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历届女子数学奥林匹克试题 女子数学奥林匹克 1 目录 2002年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 1 2003年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 3...

历届女子数学奥林匹克试题
女子数学奥林匹克 1 目录 2002年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 1 2003年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 3 2004年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 5 2005年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 7 2006年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 9 2007年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 11 2008年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 13 2009年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 16 2010年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 19 2011年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 21 2012年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 24 女子数学奥林匹克 1 2002 年女子数学奥林匹克 1. 求出所有的正整数 n,使得20𝑛 + 2能整除2003𝑛 + 2002. 2. 夏令营有 3n(n 是正整数)位女同学参加,每天都有 3 位女同学 担任执勤工作.夏令营结束时,发现这 3n 位女同学中的任何两位,在 同一天担任执勤工作恰好是一次. (1) 问:当 n=3 时,是否存在满足题意的安排? 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论; (2) 求证:n 是奇数. 3. 试求出所有的正整数 k,使得对任意满足不等式 𝑘(𝑎𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎) > 5(𝑎2 + 𝑎2 + 𝑏2) 4. ⊙O1和⊙O2相交于 B、C 两点,且 BC 是⊙O1的直径.过点 C 作⊙ O1的切线,交⊙O2于另一点 A,连结 AB,交⊙O1于另一点 E,连结 CE 并延长,交⊙O2 于点 F.设点 H 为线段 AF 内的任意一点,连结 HE 并延长,交⊙O1于点 G,连结 BG 并延长,与 AC 的延长线交于 点 D.求证:𝐴𝐴 𝐴𝐻 = 𝐴𝐴 𝐴𝐶 . 5. 设𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃𝑛(𝑛 ≥ 2)是1,2,⋯,𝑛的任意一个排列.求证: 1 𝑃1+𝑃2 + 1 𝑃2+𝑃3 + ⋯+ 1 𝑃𝑛−2+𝑃𝑛−1 + 1 𝑃𝑛−1+𝑃𝑛 > 𝑛−1 𝑛+2 . 6. 求所有的正整数对(𝑥, 𝑦),满足𝑥𝑦 = 𝑦𝑥−𝑦. 7. 锐角△ABC 的三条高分别为 AD、BE、CF.求证:△DEF 的周长不 超过△ABC 周长的一半. 8. 设𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴8是平面上任意取定的 8 个点,对平面上任意取 定的一条有向直线 l,设𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴8在该直线上的摄影分别是 女子数学奥林匹克 2 𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃8.