力学方法专
题
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平衡态问题的研究方法，从研究对象的选取看，有整体法和隔离体法；从具体的求解过程看，有定量计算法（解析法）和定性分析法；从定量计算法的运用数学知识看，又分为相似三角形法和正弦、余弦定理及直角三角形的边角关系等方法。定性分析法，因不要求定量计算，一般采用图示法（力三角形法或平行四边形法）。另外还有常见的假设法、正交分解法等。
一、整体法和隔离体法（静力学中的应用）
整体法：整体法是指对物理问题中的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。在力学中，就是把几个物体视为一个整体，作为研究对象，受力分析时，只分析这一整体对象之外的物体对整体的作用力（外力），不考虑整体内部之间的相互作用力（内力）。
隔离法：隔离法是指对物理问题中的单个物体或单个过程进行分析、研究的方法。在力学中，就是把要分析的物体从相关的物体体系中隔离出来，作为研究对象，只分析该研究对象以外的物体对该对象的作用力，不考虑研究对象对其他物体的作用力。
对于连接体的平衡问题，在不涉及物体间相互作用的内力时，应首先考虑整体法，其次再考虑隔离体法。通常在分析外力对系统的作用时用整体法，在分析系统内各物体（各部分）间相互作用时用隔离体法。有时一道题目的求解要整体法、隔离体法交叉运用。
例1．如图所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？
1．如图所示，两块同样的条形磁场A、B，它们的质量均为m，将它们竖直叠放在水平桌面上，用弹簧秤通过一根细线竖直向上拉磁铁A，若弹簧秤上的读数为mg，则B与A的弹力F1及桌面对B的弹力F2分别为（ ）
A．F1=0，F2=mg B．F1= mg，F2 =0
C．F1>0，F2
0，F2=mg
2．如图所示，人重600N，木板重400N，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数皆为0.2，今人用水平力拉绳，使他与木板一起向右匀速运动，则（ ）
A．人拉绳的力是200N B．人拉绳的力是100N
C．人的脚对木板的摩擦力向右 D．人的脚对木板的摩擦力向左
4．如图所示，质量为m＝2kg的物体，置于质量为M＝10kg的斜面体上，现用一平行于斜面的力F＝20N推物体，使物体向上匀速运动，斜面体的倾角α =37°，始终保持静止，求地面对斜面体的摩擦力和支持力（取g=10m/s2）
5．如图所示，在粗糙水平面上有一个三角形木块，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1和m2的小木块，m1>m2，已知三角形木块和两个小木块均静止，则粗糙水平面对三角形木块（ ）
A．没有摩擦力作用
B．有摩擦力作用，摩擦力方向水平向右
C．有摩擦力作用，摩擦力方向水平向左
D．有摩擦力作用，但方向无法确定，因为m1、m2、θ1和θ2的数值并未给出
7．如图所示，物体A、B的质量mA=6kg，mB=4kg，A与B、B与地面之间的动摩擦因数都等于0.3在外力F的作用下，A和B一起做匀速运动，求A对B和地面对B的摩擦力的大小和方向（g=10m/s2）
8．如图所示，在两块相同的竖直木板之间，有质量均为m的四块完全相同的砖，用两个同样大小的水平力压木板，使砖静止不动。⑴木板对第1块砖和第4块砖的摩擦力为________。⑵第2块砖和第3块砖之间的摩擦力为_________。⑶第3块砖和第4块砖之间的摩擦力为___________。
10．用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示。今对小球a持续施加一个向左偏下30°角的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上300角的大小相等的恒力，最后达到平衡状态。
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示平衡状态的图可能是右图中的（ ）
