例谈“放缩法”证明不等式的基本策略
江苏省苏州市木渎第二高级中学 母建军 215101
近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高
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,例谈“放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项(或负项)
例1、已知
求证:
证明:
若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了
,从而是使和式得到化简.
2、先放缩再求和(或先求和再放缩)
例2、函数f(x)=
,求证:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+
.
证明:由f(n)=
=1-
得f(1)+f(2)+…+f(n)>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)
例3、已知an=n ,求证: eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1)) eq \r(k) eq \f(, eq a\o(2,k) )
<3.
证明: eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))
= eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))
<1+ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) eq \r((k-1)k(k+1)) eq \f(1,)
<1+ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) eq \r((k-1)(k+1)) eq \f(2,( eq \r(k+1) + eq \r(k-1) ))
=
=1+ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) (eq \r((k-1)) eq \f(1,)
-eq \r((k+1)) eq \f(1,)
)
=1+1+
-
-eq \r((n+1)) eq \f(1,)
<2+
<3.
本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.
4、放大或缩小“因式”;
例4、已知数列
满足
求证:
证明
EMBED Equation.DSMT4
本题通过对因式
放大,而得到一个容易求和的式子
,最终得出证明.
5、逐项放大或缩小
例5、设
求证:
证明:∵
∴
∴
, ∴
本题利用
,对
中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列,达到化简的目的。
6、固定一部分项,放缩另外的项;
例6、求证:
证明:
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例7、已知
,证明:不等式
对任何正整数
都成立.
证明:要证
,只要证
.
因为
,
,
故只要证
,
即只要证
.
因为
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ,
所以命题得证.
本题通过化简整理之后,再利用基本不等式由
放大即可.
8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例8、.已知i,m、n是正整数,且1<i≤m<n.
(1)证明:niA
<miA
;(2)证明:(1+m)n>(1+n)m
证明:(1)对于1<i≤m,且A
=m·…·(m-i+1),
,
由于m<n,对于整数k=1,2,…,i-1,有
,
所以
(2)由二项式定理有:
(1+m)n=1+C
m+C
m2+…+C
mn,
(1+n)m=1+C
n+C
n2+…+C
nm,
由(1)知miA
>niA
(1<i≤m<n
,而C
=
∴miCin>niCim(1<m<n
∴m0C
=n0C
=1,mC
=nC
=m·n,m2C
>n2C
,…,
mmC
>nmC
,mm+1C
>0,…,mnC
>0,
∴1+C
m+C
m2+…+C
mn>1+C
n+C2mn2+…+C
nm,
即(1+m)n>(1+n)m成立.
以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略,解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用,掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.
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