如果这 8 个射影两两不重合,以直线 l 的方向依次排 列为𝑃𝑖1,𝑃𝑖2,⋯,𝑃𝑖8,这样,就得到了 1,2,…,8 的一个排列 𝑖1,𝑖2,⋯,𝑖8(在图 1 中,此排列为 2,1,8,3,7,4,6,5).设这 8 个点对 平面上所有有向直线作射影后,得到的不同排列的个数为 𝑁8 = 𝑁(𝐴1,𝐴2,⋯ ,𝐴8),试求 N8的最大值. 图 1 l P 5 P 6 P 4 P 7 P 3 P 8 P 1 P 2 A 2 A 1 A 8 A 3 A 7 A 4 A 6 A 5 女子数学奥林匹克 3 2003 年女子数学奥林匹克 1. 已知D是△ABC的边 AB上的任意一点,E是边AC上的任意一点, 连结 DE,F 是线段 DE 上的任意一点.设𝐴𝐶 𝐴𝐴 = 𝑥,𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 𝑦, 𝐶𝐻 𝐶𝐴 = 𝑧. 证明: (1) S△𝐴𝐶𝐻 = (1 − 𝑥)𝑦𝑧𝑆△𝐴𝐴𝐴,S△𝐴𝐴𝐻 = 𝑥(1 − 𝑦)(1 − 𝑧)𝑆△𝐴𝐴𝐴; (2) �S△𝐴𝐶𝐻3 + �S△𝐴𝐴𝐻3 ≤ �𝑆△𝐴𝐴𝐴3 . 2. 某班有 47 个学生,所用教室有 6 排,每排有 8 个座位,用(𝑖, 𝑗)表 示位于第 i 排第 j 列的座位.新学期准备调整座位,设某学生原来的 座位为(𝑖, 𝑗),如果调整后的座位为(𝑚,𝑛),则称该生作了移动[𝑎, 𝑎] = [𝑖 − 𝑚, 𝑗 − 𝑛],并称 a+b 为该生的位置数.所有学生的位置 数之和记为 S.求 S 的最大可能值与最小可能值之差. 3. 如图 1,ABCD 是圆内接四边形,AC 是圆的直径,𝐵𝐵 ⊥ 𝐴𝐴,AC 与 BD 的交点为 E,F 在 DA 的延长线上.连结 BF,G 在 BA 的延长 线上,使得𝐵𝐷∥𝐵𝐵,H 在 GF 的延长线上,𝐴𝐶 ⊥ 𝐷𝐵.证明:B、E、 F、H 四点共圆. 图 1 H G D B C A E F 女子数学奥林匹克 4 4. (1)证明:存在和为 1 的 5 个非负实数 a、b、c、d、e,使得将 它们任意放置在一个圆周上,总有两个相邻数的乘积不小于 1 9 ; (2)证明:对于和为 1 的任意玩个非负实数 a、b、c、d、e,总 可以将它们适当放置在一个圆周上,且任意相邻两数的乘积均不 大于 1 9 . 5. 数列{𝑎𝑛}定义如下:𝑎1 = 2,𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛2 − 𝑎𝑛 + 1,𝑛 = 1,2,⋯.证明:1 − 1 20032003 < 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + ⋯+ 1 𝑎2003 < 1. 6. 给定正整数𝑛(𝑛 ≥ 2).求最大的实数𝜆,使得不等式𝑎𝑛2 ≥ 𝜆(𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛−1) + 2𝑎𝑛对任意满足𝑎1 < 𝑎2 ⋯ < 𝑎𝑛的正整数 𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛均成立. 7. 设△ABC 的三边长分别为𝐴𝐵 = 𝑏、𝐵𝐴 = 𝑎、𝐴𝐴 = 𝑎,a、b、c 互 不相等,AD、BE、CF 分别为△ABC 的三条内角平分线,且 DE=DF. 证明: (1) 𝑎 𝑏+𝑐 = 𝑏 𝑐+𝑎 + 𝑐 𝑎+𝑏 ; (2) ∠𝐵𝐴𝐴 > 90°. 8. 对于任意正整数 n,记 n 的所有正约数组成的集合为 Sn.证明:Sn 中至多有一半元素的个位数为 3. 女子数学奥林匹克 5 2004 年女子数学奥林匹克 1. 如果存在 1,2,⋯,𝑛的一个排列 𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛 ,使得 𝑘 + 𝑎𝑘(𝑘 = 1,2,⋯ ,𝑛)都是完全平方数,则称 n 为“好数”.问:在集合{11,13,15,17,19}中,哪些是“好数”,哪些不是“好数”?说明理由. (苏 淳 供题) 2. 设 a、b、c 为正实数.求 𝑎+3𝑐 𝑎+2𝑏+𝑐 + 4𝑏 𝑎+𝑏+2𝑐 − 8𝑐 𝑎+𝑏+3𝑐 的最小值. (李胜宏 供题) 3. 