女子数学奥林匹克
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目录
2002年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 1
2003年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 3
2004年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 5
2005年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 7
2006年女子数学奥林匹克 ...................................................................................................... 9
2007年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 11
2008年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 13
2009年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 16
2010年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 19
2011年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 21
2012年女子数学奥林匹克 .................................................................................................... 24
女子数学奥林匹克
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2002 年女子数学奥林匹克
1. 求出所有的正整数 n,使得20𝑛 + 2能整除2003𝑛 + 2002.
2. 夏令营有 3n(n 是正整数)位女同学参加,每天都有 3 位女同学
担任执勤工作.夏令营结束时,发现这 3n 位女同学中的任何两位,在
同一天担任执勤工作恰好是一次.
(1) 问:当 n=3 时,是否存在满足题意的安排?
证明
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你的结论;
(2) 求证:n 是奇数.
3. 试求出所有的正整数 k,使得对任意满足不等式
𝑘(𝑎𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎) > 5(𝑎2 + 𝑎2 + 𝑏2)
4. ⊙O1和⊙O2相交于 B、C 两点,且 BC 是⊙O1的直径.过点 C 作⊙
O1的切线,交⊙O2于另一点 A,连结 AB,交⊙O1于另一点 E,连结
CE 并延长,交⊙O2 于点 F.设点 H 为线段 AF 内的任意一点,连结
HE 并延长,交⊙O1于点 G,连结 BG 并延长,与 AC 的延长线交于
点 D.求证:𝐴𝐴
𝐴𝐻
= 𝐴𝐴
𝐴𝐶
.
5. 设𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃𝑛(𝑛 ≥ 2)是1,2,⋯,𝑛的任意一个排列.求证:
1
𝑃1+𝑃2
+ 1
𝑃2+𝑃3
+ ⋯+ 1
𝑃𝑛−2+𝑃𝑛−1
+ 1
𝑃𝑛−1+𝑃𝑛
> 𝑛−1
𝑛+2
.
6. 求所有的正整数对(𝑥, 𝑦),满足𝑥𝑦 = 𝑦𝑥−𝑦.
7. 锐角△ABC 的三条高分别为 AD、BE、CF.求证:△DEF 的周长不
超过△ABC 周长的一半.
8. 设𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴8是平面上任意取定的 8 个点,对平面上任意取
定的一条有向直线 l,设𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴8在该直线上的摄影分别是
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2
𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃8.如果这 8 个射影两两不重合,以直线 l 的方向依次排
列为𝑃𝑖1,𝑃𝑖2,⋯,𝑃𝑖8,这样,就得到了 1,2,…,8 的一个排列
𝑖1,𝑖2,⋯,𝑖8(在图 1 中,此排列为 2,1,8,3,7,4,6,5).设这 8 个点对
平面上所有有向直线作射影后,得到的不同排列的个数为
𝑁8 = 𝑁(𝐴1,𝐴2,⋯ ,𝐴8),试求 N8的最大值.
图 1
l
P
5
P
6
P
4
P
7
P
3
P
8
P
1
P
2
A
2
A
1
A
8
A
3
A
7
A
4
A
6
A
5
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3
2003 年女子数学奥林匹克
1. 已知D是△ABC的边 AB上的任意一点,E是边AC上的任意一点,
连结 DE,F 是线段 DE 上的任意一点.设𝐴𝐶
𝐴𝐴
= 𝑥,𝐴𝐴
𝐴𝐴
= 𝑦, 𝐶𝐻
𝐶𝐴
= 𝑧.
证明:
(1) S△𝐴𝐶𝐻 = (1 − 𝑥)𝑦𝑧𝑆△𝐴𝐴𝐴,S△𝐴𝐴𝐻 = 𝑥(1 − 𝑦)(1 − 𝑧)𝑆△𝐴𝐴𝐴;
(2) �S△𝐴𝐶𝐻3 + �S△𝐴𝐴𝐻3 ≤ �𝑆△𝐴𝐴𝐴3 .
2. 某班有 47 个学生,所用教室有 6 排,每排有 8 个座位,用(𝑖, 𝑗)表
示位于第 i 排第 j 列的座位.新学期准备调整座位,设某学生原来的
座位为(𝑖, 𝑗),如果调整后的座位为(𝑚,𝑛),则称该生作了移动[𝑎, 𝑎] = [𝑖 − 𝑚, 𝑗 − 𝑛],并称 a+b 为该生的位置数.所有学生的位置
数之和记为 S.求 S 的最大可能值与最小可能值之差.
