4-2 相似矩阵

4-2 相似矩阵null设A是n阶方阵,  是一个数, 如果方程1. 定义设A是n阶方阵,  是一个数, 如果方程Ax =  x存在非零解向量, 则称 是A是的一个特征值, 相应的非零解向量 x 称为与特征值  对应的特征向量.一、特征值与特征向量 I −A | I −A | | I −A | = 0 ----------称为A的特征矩阵;----- 称为A的特征多项式;-------称为A的特征方程.A的特征多项式:性质1A的特征多项式:性质2 若是A的对应于特征值  的特征向量,...

null设A是n阶方阵,  是一个数, 如果方程1. 定义设A是n阶方阵,  是一个数, 如果方程Ax =  x存在非零解向量, 则称 是A是的一个特征值, 相应的非零解向量 x 称为与特征值  对应的特征向量.一、特征值与特征向量 I −A | I −A | | I −A | = 0 ----------称为A的特征矩阵;----- 称为A的特征多项式;-------称为A的特征方程.A的特征多项式:性质1A的特征多项式:性质2 若是A的对应于特征值  的特征向量, 则对k(k  0), k 也A是的对应于特征值  的特征向量.二、性质: A的属于特征值  的特征向量的非零线性组合仍然A是的属于特征值  的特征向量.性质3性质4 A的属于特征值  的特征向量的非零线性组合仍然A是的属于特征值  的特征向量.若是A的特征值 , 则null性质5性质6推论null三、求特征值与特征向量的步骤:null例1解§4.2 相似矩阵一、相似矩阵的基本概念§4.2 相似矩阵二、相似矩阵的性质三、矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念一、相似矩阵的基本概念1. 定义(1) 反身性(2) 对称性(3) 传递性设A与B 都是n 阶矩阵,如果存在可逆矩阵P,使则称A与B 相似,记为 A ~ B.二、性质二、性质性质1 相似矩阵有相同的特征多项式和特征值.性质2 相似矩阵有相同的行列式.性质3 相似矩阵有相同的秩.性质4null证证证证因此null证于是即性质5于是存在可逆矩阵P,使因 A ~ B,null性质6证若n 阶方阵A与对角阵所以A的全部特征值是:二、矩阵的相似对角化二、矩阵的相似对角化定理1证n 阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n 个线性无关的特征向量.则存在可逆矩阵P,使必要性设两边左乘P得:null所以A有n 个线性无关的特征向量:又由于P可逆,因此线性无关.null设A有n 个线性无关的特征向量:充分性因此null推论1推论2 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似null解例2 判定下列矩阵能否与对角矩阵相似 . null所以B与对角矩阵相似, 且null因此C不能与对角矩阵相似.null例3解判断A能否与对角矩阵相似,null注:　即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．所以A可以对角化,1−21null解−2例4A有3个线性无关的特征向量,则 x = ______.null解例5 设 null证例6 设于是存在可逆矩阵P,Q ,使因 A ~ B, C ~ D, null证例7证明: (1) A可逆; (2) A与对角矩阵相似.(2) 因A的特征根都是单根, 所以null解与其相似的矩阵为例8 (1) 因A的特征值为: 1, −2, 3,(2) 因B有3 个不同的特征值,所以B可以对角化.所以B的特征值为: 即: −1, 8, 3,null(3)所以null例9 判断下列矩阵是否可对角化? 若可对角化，求出可逆矩阵及相似对角矩阵.解一个基础解系由于1=2是A的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故A不可对角化.null一个基础解系null一个基础解系由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化，null利用对角矩阵计算矩阵多项式null利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式null例10 解判断A能否与对角矩阵相似,三、小结三、小结相似是矩阵之间的一种关系,它具有很多良好的性质, 除了课堂内介绍的以外, 还有：null总结1 A有n个不同的特征值A有n个线性无关的特征向量.A可对角化2 判断A可否对角化的步骤：null3、A相似对角化的方法：（1）A可对角化A一定有n个线性无关的特征向量，（2）以这些量为列作一个矩阵则P一定可逆；

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