放缩法证明不等式
在学习不等式时,放缩法是证明不等式的重要方法之一,在证明的过程如何合理放缩,是证明的关键所在。现例析如下,供大家讨论。
例1:设
、
、
是三角形的边长,求证
≥3
证明:由不等式的对称性,不妨设
≥
≥
,则
≤
≤
且
≤0,
≥0
∴
≥
∴
≥3
[评析]:本题中为什么要将
与
都放缩为
呢?这是因为
≤0,
≥0,而
无法判断符号,因此
无法放缩。所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。
例2:设
、
、
是三角形的边长,求证
≥
证明:由不等式的对称性,不防设
≥
≥
,则
≥
左式-右式
≥
≥
≥0
[评析]:本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了,有了一定的难度。由例1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。
例3:设
、
、
且
求证
≤1
证明:设
.且 x、y、
. 由题意得:
。
∴
∴
≥0
∴
≥
∴
≥
∴
≤
同理:由对称性可得
≤
,
≤
∴命题得证.
[评析]:本题运用了排序不等式进行放缩,后用对称性。
例4:设
、
、
≥0,且
,求证
≥
证明:不妨设
≤
≤
,则
≤1
。∴
。
又∵
≥bc,即
≥bc,也即
≥
。
∴左边
≥
EMBED Equation.3 ≥
∴
≥
[评析]:本题运用对称性确定符号,在使用基本不等式可以避开讨论。
例5:设
、
、
,
,求证:
≥
证明:不妨设
≥
≥
>0,于是
左边-右边
EMBED Equation.3
≥
如果≥0,那么
≥0;如果
<0,那么
≥0,故有
≥0,从而原不等式得证.
例6:设0≤
≤
≤
≤1,求证:
≤1
证明:设0≤
≤
≤
≤1,于是有
≤
,再证明以
下简单不等式
≤1,因为左边
,再注意
≤
≤1得证.
在用放缩法证明不等式A≤B,我们找一个(或多个)中间量C作比较,即若能断定A
≤C与C≤B同时成立,那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C,再把C放大到B,反之,所谓的“缩”即由B缩到C,再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及。
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