2013-08-12
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