_线性代数_教学方法探索

《线 性 代 数》教 学 方 法 探 索 蔡 　海 　鸥 (中国人民大学　信息学院 ,北京　100872) 摘 要 　　作者通过《线性代数》课堂教育 ,注重数学理论知识和学生社会实践需求相结合 ,比较国外数学教育的优势和 特点 ,探索《线性代数》新途径. 在教学过程中 ,引入课程发展的历史和简单应用要点 ,根据学生专业需求 ,寓教于 乐 ,充分发挥主动学习动力 ,让学生快乐学习、兴趣学习、最终达到有目的的学习. 这种互动性教学的点滴体会 ,不 仅激发学生积极求索的热情 ,也启发我们对过去重理论轻应用的教育方式的反思. 关键词 :线性空间 , 线性方程组 , 特征值和特征向量 , 二次型正定性. 中图分类号 : G642 收稿日期 :2009202216 0 　引　言 《线性代数》是一门比较抽象的数学学科 ,代数 与几何是数学历史中最为古老的学科 ,它们相随相 伴共同发展. 经历了古希腊时代《几何原理》带来的 繁荣 ,以及文艺复兴时期微积分给人类科学发展带 来的动力 ,尤其 19 世纪 ,代数从几何中分离产生了 近代数学最为深刻的结果 ,使得爱因斯坦的相对论 得到的完美演绎 ,直到今天计算机的普及应用 ,数学 的这些重要发展都伴随社会科学和人类文明的巨大 进步.《线性代数》是近代数学发展的缩影 ,高等数学 教育将其纳入必须具备的基本知识 ,是想启迪人们 创新、开拓意识. 如何将《线性代数》知识和精髓传授 给年轻人 ,使他们既有数学的基础知识 ,又有创新的 意识 ,为了他们美好的未来 ,可以尝试渐进性的课程 改革. 本文作者实地考察美国和英国部分大学里的 数学基础课程设计和讲解 ,特别地比较了中外《线性 代数》本科教育 ,强调应该汲取美国和英国这方面教 育经验 ,引导学生对数学发展史的更多了解 ,并注重 理论与实践相结合 ,加强数学应用部分的教学和计 算能力的培养. 首先 ,比较国外与我们教材上的不同 ,发现有益 之处索来共享. 从数学理论的角度来看 ,国内外教材 还是基本相同的.《线性代数》主要包括行列式理论 , 求解线性方程组方法 ,矩阵理论和应用 ,线性空间和 线性变换 ,以及代数在高维空间中的几何意义 ,比如 最小二乘法与正交 ,特征值和特征向量与二次曲面 的有定性关系等等 ,因为这些内容从来就是数学中 经典的内容 ,当然也应该是大学生必须具备的经典 代数知识. 但是 ,在排列顺序有所不同 ,教学内容基 本侧重也有相同. 相对国外教材概况起来有几点不 同 : (1)编排上国外教材注意吸引学生的学习情趣 , 每章开始的“介绍性实例”为学生提供了很好的数学 背景 ,教材一般比较精装美观 ,图文并茂 ,可以多次 使用 ; (2) 国外教材使用上采取比较现代的处理方 法 ,买教材赠送相应的电子版 (有时效性) ,以便教师 采取 PowerPoint 或其他多媒体方式上课 ,并且配备 计算软件 ,比如 Maple、Matlab、Mathematica 等等 ; (3)重视介绍线性变换、正交性等现代数学思 想 ,并辅助几何趣味 ,比如美国很多大学采用的 David C. Lay 的 教 材[1 ]《Linear Algebra and Its Applications》针对正交性在计算机计算和线性代数 的数值计算中起着重要作 ,特别全面介绍正交性与 最小二乘法 ; (4) 国外教材一般比较厚、内容多 ,其实分散了 难点. 如把特征值与特征向量概念分散在不同章节 3 　 第 30 卷 　第 5 期 2009 年 10 月 首都师范大学学报 (自然科学版) Journal of Capital Normal University (Natural Science Edition) 　 No. 5 Oct. , 2009 中 ,且结合些实际例子 ,使学生更容易消化这些重点 内容 ; (5)非常鲜明的应用性特色 ,教材含有各类应用 性例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 和应用性练习题.《线性代数》理论原本来源 于实践 ,它可以用于在工程学、计算机科学、数学、物 理学、生物学、经济学和统计学中解释基本原理和简 化计算”; (6)鲜明的几何特色 ,因为几何更为直观 ,而且 与代数问题有着同样背景 ,所以国外的很多教材对 主要概念都尽量给出几何解释 ; (7)计算主题思想 ,强调计算机对科学和工程中 线性代数的发展和实践的影响 ,国外的学生更倾向 让计算机帮助他们完成计算. 