13．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示，现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是（ ）
A．FN不变，F变大 B．FN不变，F变小 C．FN变大，F变小 D．FN变大，F变大
二、用力三角形法解动态变化问题
由三个力作为三个边组成的三角形，叫力三角形。对受三力作用而平衡的物体，任两个力的合力必与第三个力等值、反向、共线。这样将力平移后，这三个力便组成一个首尾依次相连的封闭的力三角形，如图所示。力三角形在处理静态平衡和动态平衡问题中时常用到。
力三角形法，由于用三角形边的长短来表示力的大小，因而在力三角形中容易比较各力的大小或某一个力的大小变化情况。
例2．如图所示，绳OA、OB等长，O点固定不动，在手持B点沿圆弧向C点运动的过程中，绳OB的张力将（ ）
A．由大变小 B．由小变大
C．先变小后变大 D．先变大后变小
1．如图所示，用轻线悬挂的球放在光滑的斜面上，将斜面缓慢向左水平推动一小段距离，在这一过程中，关于线对球的拉力及球对斜面的压力的变化情况，下列说法中正确的是（ ）
A．拉力变小，压力变大 B．拉力变大，压力变小
C．拉力和压力都变大 D．拉力和压力都变小
2．如图，球重G，墙与挡板均是光滑的，当(角增大时（(<90(）（ ）
A．小球对挡板的压力增大 B．小球对挡板的压力减小
C．小球对墙壁的弹力增大 D．小球对挡板的弹力可能小于小球的重力G
3．把一个均匀球放在光滑斜面和一个光滑挡板之间．斜面的倾斜角α一定，挡板与斜面的夹角是θ（如图），设球对挡板的压力为NA，球对斜面的压力为NB。以下说法正确的是（ ）
A．θ=α 时，NB=0 B．θ=90°时，NA最小
C．NB有可能大于小球所受的重力 D．NA不可能大于小球所受的重力
4．如图，电灯用细绳OA悬挂在两墙之间，只更换OA绳使连接点A上移，保持O点位置不变，则在A点上移过程中（ ）
A．OA绳受的拉力逐渐减小
B．OB绳受的拉力逐渐减小
C．OA绳受的拉力先增大，后减小
D．OA绳受的拉力先减小后增大，AO垂直于OB时拉力最小
5．质量为m的圆球放在光滑斜面和光滑的竖直挡板之间，如图所示。当斜面倾角α由零逐渐增大时（保持挡板竖直），斜面和挡板对圆球的弹力大小的变化是（ ）
A．斜面的弹力由零逐渐变大 B．斜面的弹力由mg逐渐变大
C．挡板的弹力由零逐渐变大 D．挡板的弹力由mg逐渐变大
6．如图所示，用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的倾斜轻绳a和水平轻绳ｂ共同固定一个小球，这时绳ｂ的拉力为Ｔ1。现保持小球在原位置不动，使绳ｂ在原竖直平面内逆时转过θ角固定，绳ｂ的拉力变为Ｔ2；再转过θ角固定，绳ｂ的拉力为Ｔ3，则（ ）
A．Ｔ1=Ｔ3＞Ｔ2 B．Ｔ1＜Ｔ2＜Ｔ3
C．Ｔ1=Ｔ3＜Ｔ2 D．绳a的拉力减小
8．一个半径为r，重为G的圆球，被长为L的细绳挂在竖直的，光滑的墙壁上，若加长细绳的长度，则细绳对球的张力T及墙对球的弹力N各将如何变化：如右图所示（ ）
A．T一直减小，N先增大后减小
B．T一直减小，N先减小后增大
C．T和N都减小
D．T和N都增大。
三、相似三角形法：就是利用力的三角形与边三角形相似，根据相似三角形对应边成比例求解未知量。
1．光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小如何变化？
2．一球重为G，固定的竖直大圆环半径为R，轻弹簧原长为L(L＜2R)，其劲度系数为
，一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角θ为多少？
3．为了用起重机缓慢吊起一均匀的钢梁，现用一根绳索拴牢此钢梁的两端，使起重机的吊钩钩在绳索的中点处，如图。若钢梁的长为L，重为G，绳索所能承受的最大拉力为Fm，则绳索至少为多长？（绳索重不计）
4．如图所示，竖直墙壁上固定一点电荷Q，一个带同种电荷q的小球P，用绝缘细线悬挂，由于两电荷之间的库仑斥力悬线偏离竖直方向θ角，现因小球所带电荷缓慢减少，试分析悬线拉力的大小如何变化?