已知钝角△ABC的外接圆半径为 1.证明:存在一个斜边长为√2 + 1 的等腰直角三角形覆盖△ABC. (冷岗松 供题) 4. 一副三色纸牌,共有 32 张,其中红黄蓝每种颜色的牌各 10 张, 编号分别是1,2,⋯,10;另有大小王牌各一张,编号均为 0.从这 副牌中任取若干张牌,然后按如下规则计算分值:每张编号为 k 的牌 记为2𝑘分.若它们的分值之和为 2004,则称这些牌为一个“好牌组”.试 求“好牌组”的个数. (陶平生 供题) 5. 设 u、v、w 为正实数,满足条件𝑢√𝑣𝑣 + 𝑣√𝑣𝑢 + 𝑣√𝑢𝑣 ≥ 1.试求 𝑢 + 𝑣 + 𝑣的最小值. (陈永高 供题) 6. 给定锐角△ABC,点 O 为其外心,直线 AO 交边 BC 于点 D.动点 E、 F 分别位于边 AB、AC 上,使得 A、E、D、F 四点共圆.求证:线段 女子数学奥林匹克 6 EF 在边 BC 上的投影的长度为定值. (熊 斌 供题) 7. 已知 p、q 为互质的正整数,n 为非负整数.问:有多少个不同的整 数可以表示为𝑖𝑖 + 𝑗𝑗的形式,其中 i,j 为非负整数,且𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛. (李伟固 供题) 8. 将一个3 × 3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到 的图形称为“十字形”.在一个10 × 11的棋盘上,最多可以放置多少个 互不重叠的“十字形”(每个“十字形”恰好盖住棋盘上的 5个小方格)? (冯祖明 供题) 女子数学奥林匹克 7 2005 年女子数学奥林匹克 1. 如图 1,点 P 在△ABC 的外接圆上,直线 CP、AB 相交于点 E,直 线 BP、AC 相交于点 F,边 AC 的垂直平分线与边 AB 相交于点 J,边 AB 的垂直平分线与边 AC 相交于点 K.求证:𝐴𝐴 2 𝐴𝐻2 = 𝐴𝐴⋅𝐴𝐴 𝐴𝐴⋅𝐴𝐻 . 图 1 (叶中豪 供题) 2. 求方程组 � 5 �𝑥 + 1 𝑥 � = 12 �𝑦 + 1 𝑦 � = 13(𝑧 + 1 𝑧 ) 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 1 , 的所有实数解. (朱华伟 供题) 3. 是否存在这样的凸多面体,它共有 8 个顶点、12 条棱和 6 个面, 并且其中有 4 个面,每两个面都有公共棱? (苏 淳 供题) 4. 求出所有的正实数 a,使得存在正整数 n 及 n 个互不相交的无限 整数集合𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴𝑛满足𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 = 𝑍,而且对于每个 𝐴𝑖中的任意两数b > c,都有𝑎 − 𝑏 ≥ 𝑎𝑖. K J F E A B C P 女子数学奥林匹克 8 (袁汉辉 供题) 5. 设正实数 x、y 满足𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥 − 𝑦.求证: 𝑥2 + 4𝑦2 < 1. (熊 斌 供题) 6. 设正整数𝑛(𝑛 ≥ 3).如果在平面上有 n 个格点𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃𝑛满足: 当�𝑃𝑖𝑃𝑗�为有理数时,存在𝑃𝑘,使得|𝑃𝑖𝑃𝑘|和�𝑃𝑗𝑃𝑘�均为无理数;当�𝑃𝑖𝑃𝑗� 为无理数时,存在𝑃𝑘,使得|𝑃𝑖𝑃𝑘|和�𝑃𝑗𝑃𝑘�均为有理数,那么,称 n 是 “好数”. (1) 求最小的好数; (2) 问:2005 是否为好数 (冯祖明 供题) 7. 设 m 、 n 是整数,𝑚 > 𝑛 ≥ 2 , 𝑆 = �1,2,⋯,𝑚�, 𝑇 = �𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛�是 S 的一个子集.已知 T 中的任两个数都不能同时 整除 S 中的任何一个数.求证: 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + ⋯+ 1 𝑎𝑛 < 𝑚+𝑛 𝑚 . (张同君 供题) 8. 