如矩阵求逆和解线性 方程组等等计算量大的问题 ,并强调矩阵 LU 分解 对解方程大有益处 ; (8)简化定理的证明 ,一些常规的验证保留在习 题中 ,这对学生是有益的. (9)内容和习题、练习非常多 ,每个教师可以根 据自己的特长和优势 ,在基本要求内容之上 ,多些选 择 ,大大提高师生的上课效率. [1 ,2 ] 相比之下 ,国内教材虽然内容上完整 ,但大多单 调缺乏趣味性 ,过于强调定义和定理 ,忽视了线性代 数的实用性和趣味性. 所以 ,应该结合《线性代数》的 内容 ,增加概念介绍的来龙去脉 ,还原数学历史发 展 ;另外 ,针对学生专业需求 ,给予数学实践的机会 , 帮助他们应用数学. 这里计算问题显得尤为突出 ,可 以借助计算机的发展 ,和一些成熟数学软件的辅助 , 在《线性代数》课堂上增加这方面的教学工作. 针对 这些问题 ,尝试《线性代数》的渐进改革思路. 1 　线性方程组的解法产生 历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方 程组的问题 ,而线性方程组理论的发展又促成了作 为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展 ,这些 内容已成为我们线性代数教材的主要部分. 最初的线性方程组问题大都是来源于生活实 践 ,正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生 与发展. 线性方程组的解法 ,早在中国西汉时期的数 学著作《算术九章》中已作了比较完整的论述. 其中 所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵 施行初等行变换消去未知量的方法 ,即高斯消元法. 在西方 ,线性方程组的研究也是比较早的. 1750 年 , 瑞士数学家克莱姆 ( G. Cramer ,1704 - 1752) 在其著 作《线性代数 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 导引》中 ,对行列式的定义和展开 法则给出了比较完整、明确的阐述 ,并给出了现在我 们所称的克莱姆法则. 在 17 世纪后期莱布尼茨开始 研究含两个未知量的三个线性方程所组成的方程 组. 18 世纪下半叶 ,数学家贝祖 ( E. Bezout ,1730 - 1783) 系统化了行列式记号和计算 ,并对线性方程 组理论进行了一系列研究 ,利用系数行列式概念指 出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解 ,证明 了 n 元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行 列式等于零. 这是人们对线性方程组理论和实践的 重大突破 ,由此开始对非齐次方程组有解、无解、并 有无穷解的讨论 ,并找到了非齐次方程组和其导出 的齐次方程组解的关系 ,以及解的结构 ,同时也找到 解决这个问题有效方法 ———矩阵法. 19 世纪 ,英国 数学家史密斯 ( H. Smith) 和道奇森 (C2L. Dodgson) 继续研究线性方程组理论 ,前者引进了方程组的增 广矩阵和非增广矩阵的概念 ,后者证明了 n 个未知 数 m 个方程的方程组有解的充要条件是系数矩阵 和增广矩阵的秩相同. 这正是现代方程组理论中的 重要结果之一. 线性方程组解决了很多实际问题 ,也简化了数 学的计算 ,比如用方程组解“鸡兔同笼”问题. 例 1 　有若干只鸡和兔子 ,它们共有 88 个头 , 244 只脚 ,鸡和兔各有多少只 ? 解 : x + y = 88 4 x + 2 y = 244 因为系数行列式 1 1 4 2 = - 2 ≠0 ,所以方程组 有唯一解 x = 34 y = 54 ,即有 34 只兔子和 54 只鸡. 任意一个 n 元线性方程组我们都可以采用矩 阵的记法 : a11 a12 ⋯ a1 n a21 a22 ⋯ a2 nω am1 am2 ⋯ amn x1 x2 … xn = b1 b2 … bm 　　矩阵是数学中的一个重要的基本概念 ,是代数 学的一个主要研究对象 ,历史上很多优秀数学家在 此做出巨大的贡献. 比如英国数学家西尔维斯特 (J . Sylvester , 1814 - 1894)首先使用“矩阵”这个词 ,但他 一生都在研究行列式理论 ,他还创办《美国数学杂 志》. 在逻辑上 ,矩阵的概念应先于行列式的概念 ,然 而在历史上次序正好相反 ,矩阵的许多基本性质是 4 首都师范大学学报 (自然科学版) 2009 年 在行列式的发展中建立起来的 ,总之矩阵和行列式 理论研究是相辅相成的. 另一个英国数学家凯莱 (A. Cayley ,1821 - 1895) 一般被公认为是矩阵论的 创立者 ,他发表了关于矩阵这个题目的一系列文章. 