B-Spline(B-样条线)

nullnull*第4章 自由曲线曲面 4.1 概述 4.2 参数曲线基础 4.3 曲线曲面拟合方法 4.4 参数多项式曲线 4.5 三次Hermite曲线 4.6 Bezier曲线 4.7 B样条曲线 4.1概 述*4.1概 述曲线的分类 规则曲线 自由曲线 随机曲线 4.1概 述*4.1概 述研究分支 计算几何 1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义 CAGD (Computer Aided Geometrical Design) 1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Utah大学的一次国际会议上提出4.1概 述*4.1概 述研究内容 对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示 4.1概 述*4.1概 述对形状数学描述的要求？ 从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性 （2）几何不变性 对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。 4.1概 述*4.1概 述（3）易于定界 （4）统一性：统一的数学表示，便于建立统一的数据库标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x) z = g(x)矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)] 空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]4.1概 述*4.1概 述从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达 null*自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法第4章 自由曲线曲面 *第4章 自由曲线曲面 4.1 概述 4.2 参数曲线基础 4.3 曲线曲面拟合方法 4.4 参数多项式曲线 4.5 三次Hermite曲线 4.6 Bezier曲线 4.7 B样条曲线 4.2参数曲线基础*4.2参数曲线基础曲线的表示形式 非参数表示 显式表示 隐式表示 4.2参数曲线基础*显式或隐式表示存在下述问题： 1）与坐标轴相关； 2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； 3) 不便于计算机编程。 4.2参数曲线基础4.2参数曲线基础*4.2参数曲线基础参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为 参数的含义 时间，距离，角度，比例等等 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 参数区间[0，1]4.2参数曲线基础*4.2参数曲线基础参数矢量表示形式 直线段的参数表示 圆的参数表示4.2参数曲线基础*参数表示的优点： 1）以满足几何不变性的要求。 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。4.2参数曲线基础4.2参数曲线基础*（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 4.2参数曲线基础4.2参数曲线基础*曲线间连接的光滑度的度量有两种： 参数连续性： 几何连续性：4.2参数曲线基础4.2参数曲线基础*4.2参数曲线基础参数连续性 传统的、严格的连续性 称曲线P = P(t)在 处n阶参数连续，如果它在 处n阶左右导数存在，并且满足 记号4.2参数曲线基础*4.2参数曲线基础几何连续性 直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处位置连续，即 记为 1阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处1阶几何连续，如果它在该 处 ,并且切矢量方向连续 记为 4.2参数曲线基础*4.2参数曲线基础2阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处2阶几何连续，如果它在 处 （1） （2）副法矢量方向连续 （3）曲率相等 4.2参数曲线基础*我们已经看到， 连续保证 连续， 连续能保证 连续，但反过来不行。也就是说 连续的条件比 连续的条件要苛刻。4.2参数曲线基础第4章 自由曲线曲面 *第4章 自由曲线曲面 4.1 概述 4.2 参数曲线基础 4.3 曲线曲面拟合方法 4.4 参数多项式曲线 4.5 三次Hermite曲线 4.6 Bezier曲线 4.7 B样条曲线 4.3曲线曲面拟合方法*4.3曲线曲面拟合方法已知条件 一系列有序的离散数据点 型值点 控制点 边界条件 连续性要求4.3曲线曲面拟合方法*4.3曲线曲面拟合方法生成方法 插值 点点通过型值点 插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值 逼近 提供的是存在误差的实验数据 最小二乘法、回归分析 拟合 提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点 Bezier曲线、B样条曲线等 null*第4章 自由曲线曲面 4.1 概述 4.2 参数曲线基础 4.3 曲线曲面拟合方法 4.4 参数多项式曲线 4.5 三次Hermite曲线 4.6 Bezier曲线 4.7 B样条曲线 4.4参数多项式曲线*4.4参数多项式曲线为什么采用参数多项式曲线 表示最简单 理论和应用最成熟 定义--n次多项式曲线4.4参数多项式曲线*4.4参数多项式曲线矢量表示形式 加权和形式 缺点 没有明显的几何意义 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难4.4参数多项式曲线*4.4参数多项式曲线矩阵表示 矩阵分解 几何矩阵 控制顶点 基矩阵M 确定了一组基函数4.4参数多项式曲线*4.4参数多项式曲线例子—直线段的矩阵表示几何矩阵G基矩阵MTnull*第4章 自由曲线曲面 4.1 概述 4.2 参数曲线基础 4.3 曲线曲面拟合方法 4.4 参数多项式曲线 4.5 三次Hermite曲线 4.6 Bezier曲线 4.7 B样条曲线 4.5三次Hermite曲线*4.5三次Hermite曲线定义 给定4个矢量 ，称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线P0P1P0'P1'4.5三次Hermite曲线*4.5三次Hermite曲线矩阵表示 条件4.5三次Hermite曲线*4.5三次Hermite曲线合并 解4.5三次Hermite曲线*4.5三次Hermite曲线基矩阵与基函数（调和函数）曲线可将简化为：称为调和函数4.5三次Hermite曲线*4.5三次Hermite曲线其矩阵表示形式为：4.5三次Hermite曲线*4.5三次Hermite曲线形状控制 改变端点位置矢量 调节切矢量 的方向 调节切矢量 的长度 4.5三次Hermite曲线*4.5三次Hermite曲线优点： 简单，易于理解 缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便所有参数插值曲线的缺点： 只限于作一条点点通过给定数据点的曲线 只适用于插值场合，如外形的数学放样 不适合于外形设计