给定实数a、b(a > 𝑎 > 0),将长为 a、宽为 b 的矩形放入一个正 方形内(包含边界).问正方形的边至少为多长? (陈永高 供题) 女子数学奥林匹克 9 2006 年女子数学奥林匹克 1. 设 a>0,函数𝑓: (0, + ∞) → R满足𝑓(𝑎) = 1.如果对任意正实数 x、 y,有𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) + 𝑓 �𝑎 𝑥 � 𝑓 � 𝑎 𝑦 � = 2𝑓(𝑥𝑦),求证:𝑓(𝑥)为常数. (朱华伟 供题) 2. 设凸四边形 ABCD 的对角线交于点 O.△OAD、△OBC 的外接圆交 于点 O、M,直线 OM 分别交△OAB、△OCD 的外接圆于点 T、S.求 证:M 是线段 TS 的中点. (叶中豪 供题) 3. 求证:对𝑖 = 1,2,3,均有无穷多个正整数 n,使得 n,n+2,n+28 中恰有 i 个可表示为三个正整数的立方和. (袁汉辉 供题) 4. 8 个人参加一次聚会. (1) 如果其中任何 5 个人中都有 3 个人两两认识,求证:可以从中找 出 4 个人两两认识; (2) 试问:如果其中任何 6 个人中都有 3 个人两两认识,那么是否一 定可以找出 4 个人两两认识? (苏 淳 供题) 5. 平面上整点集𝑆 = �(𝑎, 𝑎)�1 ≤ 𝑎, 𝑎 ≤ 5(𝑎、𝑎 ∈ 𝑍)�,T 为平面上一 整点集,对 S 中任一点 P,总存在 T 中不同于 P 的一点 Q,使得线段 PQ 上除点 P、Q 外无其它的整点.问 T 的元素个数最少为多少? (陈永高 供题) 女子数学奥林匹克 10 6. 设集合𝑀 = {1,2,⋯ ,19},𝐴 = {𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑘} ⊆ 𝑀.求最小的 k,使 得对任意的𝑎 ∈ 𝑀,存在𝑎𝑖、𝑎𝑗 ∈ 𝐴,满足𝑎 = 𝑎𝑖或𝑎 = 𝑎𝑖 ± 𝑎𝑗(𝑎𝑖、𝑎𝑗 可以相同). (李胜宏 供题) 7. 设𝑥𝑖 > 0(𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑛),𝑘 ≥ 1.求证: ∑ 1 1+𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ≤ ∑ 𝑥𝑖 𝑘+1 1+𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ⋅ ∑ 1 𝑥𝑖 𝑘 𝑛 𝑖=1 . (陈伟固 供题) 8. 设 p 为大于 3 的质数,求证:存在若干个整数𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑡满足条 件− 𝑝 2 < 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑡 < 𝑝2,使得乘积𝑝−𝑎1|𝑎1| ⋅ 𝑝−𝑎2|𝑎2| ⋅ ⋯ ⋅ 𝑝−𝑎𝑡|𝑎𝑡| 是 3 的 某个正整数次幂. (纪春岗 供题) 女子数学奥林匹克 11 2007 年女子数学奥林匹克 1. 设 m 为正整数,如果存在某个正整数 n,使得 m 可以表示为 n 和 n 的正约数个数(包括 1 和自身)的商,则称 m 是“好数”.求证: (1) 1,2,⋯ ,17都是好数; (2) 18 不是好数. (李胜宏 供题) 2. 设△ABC 是锐角三角形,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上, 线段 AD、BE、CF 经过△ABC 的外心 O.已知以下六个比值 𝐴𝐶 𝐶𝐴 、 𝐴𝐴 𝐴𝐴 、 𝐴𝐻 𝐻𝐴 、 𝐴𝐻 𝐻𝐴 、 𝐴𝐴 𝐴𝐴 、 𝐴𝐶 𝐶𝐴 中至少有两个是整数.求证:△ABC 是等 腰三角形. (冯祖明 供题) 3. 设整数𝑛(𝑛 > 3),非负实数𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛满足𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 = 2.求 𝑎1𝑎22+1 + 𝑎2𝑎32+1 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑎12+1的最小值. (朱华伟 供题) 4. 