1858 年 ,凯莱发表了关于这一课题的第一篇论文 《矩阵论的研究 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 》,系统地阐述了关于矩阵的理 论 ,文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩 阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念 ,指出了 矩阵加法的可交换性与可结合性 ,然而矩阵的乘法 却没有可换性. [3 ] 大量的科学技术问题 ,最终往往归结为解线性 方程组. 因此在线性方程组的数值解法得到发展的 同时 ,线性方程组解的结构等理论性工作也取得了 令人满意的进展. 现在 ,线性方程组的数值解法在计 算数学中占有重要地位. 由于解的结构清晰明朗 ,符 合逻辑. 所以计算机帮助人们求解线性方程组 ,大大 提高了效率 ,推广了数学实践活动. 今天计算机的发展 ,使得线性方程组的应用远 远超过了以往 ,小到鸡兔同笼的代数方程组 ,大到一 个国家经济运行的成千上万个投入 —产出巨型方程 组 ,这些解的数据分析指导着一个国家的宏观经济 政策. 1949 年初夏 ,哈佛大学教授瓦西里·列昂惕夫 (Wassily Leontief ,1906 - 1999) 将最后一张穿孔卡片 插入学校的 MARKⅡ计算机 ,这些卡片存储着美国 全部的经济信息 ,汇总美国劳工统计 250000 多条数 据 ,针对 500 个部门的每一个部门投入 ———产出的 线性模型 ,列昂惕夫将问题提炼成含 42 个变量和 42 个方程的线性方程组 ,通过 MARKⅡ计算机经过 56 个小时的运算终于求出一个解. 从此诞生了研究 宏观经济学的投入产出法 ,它是由瓦西里·列昂惕夫 杰出创作. 编制投入产出表、建立相应的线性代数方 程体系 ,就能综合分析和确定国民经济各部门之间 错综复杂的联系 ,分析重要的宏观经济比例关系及 产业结构等基本问题 ,投入产出模型就是用数学形 式体现投入产出表所反映的经济内容的线性代数方 程组. 列昂惕夫于 1936 年发表了投入产出的第一篇 论文《美国经济制度中投入产出的数量关系》;并于 1941 年发表了《美国经济结构 ,1919 ———1929》一书 , 详细地介绍了“投入产出分析”的基本内容 ;到 1953 年又出版了《美国经济结构研究》一书 ,进一步阐述 了“投入产出分析”的基本原理和发展 ,这些都是经 济学中非常重要的数学成果. 列昂惕夫由于从事“投 入产出分析”,于 1973 年获得第五届诺贝尔经济学 奖 ,他的一生研究是数学在经济领域里应用的最好 典范. 2 　特征值和特征向量的应用 “特征”一词来自德语的 eigen. 1904 年希尔伯特 (David Hilbert , 1862 - 1943) 首先使用了这个词. eigen 一词可翻译为“自身的”,“特定于 ⋯的”,“有特 征的”或者“个体的”—都强调了特征值对于特定的 变换定义有多重要. 一个变换通常可以由其特征值 和特征向量完全描述 ,特征空间是相同特征值的特 征向量的集合加上零向量后形成的线性空间. 特征 值和特征向量概念在纯数学和应用数学的很多领域 发挥着巨大的作用 —比如代数学、函数论、泛函分析 等等 ,甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重 要性. 1855 年 ,埃米特 (C. Hermite ,1822 - 1901) 证明 了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性 质 ,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等. 后来 , 克莱伯施 (A. Clebsch ,1831 - 1872) 、布克海姆 (A. Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质. 泰伯 (H. Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关 的结论. 特征方程的概念隐含地出现在瑞士数学家 欧拉 (Leonhard Eule ,1707 - 1783) 的著作中 ,拉格朗 日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给 出了这个概念. 而三个变量的二次型特征值的实性 则是由阿歇特 (J2N. P. Hachette) 、蒙日 ( Gaspard Monge , Comte de Péluse ,1746 - 1818) 和泊松 (S. D. Poisson ,1781 - 1840) 建立的. 