四、力的正交分解法
在很多问题中，常把一个力分解为互相垂直的两个分力，特别在物体受多个力作用时，把物体受到的各力都分解到互相垂直的两个方向上去，然后分别求每个方向上的力的代数和，这样就可把复杂的矢量运算转化成了互相垂直方向上的简单的代数运算。
多力合成的正交分解法的步骤如下：
⑴正确选择直角坐标系，通常选择共点力和作用点为坐标原点，直角坐标x、y轴的选择应便尽量多的力在坐标轴上，
⑵正交分解各力，即分别将各力投影在坐标轴上，分别求x轴和y轴上各力投影的合力Fx和Fy。
⑶共点力合力大小和合力的方向
当物体受到多于三个力的作用而平衡时，常用正交分解法求解较为简便。
1．如图所示，质量为m的物体放在倾角为θ的斜面上，它与斜面间的动摩擦因数为μ，今对物体施加沿斜面向上的拉力作用，物体恰好能匀速上滑，求此拉力的大小？
6．如图所示，一个底面粗糙，质量为m的斜面体静止在水平地面上，斜面体斜面是光滑的，倾角为30°。现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球，小球静止时轻绳与斜面的夹角也是30°。试求：⑴当斜面体静止时绳的拉力大小？⑵若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了使整个系统始终保持静止状态，k 值必须满足什么条件？
11．如图所示，两轻环E和D分别套在光滑杆AB和AC上，AB与AC的夹角为θ，E和D用弹簧连接，一恒力F沿AC方向拉环D，当两环平衡时，弹簧与AC的夹角为________，弹簧的拉力大小为________。
13．质量为m=5kg的物体，置于倾角为(=37°的的固定斜面上，刚好匀速下滑。现对物体施加一水平推力F，使物体沿斜面匀速向上运动，求水平推力F的大小。
五、假设法
假设法分析受力的二种方法：
⑴首先假设此力不存在，察看物体会发生怎样的运动，然后再确定此力应在什么方向，物体才会产生题目给定的运动状态；
⑵假定此力沿某一方向，用牛顿运动定律进行验算，若算得是正值，说明此力与假定的方向相同，否则相反。
例3．如图所示，火车箱中有一倾角为30°的斜面，当火车以10m/s2的加速度沿水平方向向左运动时，斜面上的物体m还是与车箱相对静止，分析物体m所受的摩擦力的方向。
七、弄清研究平衡物体的临界问题的求解方法。
在高中物理中大量而广泛存在着临界问题。所谓临界问题是指一种物理过程或物理状态转变为另一种物理过程或物理状态的时候，存在着分界的现象，即所谓的临界状态，符合这个临界状态的条件即为临界条件。满足临界条件的物理量称为临界值。
解决临界问题的基本思维方法是假设推理法。其基本解题方法有两类：
⑴物理分析法：通过对物理过程的分析，抓住临界条件进行求解。例如两物体脱离的临界条件是相互压力为零；两物体相对静止到滑动的临界条件是摩擦达到最大静摩擦力。
⑵数学解法：通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数关系（或画出函数的图象）。用数学方法求解得出结论后，一定要依据物理原理对解的合理性及物理意义进行讨论或说明。
1．如图所示，轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上A、B两点，轻绳OC一端悬挂一重物G。已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150N、100N、200N。问悬挂的重物的重力不得超过多少?
2．如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？
3．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图。已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ），滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。
4．如图所示，物体重10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45°角的力F作用在物体
7．如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
八、弄清研究平衡物体的极值问题的两种求解方法。
若题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语，一般都有临界现象出现，都要分析出临界条件。分析时为了把这个临界现象尽快暴露，一般用极限方法。
求解极值问题有两种方法：
方法1：解析法。根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到数学知识有二次函数极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值等。
方法2：图解法。根据物体平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。
例5．重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
1．如图，将质量为M的木块，分成质量为m1、m2两部分，并用细线连接，m1置于光滑水平桌面上，m2通过定滑轮竖直悬挂，m1和m2有何种关系才能使系统在加速运动过程中绳的拉力最大?拉力的最大值是多少？
九、注意“死节”和“活节”问题。
例6．如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，问：
①绳中的张力T为多少?
②A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?