3. 如图 1,ABCD 是圆内接四边形,AC 是圆的直径,𝐵𝐵 ⊥ 𝐴𝐴,AC
与 BD 的交点为 E,F 在 DA 的延长线上.连结 BF,G 在 BA 的延长
线上,使得𝐵𝐷∥𝐵𝐵,H 在 GF 的延长线上,𝐴𝐶 ⊥ 𝐷𝐵.证明:B、E、
F、H 四点共圆.
图 1
H
G
D
B
C
A
E
F
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4. (1)证明:存在和为 1 的 5 个非负实数 a、b、c、d、e,使得将
它们任意放置在一个圆周上,总有两个相邻数的乘积不小于
1
9
;
(2)证明:对于和为 1 的任意玩个非负实数 a、b、c、d、e,总
可以将它们适当放置在一个圆周上,且任意相邻两数的乘积均不
大于
1
9
.
5. 数列{𝑎𝑛}定义如下:𝑎1 = 2,𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛2 − 𝑎𝑛 + 1,𝑛 = 1,2,⋯.证明:1 − 1
20032003
< 1
𝑎1
+ 1
𝑎2
+ ⋯+ 1
𝑎2003
< 1.
6. 给定正整数𝑛(𝑛 ≥ 2).求最大的实数𝜆,使得不等式𝑎𝑛2 ≥
𝜆(𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛−1) + 2𝑎𝑛对任意满足𝑎1 < 𝑎2 ⋯ < 𝑎𝑛的正整数
𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛均成立.
7. 设△ABC 的三边长分别为𝐴𝐵 = 𝑏、𝐵𝐴 = 𝑎、𝐴𝐴 = 𝑎,a、b、c 互
不相等,AD、BE、CF 分别为△ABC 的三条内角平分线,且 DE=DF.
证明:
(1) 𝑎
𝑏+𝑐
= 𝑏
𝑐+𝑎
+ 𝑐
𝑎+𝑏
;
(2) ∠𝐵𝐴𝐴 > 90°.
8. 对于任意正整数 n,记 n 的所有正约数组成的集合为 Sn.证明:Sn
中至多有一半元素的个位数为 3.
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2004 年女子数学奥林匹克
1. 如果存在 1,2,⋯,𝑛的一个排列 𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛 ,使得
𝑘 + 𝑎𝑘(𝑘 = 1,2,⋯ ,𝑛)都是完全平方数,则称 n 为“好数”.问:在集合{11,13,15,17,19}中,哪些是“好数”,哪些不是“好数”?说明理由.
(苏 淳 供题)
2. 设 a、b、c 为正实数.求 𝑎+3𝑐
𝑎+2𝑏+𝑐
+ 4𝑏
𝑎+𝑏+2𝑐
−
8𝑐
𝑎+𝑏+3𝑐
的最小值.
(李胜宏 供题)
3. 已知钝角△ABC的外接圆半径为 1.证明:存在一个斜边长为√2 + 1
的等腰直角三角形覆盖△ABC.
(冷岗松 供题)
4. 一副三色纸牌,共有 32 张,其中红黄蓝每种颜色的牌各 10 张,
编号分别是1,2,⋯,10;另有大小王牌各一张,编号均为 0.从这
副牌中任取若干张牌,然后按如下规则计算分值:每张编号为 k 的牌
记为2𝑘分.若它们的分值之和为 2004,则称这些牌为一个“好牌组”.试
求“好牌组”的个数.
(陶平生 供题)
5. 设 u、v、w 为正实数,满足条件𝑢√𝑣𝑣 + 𝑣√𝑣𝑢 + 𝑣√𝑢𝑣 ≥ 1.试求
𝑢 + 𝑣 + 𝑣的最小值.
(陈永高 供题)
6. 给定锐角△ABC,点 O 为其外心,直线 AO 交边 BC 于点 D.动点 E、
F 分别位于边 AB、AC 上,使得 A、E、D、F 四点共圆.求证:线段
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EF 在边 BC 上的投影的长度为定值.
(熊 斌 供题)
7. 已知 p、q 为互质的正整数,n 为非负整数.问:有多少个不同的整
数可以表示为𝑖𝑖 + 𝑗𝑗的形式,其中 i,j 为非负整数,且𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛.