特征值和特征向量常常用来解决实际问题 ,在 这里举一个决策分析中的小实例. 决策分析中的 AHP(层次分析法)方法 ,将人们的思维过程层次化、 条理化 ,使得决策结果理性化、科学化 ,AHP 中判断 矩阵的最大特征值和其对应的特征向量是决策支持 依据. 所谓判断矩阵定义为正的、互反实矩阵 ,所以其 最大特征值一定为正 ,而且所对应的特征向量也是 非负的 ,单位化后就是一个权重向量 ,AHP 就是利 用权重向量进行决策. 比如 ,一个买车计划就是最好的 AHP 决策说 明. 我们的决策问题是如下的一个层次关系 : 根据人们对车的价格、舒适度和美观的理解 ,赋 予一个 3 ×3 阶判断矩阵 A ,以及针对不同的车型 , 5 第 5 期 蔡海鸥 :《线性代数》教学方法探索 又产生三个 4 ×4 阶的判断矩阵 B1 , B2 , B3 ,我们最 终决策的依据与这四个矩阵的特征向量有关. 最后一层我们可以得到三个 4 维特征向量 P(3)1 , P (3) 2 , P (3) 3 ,分别表示四种车型对三种指标 (准 则)优劣的排序 ,记矩阵 P(3) = ( P(3)1 P(3)2 P(3)3 ) = w11 w12 w13 w21 w22 w23 w31 w32 w33 w41 w42 w43 　　中间层次的一个 3 维特征向量 ,它表示决策者 对这三个指标喜好程度的排序 , P(2) = p11 p21 p31 　　得到最后的决策向量. W = w11 w12 w13 w21 w22 w23 w31 w32 w33 w41 w42 w43 p11 p21 p31 = b1 b2 b3 b4 　　b1 , b2 , b3 , b4 代表选择雅阁 ? 捷达 ? 奇瑞还是 爱丽舍的决定 ,其中最大的分量所对应的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 就是 最佳决策. 比如 ( b1 , b2 , b3 , b4 ) T = (0121 ,014 ,0108 , 0131) T ,计算的结果会使人作出购买捷达为最优综 合选择. 这种决定最终权重的方法称为决策方案在单一 准则下的排序方法 ,每层下的排序就已经反映了决 策者的偏序 ,这样的偏序关系对于决策目标仍然保 持 ,合成过程仅仅改变偏序关系的权重值而不改变 排序. 层层加权实际转递决策者的偏好 ,使得最终的 结果反映决策者的理性思维和智慧. 这里所举决策 例子 ,只是特征值概念一个很小的应用. 在人口模型 方面 ,特征值方法应用更是很大的优势. 求矩阵的特征值和特征向量是一个既基础、又 重要的数值计算问题. 通常我们可以用编写高级语 言程序的方法加以解决 ,也可以使用专门的数学软 件 (如 MATLAB 7 ,Maple 10 等等) 来实现. 事实上采 用 Excel 实现求矩阵的特征值和特征向量的方法 , 也值得尝试 ,建议老师在《线性代数》中 ,加入特征值 和特征向量的计算机方法 ,方便同学们的数学实践 活动. 3 　正定性讨论二次曲线分类 二次型的系统研究是从 18 世纪开始的 ,它起源 于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论. 将二 次曲线和二次曲面的方程变形 ,选有主轴方向的轴 作为坐标轴以简化方程的形状 ,这个问题是在 18 世 纪引进的. 柯西 (Augustin Louis Cauchy ,1789 - 1857) , 在其著作中给出结论 :当方程是 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形时 ,二次曲面 用二次项的符号来进行分类. 然而 ,那时并不太清 楚 ,在化简成标准形时 ,为何总是得到同样数目的正 项和负项. 西尔维斯特回答了这个问题 ,他给出了 n 个变数的二次型的惯性定律 ,但没有证明. 这个定律 后被德国数学家卡尔·雅可比 ( Carl Gustav Jacob Jacobi ,1804 - 1851) 重新发现和证明. 1801 年 ,德国 著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家高 斯 (Johann Carl Friedrich Gauss ,1777 - 1855) 在《算术 研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负 定等术语. 二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式 的特征方程的概念. 