例7．如图所示，AO、BO和CO三根绳子能承受的最大拉力相等，O为结点，OB与竖直方向夹角为θ，悬挂物质量为m。
求：①OA、OB、OC三根绳子拉力的大小。
②A点向上移动少许，重新平衡后，绳中张力如何变化？
十、注意“死杆”和“活杆”问题。
例8．如图所示，质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，求细绳OA中张力T大小和轻杆OB受力N大小。
十一、对称方法及应用
“对称”是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。在物理学中的对称比数学具有更广泛的含义，如物质分布的对称——均匀球体，均匀带电球壳的电荷，弹力的伸长与压缩及产生的弹力，具有一定特点的往复运动等，这些只是对称的表达形式，而对称的深层本质却是不变性。所谓对称性或对称原理，就是事物经过某些变换后仍保持的不变性或某些不变性。或者说，在对称的条件下，一定的规律可以等效地迁移（不论在同一问题的不同过程中，还是在两个截然不同性质的问题中），从而避免繁琐的数学推证，一下抓住问题的物理本质，迅速而简捷地解决问题。在静力学部分，我们主要涉及到结构结称。
从科学思维方法的角度看，对称原理最突出的作用，是启迪和培养直觉思维能力。在分析和解答物理问题时，如果善于从对称性的角度度剖析问题的物理实质，抓住问题的“突破口”，问题就迎刃而解了。
例10．如图所示，A、B两物体重均为G =100N，A拴在绕过定滑轮O1的细绳一端，B吊在动滑轮O2上。整个装置静止不动，两个滑轮和细绳的重量及摩擦不计。求绕过动滑轮O2的两细绳间的夹角α 。
例11．如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A、B两点到O点的距离相等，绳的长度为OA的两倍。图（b）所示为一质量和半径中忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略。现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？
点评：①本题中的动滑轮如果换为光滑挂钩，则结果相同。②设绳子长度为L=AC，两悬点之间的水平距离为d = AO ，sinα = d /L ，所以，当L、d不变时，任由B点在竖直墙壁的一条竖直线上下移动，则角度α为定值。滑轮两边绳子拉力F也为定值。③对于可以改变两悬点A、B的水平距离的情况，拉力的变化也可由sinα = d/L 先分析角度，然后由平衡条件求解。
1．（对称原理与隔离法）如图所示，重为G的均匀链条。两端用等长的细线连接，挂在等高的地方，绳与水平方向成θ角。试求：⑴绳子的张力。⑵链条最低点的张力。
2．（对称原理与整体法、隔离法）如图所示。在光滑的水平杆上，穿着两个重均为2N的球A、B，在两球之间夹着一弹簧，弹簧的劲度系数为10N/m，用两条等长的线将球C与A，B相连，此时弹簧被压缩短10cm，两条线的夹角为60°。求。⑴杆对A球的支持力多大？⑵ C球的重力多大?
3．如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2。现将右固定端由B沿杆慢移到B′点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为（ ）
A．T1变大，T2减小 B．T1减小，T2变大
C．T1、T2均变大 D．T1、T2均不变
5．如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，滑轮轴上的摩擦不计。A、B两物体的质量分别为m1和m2 ，处于静止状态，则以下说法不正确的是（ ）
A．m2一定等于m1 B．m2一定大于m1g/2 C．θ1角与θ2角一定相等
D．当B的质量m2稍许增加时，θ1+θ2一定增大，系统仍能达到平衡状态
6．如图所示，质量为m的小球被三根相同的轻质弹簧a、b、c拉住，c 竖直向下，a、b 、c伸长的长度之比为3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为（α=120°）
A．mg B．0.5mg C．1.5mg D．3mg.
7．（对称与等效）如图所示，两个半球壳拼成的球形容器，内部已抽成真空。球形容器的半径为R，大气压为Po，为了使两个半球沿图中箭头方向相互分离，应施加的力至少多大？
8．质量为10kg的均匀圆柱体放在倾角为60°的V型槽上，圆柱体与槽间的动摩擦因数为.0.25.沿着圆柱体的轴向施加一个推力F，使圆柱体沿槽做匀速直线运动。求F的大小。
9．如图所示，两个完全相同的球，重力大小为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力F。当绳拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
10．如图所示，两根相同的橡皮绳OA和OB，开始时夹角为0°，在O点处打结吊一个重50N的物体后，结点O刚好位于圆心。A和B分别沿圆周向两边移至A′和B′，使∠AOA′=∠BOB′=60°。欲使结点仍在圆心处，则此时在结点处应挂多重的物体？
粗糙
光滑
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