平面内𝑛(𝑛 ≥ 3)个点组成集合 S,P 是此平面内 m 条直线组成的 集合,满足 S 关于 P 中每一条直线对称.求证:𝑚 ≤ 𝑛,并问等号何时 成立? (边红平 供题) 5. 设 D是△ABC内的一点,满足∠𝐵𝐴𝐴 = ∠𝐵𝐴𝐴 = 30°,∠𝐵𝐵𝐴 = 60°, E 是边 BC 的中点,F 是边 AC 的三等分点,满足 AF=2FC.求证: 𝐵𝐷 ⊥ 𝐷𝐵. 女子数学奥林匹克 12 (叶中豪 供题) 6. 已知𝑎、𝑎、𝑏 ≥ 0,𝑎 + 𝑎 + 𝑏 = 1.求证:�𝑎 + 1 4 (𝑎 − 𝑏)2 + √𝑎 + √𝑏 ≤ √3 (李伟固 供题) 7. 给定绝对值都不大于 10 的整数 a、b、c,三次多项式𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏满足条件�𝑓(2 + √3)� < 0.0001.问:2 + √3是否一定是这 个多项式的根? (张景中 供题) 8. n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局.规定:胜者得 1 分, 负者得 0 分,平局得 0.5 分.如果赛后发现任何 m 个棋手中都有一个 棋手胜了其余 m-1 个棋手,也有一个棋手输给了其余 m-1 个棋手,就 称此赛况具有性质 P(m).对给定的𝑚(𝑚 ≥ 4),求 n 的最小值 f(m),使 得对具有性质 P(m)的任何赛况,都有所有 n 名棋手的得分各不相同. (王建伟 供题) 女子数学奥林匹克 13 2008 年女子数学奥林匹克 1. (1)问能否将集合�1,2,⋯,96�表示为它的 32 个三元子集的 并集,且每个三元子集的元素之和都相等; (2)问能否将集合�1,2,⋯,99�表示为它的 33 个三元子集的 并集,且每个三元子集的元素之和都相等. (刘诗雄 供题) 2. 已知式系数多项式𝜙(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑑有三个正根,且 𝜙(0) < 0.求证:2𝑎3 + 9𝑎2𝑑 − 7𝑎𝑎𝑏 ≤ 0. (朱华伟 供题) 3. 求最小常数𝑎(𝑎 > 1),使得对正方形 ABCD 内部任一点 P,都存 在△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 中的某两个三角形,其面积之比属 于区间�𝑎−1,𝑎�. (李伟固 供题) 4. 在凸四边形 ABCD 的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP, 记四边形 ABCD 的对角线的和为 x,四边形 PQRS 的对角线中点连线 的和为 y.求𝑦 𝑥 的最大值. (熊 斌 供题) 5. 如图 1,已知凸四边形 ABCD 满足AB = BC,AD = DA,E、F 分 别是线段 AB、AD 上一点,满足 B、E、F、D 四点共圆,作△DPE 顺 向相似于△ADC,作△BQF 顺向相似于△ABC.求证:A、P、Q 三点共 线. 女子数学奥林匹克 14 图 1 注:两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按 逆时针方向排列. (叶中豪 供题) 6. 设 正 数 列 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛,⋯ 满 足 (8𝑥2 − 7𝑥1)𝑥17 = 8 及 𝑥𝑘+1𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘 2 = 𝑥𝑘−18 −𝑥𝑘8(𝑥𝑘𝑥𝑘−1)7 (𝑘 ≥ 2).求正实数 a,使得当𝑥1 > 𝑎时,有单 调性𝑥1 > 𝑥2 > ⋯ > 𝑥𝑛 > ⋯,当0 < 𝑥1 < 𝑎时,不具有单调性. (李胜宏 供题) 7. 给定一个2008 × 2008的棋盘,棋盘上每个小方格的颜色均不相同. 在棋盘的每一个小方格中填入 C、G、M、O 这 4 个字母中的一个, 若棋盘中每一个2 × 2的小棋盘中都有 C、G、M、O 这 4 个字母,则 称这个棋盘为“和谐棋盘”,问有多少种不同的和谐棋盘? (冯祖明 供题) 8. 对于正整数 n,令𝑓𝑛 = �2𝑛√2008� + [2𝑛√2009].