(李伟固 供题)
8. 将一个3 × 3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到
的图形称为“十字形”.在一个10 × 11的棋盘上,最多可以放置多少个
互不重叠的“十字形”(每个“十字形”恰好盖住棋盘上的 5个小方格)?
(冯祖明 供题)
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2005 年女子数学奥林匹克
1. 如图 1,点 P 在△ABC 的外接圆上,直线 CP、AB 相交于点 E,直
线 BP、AC 相交于点 F,边 AC 的垂直平分线与边 AB 相交于点 J,边
AB 的垂直平分线与边 AC 相交于点 K.求证:𝐴𝐴
2
𝐴𝐻2
= 𝐴𝐴⋅𝐴𝐴
𝐴𝐴⋅𝐴𝐻
.
图 1
(叶中豪 供题)
2. 求方程组
�
5 �𝑥 + 1
𝑥
� = 12 �𝑦 + 1
𝑦
� = 13(𝑧 + 1
𝑧
)
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 1 ,
的所有实数解.
(朱华伟 供题)
3. 是否存在这样的凸多面体,它共有 8 个顶点、12 条棱和 6 个面,
并且其中有 4 个面,每两个面都有公共棱?
(苏 淳 供题)
4. 求出所有的正实数 a,使得存在正整数 n 及 n 个互不相交的无限
整数集合𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴𝑛满足𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 = 𝑍,而且对于每个
𝐴𝑖中的任意两数b > c,都有𝑎 − 𝑏 ≥ 𝑎𝑖.
K
J
F
E
A
B
C
P
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(袁汉辉 供题)
5. 设正实数 x、y 满足𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥 − 𝑦.求证:
𝑥2 + 4𝑦2 < 1.
(熊 斌 供题)
6. 设正整数𝑛(𝑛 ≥ 3).如果在平面上有 n 个格点𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃𝑛满足:
当�𝑃𝑖𝑃𝑗�为有理数时,存在𝑃𝑘,使得|𝑃𝑖𝑃𝑘|和�𝑃𝑗𝑃𝑘�均为无理数;当�𝑃𝑖𝑃𝑗�
为无理数时,存在𝑃𝑘,使得|𝑃𝑖𝑃𝑘|和�𝑃𝑗𝑃𝑘�均为有理数,那么,称 n 是
“好数”.
(1) 求最小的好数;
(2) 问:2005 是否为好数
(冯祖明 供题)
7. 设 m 、 n 是整数,𝑚 > 𝑛 ≥ 2 , 𝑆 = �1,2,⋯,𝑚�, 𝑇 =
�𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛�是 S 的一个子集.已知 T 中的任两个数都不能同时
整除 S 中的任何一个数.求证:
1
𝑎1
+ 1
𝑎2
+ ⋯+ 1
𝑎𝑛
< 𝑚+𝑛
𝑚
.
(张同君 供题)
8. 给定实数a、b(a > 𝑎 > 0),将长为 a、宽为 b 的矩形放入一个正
方形内(包含边界).问正方形的边至少为多长?
(陈永高 供题)
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2006 年女子数学奥林匹克
1. 设 a>0,函数𝑓: (0, + ∞) → R满足𝑓(𝑎) = 1.如果对任意正实数 x、
y,有𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) + 𝑓 �𝑎
𝑥
� 𝑓 �
𝑎
𝑦
� = 2𝑓(𝑥𝑦),求证:𝑓(𝑥)为常数.
(朱华伟 供题)
2. 设凸四边形 ABCD 的对角线交于点 O.△OAD、△OBC 的外接圆交
于点 O、M,直线 OM 分别交△OAB、△OCD 的外接圆于点 T、S.求
证:M 是线段 TS 的中点.
(叶中豪 供题)
3. 求证:对𝑖 = 1,2,3,均有无穷多个正整数 n,使得 n,n+2,n+28
中恰有 i 个可表示为三个正整数的立方和.
(袁汉辉 供题)
4. 8 个人参加一次聚会.
(1) 如果其中任何 5 个人中都有 3 个人两两认识,求证:可以从中找
出 4 个人两两认识;
(2) 试问:如果其中任何 6 个人中都有 3 个人两两认识,那么是否一
定可以找出 4 个人两两认识?
