null第二章 解析函数 第二章 解析函数 §1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
§2 初等解析函数
§3 初等多值解析函数 §1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程1. 复变函数的导数与微分
i) 导数的定义
定义: 设函数w=f(z)定义于区域D, z0为D中一点, 点z0+Dz不出D的范围. 如果极限1. 复变函数的导数与微分
i) 导数的定义
定义: 设函数w=f(z)定义于区域D, z0为D中一点, 点z0+Dz不出D的范围. 如果极限存在, 则就说f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0
的导数, 记作也就是说, 对于任给的e>0, 存在d(e)>0, 使得当0<|Dz|
0, 存在d(e)>0, 使得当0<|Dz|0, 相应地有一个d>0, 使得当0<|Dz|0, 相应地有一个d>0, 使得当0<|Dz|
题
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答案
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处处不可导,处处不解析.null3、函数解析的充要条件C-R条件（方程）3、函数解析的充要条件C-R条件（方程） 在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问题. 而实际问题中遇到的复变函数, 通常都是某个实变函数延拓而来的. 即, 如果原来有一个实变函数f(x), 自变量是实数, 函数值也是实数, 则将x用一个复数代替, 就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数. 事实上我们只关心这样的复变函数. 比如说实变函数f(x)=x2-x+1, 则相应的延拓的复变函数就是f(z)= z2-z+1经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数.null从导数的定义看，确定一个函数是否解析并不是一件容易的事情。
希望能找到一个简单的判别条件
Cauchy-Riemann 条件（或方程）
首先考虑如果函数 f(z)为一解析函数，它应该具备甚么条件？设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上解析,对于D上的任一点z.有：设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上解析,对于D上的任一点z.有：null定理一证(1) 必要性.null 从而,(2) 充分性.由于nullnull[证毕]例1解null解析函数的判定方法:注1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。注2 解析函数的导数形式更简洁。例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:解：1) 因为u=x, v=-y,可知柯西-黎曼方程不满足, 所以w=z在复平面内处处不可导, 处处不解析2) 因为u=excos y, v=exsin y,2) 因为u=excos y, v=exsin y,柯西-黎曼方程成立, 由于上面四个偏导数都是连续的, 所以f(z)在复平面内处处可导, 处处解析, 且根据(2.2.2)式有
f '(z)=ex(cos y+isin y)=f(z)
今后将知道这个函数就是指数函数ez.3) 由w=z，Re(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以3) 由w=z，Re(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.例：设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析?
解：由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,
vx=2cx+dy, vy=dx+2y
要使ux=vy, uy=-vx,
只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by.
因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复平面内处处解析, 这时
f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)
=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2例：设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析?
解：由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,
vx=2cx+dy, vy=dx+2y
要使ux=vy, uy=-vx,
只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by.
因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复平面内处处解析, 这时
f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)
=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2例: 如果f(z)=u+iv为一解析函数, 且f ‘(z)0, 则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交, 其中c1, c2为常数.
证：由于f ’(x)=-iuy+vy0, 故uy与vy不全为零.
如果在曲线的交点处uy与vy都不为零, 由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
k1=-ux/uy k2=-vx/vy,
利用柯西-黎曼方程得
k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1
因此, 二曲线族互相正交. 如果uy与vy其中有一个为零, 则另一个必不为零, 此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交.例: 如果f(z)=u+iv为一解析函数, 且f ‘(z)0, 则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交, 其中c1, c2为常数.
证：由于f ’(x)=-iuy+vy0, 故uy与vy不全为零.
如果在曲线的交点处uy与vy都不为零, 由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
k1=-ux/uy k2=-vx/vy,
利用柯西-黎曼方程得
k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1
因此, 二曲线族互相正交. 如果uy与vy其中有一个为零, 则另一个必不为零, 此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交.null例:解null例:证: 因为类似可进一步证明:null例:证
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