求证:数列𝑓1, 𝑓2,⋯ 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数([x]表示不超过实数 x 的最大整 数). (冯祖明 供题) Q P F A C B D E 女子数学奥林匹克 15 女子数学奥林匹克 16 2009 年女子数学奥林匹克 1. 求证:方程𝑎𝑎𝑏 = 2009(𝑎 + 𝑎 + 𝑏)只有有限组正整数解(a, b, c). (梁应德 供题) 2. 如图 1,在△ABC 中,∠𝐵𝐴𝐴 = 90°,点 E 在△ABC 的外接圆圆 Γ 的弧 BC(不含点 A)内,AE>EC.连结 EC 并延长至点 F,使得 ∠𝐷𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐵,连结 BF 交圆 Γ于点 D,连结 ED,记△DEF 的外心 为 O.求证:A、C、O 三点共线. 图 1 (边红平 供题) 3. 在平面直角坐标系中,设点集 �𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃4𝑛+1� = �(𝑥, 𝑦)�𝑥、𝑦为整数,|𝑥| ≤ 𝑛, |𝑦| ≤ 𝑛, 𝑥𝑦 = 0�,其中,𝑛 ∈ 𝑁+.求(𝑃1𝑃2)2 + (𝑃2𝑃3)2 + ⋯+ (𝑃4𝑛𝑃4𝑛+1)2 + (𝑃4𝑛+1𝑃1)2的最小值. (王新茂 供题) 4. 设平面上有𝑛(𝑛 ≥ 4)个点𝑉1,𝑉2,⋯,𝑉𝑛,任意三点不共线,某 些点之间连有线段.把标号分别为1,2,⋯,𝑛的 n枚棋子放置在这 n 个点处,每个点处恰有一枚棋子.现对这 n 枚棋子进行如下操作:每 Γ O D F B C A E 女子数学奥林匹克 17 次选取若干枚棋子,将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另 一个点处;操作后每点处仍恰有一枚棋子,并且没有两枚棋子在操作 前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这 n 枚 棋子,总能经过有限次操作后,使每个标号为𝑘(𝑘 = 1,2,⋯ ,𝑛)的棋子 在点𝑉𝑘处,则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段 的方式中,线段数目的最小值. (付云皓 供题) 5. 设实数 xyz 大于或等于 1.求证: (𝑥2 − 2𝑥 + 2)(𝑦2 − 2𝑦 + 2)(𝑧2 − 2𝑧 + 2) ≤ (𝑥𝑦𝑧)2 − 2𝑥𝑦𝑧 + 2 (熊 斌 供题) 6. 如图 2,圆 Γ1、Γ2内切于点 S,圆 Γ2的弦 AB 与圆 Γ1切于点 C, M 是弧 AB(不含点 S)的中点,过点 M 作𝑀𝑁 ⊥ 𝐴𝐵,垂足为 N.记圆 Γ1的半径为 r.求证:𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐵 = 2𝑟𝑀𝑁. 图 2 (叶中豪 供题) 7. 在一个10 × 10的方格表中有一个有 4n 个1 × 1的小方格组成的图 形,它既可被 n 个“ ”型的图形覆盖,也可被 n 个“ ”或“ ” Γ 1 Γ 2 M N B A S C 女子数学奥林匹克 18 型(可以旋转)的图形覆盖.求正整数 n 的最小值. (朱华伟 供题) 8. 设𝑎𝑛 = 𝑛√5 − �𝑛√5�.求数列𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎2009中的最大项和最 小项,其中,[𝑥]表示不超过实数 x 的最大整数. (王志雄 供题) 女子数学奥林匹克 19 2010 年女子数学奥林匹克 1. 给定整数𝑛(𝑛 ≥ 3),设𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴2𝑛是集合�1,2,⋯,𝑛�的 两两不同的非空子集,记𝐴2𝑛+1 = 𝐴1.求∑ |𝐴𝑖∩𝐴𝑖+1||𝐴𝑖|⋅|𝐴𝑖+1|2𝑛𝑖=1 的最大值. (梁应德 供题) 2. 如图 1,在△ABC 中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐴,D 是边 BC 的中点,E 是在△ABC 外一点,满足𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐵,𝐵𝐷 = 𝐵𝐵.