(苏 淳 供题)
5. 平面上整点集𝑆 = �(𝑎, 𝑎)�1 ≤ 𝑎, 𝑎 ≤ 5(𝑎、𝑎 ∈ 𝑍)�,T 为平面上一
整点集,对 S 中任一点 P,总存在 T 中不同于 P 的一点 Q,使得线段
PQ 上除点 P、Q 外无其它的整点.问 T 的元素个数最少为多少?
(陈永高 供题)
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6. 设集合𝑀 = {1,2,⋯ ,19},𝐴 = {𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑘} ⊆ 𝑀.求最小的 k,使
得对任意的𝑎 ∈ 𝑀,存在𝑎𝑖、𝑎𝑗 ∈ 𝐴,满足𝑎 = 𝑎𝑖或𝑎 = 𝑎𝑖 ± 𝑎𝑗(𝑎𝑖、𝑎𝑗
可以相同).
(李胜宏 供题)
7. 设𝑥𝑖 > 0(𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑛),𝑘 ≥ 1.求证:
∑ 1
1+𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ⋅ ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ≤ ∑
𝑥𝑖
𝑘+1
1+𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ⋅ ∑
1
𝑥𝑖
𝑘
𝑛
𝑖=1 .
(陈伟固 供题)
8. 设 p 为大于 3 的质数,求证:存在若干个整数𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑡满足条
件−
𝑝
2
< 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑡 < 𝑝2,使得乘积𝑝−𝑎1|𝑎1| ⋅ 𝑝−𝑎2|𝑎2| ⋅ ⋯ ⋅ 𝑝−𝑎𝑡|𝑎𝑡| 是 3 的
某个正整数次幂.
(纪春岗 供题)
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2007 年女子数学奥林匹克
1. 设 m 为正整数,如果存在某个正整数 n,使得 m 可以表示为 n 和
n 的正约数个数(包括 1 和自身)的商,则称 m 是“好数”.求证:
(1) 1,2,⋯ ,17都是好数;
(2) 18 不是好数.
(李胜宏 供题)
2. 设△ABC 是锐角三角形,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上,
线段 AD、BE、CF 经过△ABC 的外心 O.已知以下六个比值
𝐴𝐶
𝐶𝐴
、
𝐴𝐴
𝐴𝐴
、
𝐴𝐻
𝐻𝐴
、
𝐴𝐻
𝐻𝐴
、
𝐴𝐴
𝐴𝐴
、
𝐴𝐶
𝐶𝐴
中至少有两个是整数.求证:△ABC 是等
腰三角形.
(冯祖明 供题)
3. 设整数𝑛(𝑛 > 3),非负实数𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛满足𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+
𝑎𝑛 = 2.求 𝑎1𝑎22+1 + 𝑎2𝑎32+1 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑎12+1的最小值.
(朱华伟 供题)
4. 平面内𝑛(𝑛 ≥ 3)个点组成集合 S,P 是此平面内 m 条直线组成的
集合,满足 S 关于 P 中每一条直线对称.求证:𝑚 ≤ 𝑛,并问等号何时
成立?
(边红平 供题)
5. 设 D是△ABC内的一点,满足∠𝐵𝐴𝐴 = ∠𝐵𝐴𝐴 = 30°,∠𝐵𝐵𝐴 = 60°,
E 是边 BC 的中点,F 是边 AC 的三等分点,满足 AF=2FC.求证:
𝐵𝐷 ⊥ 𝐷𝐵.
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(叶中豪 供题)
6. 已知𝑎、𝑎、𝑏 ≥ 0,𝑎 + 𝑎 + 𝑏 = 1.求证:�𝑎 + 1
4
(𝑎 − 𝑏)2 + √𝑎 +
√𝑏 ≤ √3
(李伟固 供题)
7. 给定绝对值都不大于 10 的整数 a、b、c,三次多项式𝑓(𝑥) = 𝑥3 +
𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏满足条件�𝑓(2 + √3)� < 0.0001.问:2 + √3是否一定是这
个多项式的根?
(张景中 供题)
8. n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局.规定:胜者得 1 分,
负者得 0 分,平局得 0.5 分.如果赛后发现任何 m 个棋手中都有一个
棋手胜了其余 m-1 个棋手,也有一个棋手输给了其余 m-1 个棋手,就
称此赛况具有性质 P(m).对给定的𝑚(𝑚 ≥ 4),求 n 的最小值 f(m),使
得对具有性质 P(m)的任何赛况,都有所有 n 名棋手的得分各不相同.