柯西在别人著作的基础上 ,着手 研究化简二次型问题 ,并证明了特征方程在直角坐 标系的任何变换下不变性. 后来 ,他又证明了 n 个变 量的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方 和. 1851 年 ,西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲 面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲 面束的分类. 在他的分类方法中他引进了初等因子 和不变因子的概念 ,但他没有证明“不变因子组成两 个二次型的不变量的完全集”这一结论. [3 ] 1858 年 , 德国数学家魏尔斯特拉斯 ( Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ,1815 - 1897) 对同时化两 个二次型成平方和给出了一般的方法 ,并证明 ,如果 二次型之一是正定的 ,那么即使某些特征根相等 ,这 个化简也是可能的. 魏尔斯特拉斯比较系统的完成 了二次型的理论并将其推广到双线性型讨论中. 4 　结束语 我国的应用数学与发达国家应用数学相比还有 6 首都师范大学学报 (自然科学版) 2009 年 差距 ,就经济应用方面 ,数学需求还处于准备不足的 被动状态. 但从全球的角度看 ,我们目前的数学教育 水平和国际上其他国家大体上还在同一个起跑线 上 ,而且正处于一个重要的、而且稍纵即逝的战略机 遇期. 如果能抓住这一机会 ,意味有可能跻身国际应 用数学最前沿. 目前我国高校里的经济数学课程的 改革对数学运用于经济有了好的开始 ,并将继续为 以后人才培养奠定坚实基础. 参 考 文 献 [ 1 ] 　(美) David C. Lay. 线性代数及其应用[M] . 沈复兴等译 北京 : 人民邮电出版社 , 2007. [ 2 ] 　(美) Eugene A. Herman. Linear Algebra , Modules for Interactive Learning Using Maple 6 , New York : Addison Wesley Longman Press , 2001. [ 3 ] 　(美) Morris. Kline. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times[M]. The city of Oxford : Oxford University Press , 1972. [ 4 ] 　Thomas L. Saaty. The Analytic Hierarchy Process[M]. New York : McGraw2Hill , 1980. [ 5 ] 　许树柏 ,王莲芬. 层次分析法[M] . 北京 : 中国人民大学出版社 , 1980. An Approach to Teching Technique in Linear Algebra Cai Haiou (The School of Information , Renmin University of China , Beijing 　100872) Abstract The teacher , who is in Linear Algebra lecture , should find a new way for students easily study with compare with external and internal teaching materials. According to student needs of using and calculating , more application and knowledge on computer will be cited. And new method will fire the ardor of youth learning initiatively. Key words :Linear space , linear equation , Eigenvalue , Eigenvector , quadric form 作者简介 　蔡海鸥 (出生于 1961 年 7 月) ,女 ,数学专业理学士和金融学专业经济硕士现为中国人民大学副教授 ,曾经教授数 学理论和应用课程 ,并从事数学教育理论与经济社会实践相结合的研究. 研究方向 :数学在经济学方面应用 ;数学 教育学. 7 第 5 期 蔡海鸥 :《线性代数》教学方法探索