过线段BE的中点M作直线𝑀𝐵 ⊥ 𝐵𝐷, 交△ABD 的外接圆的劣弧 AD 于点 F.求证:𝐷𝐵 ⊥ 𝐵𝐵. 图 1 (郑焕 供题) 3. 求证:对于每个正整数 n,都存在满足下面三个条件的质数 p 和 整数 m: (1)𝑖 ≡ 5(𝑚𝑚𝑑 6); (2)𝑖 ∤ 𝑛; (3)𝑛 ≡ 𝑚3(𝑚𝑚𝑑 𝑖). (付云皓 供题) 4. 设 实 数 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛 满 足 ∑ 𝑥𝑖2 = 1(𝑛 ≥ 2)𝑛𝑖=1 . 求 证 : ∑ (1 − 𝑘 ∑ 𝑖𝑥𝑖 2𝑛 𝑖=1 )2 𝑥𝑘2 𝑘 𝑛 𝑘=1 ≤ (𝑛−1𝑛+1)2 ∑ 𝑥𝑘2𝑘𝑛𝑘=1 ,并确定等号成立的条件. F M E D B C A 女子数学奥林匹克 20 (李胜宏 供题) 5. 已知𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)都是定义在 R 上递增的一次函数,𝑓(𝑥)为整数当 且仅当𝑔(𝑥)为整数.证明:对一切𝑥 ∈ 𝑅,𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)为整数. (刘诗雄 供题) 6. 如图 2,在锐角△ABC 中,𝐴𝐵 > 𝐴𝐴,M 为边 BC 的中点,∠𝐵𝐴𝐴的 外角平分线交直线 BC 于点 P.点 K、F 在直线 PA 上,使得𝑀𝐵 ⊥ 𝐵𝐴, 𝑀𝑀 ⊥ 𝑃𝐴.求证:BC2 = 4𝑃𝐵 ⋅ 𝐴𝑀. 图 2 (边红平 供题) 7. 给 定 正 整 数 𝑛(𝑛 ≥ 3) . 对 于 1,2,⋯,𝑛的 任 意 一 个 排 列 𝑃 = (𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛),若𝑖 < 𝑗 < 𝑘,则称𝑥𝑗介于𝑥𝑖和𝑥𝑘之间(如在排列 (1,3,2,4)中,3 介于 1 和 4 之间,4 不介于 1 和 2 之间).设集合 𝑆 = {𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑚}的每个元素𝑃𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚)中都不介于另外两个数 之间.求 m 的最大值. (冯祖鸣 供题) 8. 试求满足下列条件的大于 5 的最小奇数 a:存在正整数𝑚1、𝑛1、𝑚2、 𝑛2,使得𝑎 = 𝑚12 + 𝑛12,𝑎2 = 𝑚22 + 𝑛22,且𝑚1 − 𝑛1 = 𝑚2 − 𝑛2. (朱华伟 供题) K F P M A B C 女子数学奥林匹克 21 2011 年女子数学奥林匹克 1. 求出所有的正整数 n,使得关于 x,y 的方程 1 𝑥 + 1 𝑦 = 1 𝑛 恰有2011组 满足𝑥 ≤ 𝑦的正整数解(x,y) . (熊 斌 供题) 2. 如图 1,在四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 E,边 AB、 CD 的中垂线相交于点 F,点 M、N 分别为边 AB、CD 的中点,直线 EF 分别与边 BC、AD 相交于点 P、Q,若𝑀𝐵 ⋅ 𝐴𝐵 = 𝑁𝐵 ⋅ 𝐴𝐵 , 𝐵𝑄 ⋅ 𝐵𝑃 = 𝐴𝑄 ⋅ 𝐴𝑃 ,求证:PQ 垂直于 BC. 图 1 (郑 焕 供题) 3. 设正数𝑎,𝑎,𝑏,𝑑满足𝑎𝑎𝑏𝑑 = 1,求证: 1 𝑎 + 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑑 + 9 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑑 ≥ 254 (朱华伟 供题) P Q E F N M A D B C 女子数学奥林匹克 22 4. 有𝑛(𝑛 ≥ 3)名乒乓球选手参加循环赛,每两名选手之间恰好比赛 一次(比赛无平局).赛后发现,可以将这些选手排成一圈,使得对于任 意三名选手 A,B,C,若 A,B 在圈上相邻,则 A,B 中至少有一人战 胜了 C,求 n 的所有可能值. (付云皓 供题) 5. 给定非负实数 a,求最小实数𝑓 = 𝑓(𝑎),使得对任意复数,𝑍1 , 𝑍2和 实数𝑥(0 ≤ 𝑥 ≤ 1),若|𝑍1| ≤ 𝑎|𝑍1 − 𝑍2|,则|𝑍1 − 𝑥𝑍2| ≤ 𝑓|𝑍1 − 𝑍2|. (李胜宏 供题) 6. 是否存在正整数 m,n,使得𝑚20 + 11𝑛是完全平方数?请予以证 明. (袁汉辉 供题) 7. 从左到右编号为𝐵1,𝐵2,⋯,𝐵𝑛的 n 个盒子共装有 n 个小球,每 次可以选择一个盒子 Bk,进行如下操作:若 k=1 且 B1中至少有 1 个 小球,则可从 B1 中移 1 个小球至 B2 中;若 k=n,且 Bn 中至少有 1 个小球,则可从 Bn中移 1 个小球至 Bn-1中,若2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1且 Bk中 至少有 2 个小球,则可从 Bk中分别移 1 个小球至 Bk-1和 Bk+1中,求 证:无论初始时这些小球如何放置,总能经过有限次操作使得每个盒 子中恰有 1 个小球. (王新茂 供题) 女子数学奥林匹克 23 8. 如图 2,已知⊙O 为△ABC 中 BC 边上的旁切圆,点 D、E 分别在 线段 AB、AC 上,使得𝐵𝐷∥𝐵𝐴.⊙O1为△ADE 的内切圆,O1B 交 DO 于点 F,O1C交 EO于点 G.⊙O切 BC于点 M.⊙O1切 DE于点 N.求证: MN 平分线段 FG. 图 2 (边红平 供题) F G N O 1 E M O C A B D 女子数学奥林匹克 24 2012 年女子数学奥林匹克 1. 设 𝑎1,𝑎2,⋯ , 𝑎𝑛 为非负实数,求证: 11+𝑎1 + 𝑎1(1+𝑎1)(1+𝑎2) + ⋯+ 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛−1(1+𝑎1)(1+𝑎2)⋯(1+𝑎𝑛) ≤ 1. 2. 如图 1 所示,圆 O1和 O2外切于点 T,点 A、E 在圆 O1上,AB 切 圆 O2于点 B,ED 切圆 O2于点 D,直线 BD、AE 交于点 P. (1) 求证:𝐴𝐵 ⋅ 𝐷𝑇 = 𝐴𝑇 ⋅ 𝐷𝐵; (2) 求证:∠𝐴𝑇𝑃 + ∠𝐷𝑇𝑃 = 180° 图 1 3. 求所有整数对(a,b),使得存在整数 d>1,对任意的正整数 n,都 有𝑑|𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 + 1. 4. 在正十三边形的 13 个顶点上各摆放一枚黑子或者白子,一次操作 是指将两枚棋子的位置交换.求证:无论开始时棋子是如何摆放的, 总可以至多操作一次,使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条 对称轴是对称的. 5. 如图 2 所示,在△ABC 中,I 为内切圆圆心,D、E 分别为 AB、AC 边上的切点,O 为△BIC 的外心,求证:∠𝑂𝐵𝐵 = ∠𝑂𝐷𝐴. P D B O 1 O 2 T A E 女子数学奥林匹克 25 图 2 6. 某个国家有𝑛(𝑛 ≥ 3)个城市,每两个城市间都有一条双向航线.这 个国家有两个航空公司,每条航线由一家公司经营.一个女数学家从 某个城市出发,经过至少两个其它城市,回到出发地.如果无论怎样 选择出发城市和路径,都无法只乘坐一家公司的航班,求 n 的最大值. 7. 有一个无穷项的正整数数列𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯.已知存在正整数 k 和 r,使得 𝑟 𝑎𝑟 = 𝑘 + 1,求证:存在正整数 s,使得 𝑠 𝑎𝑠 = 𝑘. 8. 集合{0,1,2,⋯ ,2012}中有多少个元素 k,使得𝐴2012𝑘 是 2012 的倍数. O E D I A B C 女子数学奥林匹克 26 2002年女子数学奥林匹克 2003年女子数学奥林匹克 2004年女子数学奥林匹克 2005年女子数学奥林匹克 2006年女子数学奥林匹克 2007年女子数学奥林匹克 2008年女子数学奥林匹克 2009年女子数学奥林匹克 2010年女子数学奥林匹克 2011年女子数学奥林匹克 2012年女子数学奥林匹克
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分类:高中数学
上传时间:2013-07-29
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