(王建伟 供题)
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2008 年女子数学奥林匹克
1. (1)问能否将集合�1,2,⋯,96�表示为它的 32 个三元子集的
并集,且每个三元子集的元素之和都相等;
(2)问能否将集合�1,2,⋯,99�表示为它的 33 个三元子集的
并集,且每个三元子集的元素之和都相等.
(刘诗雄 供题)
2. 已知式系数多项式𝜙(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑑有三个正根,且
𝜙(0) < 0.求证:2𝑎3 + 9𝑎2𝑑 − 7𝑎𝑎𝑏 ≤ 0.
(朱华伟 供题)
3. 求最小常数𝑎(𝑎 > 1),使得对正方形 ABCD 内部任一点 P,都存
在△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 中的某两个三角形,其面积之比属
于区间�𝑎−1,𝑎�.
(李伟固 供题)
4. 在凸四边形 ABCD 的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP,
记四边形 ABCD 的对角线的和为 x,四边形 PQRS 的对角线中点连线
的和为 y.求𝑦
𝑥
的最大值.
(熊 斌 供题)
5. 如图 1,已知凸四边形 ABCD 满足AB = BC,AD = DA,E、F 分
别是线段 AB、AD 上一点,满足 B、E、F、D 四点共圆,作△DPE 顺
向相似于△ADC,作△BQF 顺向相似于△ABC.求证:A、P、Q 三点共
线.
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图 1
注:两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按
逆时针方向排列.
(叶中豪 供题)
6. 设 正 数 列 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛,⋯ 满 足 (8𝑥2 − 7𝑥1)𝑥17 = 8 及
𝑥𝑘+1𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘
2 = 𝑥𝑘−18 −𝑥𝑘8(𝑥𝑘𝑥𝑘−1)7 (𝑘 ≥ 2).求正实数 a,使得当𝑥1 > 𝑎时,有单
调性𝑥1 > 𝑥2 > ⋯ > 𝑥𝑛 > ⋯,当0 < 𝑥1 < 𝑎时,不具有单调性.
(李胜宏 供题)
7. 给定一个2008 × 2008的棋盘,棋盘上每个小方格的颜色均不相同.
在棋盘的每一个小方格中填入 C、G、M、O 这 4 个字母中的一个,
若棋盘中每一个2 × 2的小棋盘中都有 C、G、M、O 这 4 个字母,则
称这个棋盘为“和谐棋盘”,问有多少种不同的和谐棋盘?
(冯祖明 供题)
8. 对于正整数 n,令𝑓𝑛 = �2𝑛√2008� + [2𝑛√2009].求证:数列𝑓1, 𝑓2,⋯
中有无穷多个奇数和无穷多个偶数([x]表示不超过实数 x 的最大整
数).
(冯祖明 供题)
Q
P
F
A
C
B
D
E
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2009 年女子数学奥林匹克
1. 求证:方程𝑎𝑎𝑏 = 2009(𝑎 + 𝑎 + 𝑏)只有有限组正整数解(a, b, c).
(梁应德 供题)
2. 如图 1,在△ABC 中,∠𝐵𝐴𝐴 = 90°,点 E 在△ABC 的外接圆圆 Γ
的弧 BC(不含点 A)内,AE>EC.连结 EC 并延长至点 F,使得
∠𝐷𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐵,连结 BF 交圆 Γ于点 D,连结 ED,记△DEF 的外心
为 O.求证:A、C、O 三点共线.
图 1
(边红平 供题)
3. 在平面直角坐标系中,设点集
�𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃4𝑛+1� =
�(𝑥, 𝑦)�𝑥、𝑦为整数,|𝑥| ≤ 𝑛, |𝑦| ≤ 𝑛, 𝑥𝑦 = 0�,其中,𝑛 ∈ 𝑁+.求(𝑃1𝑃2)2 + (𝑃2𝑃3)2 + ⋯+ (𝑃4𝑛𝑃4𝑛+1)2 + (𝑃4𝑛+1𝑃1)2的最小值.
(王新茂 供题)
4. 设平面上有𝑛(𝑛 ≥ 4)个点𝑉1,𝑉2,⋯,𝑉𝑛,任意三点不共线,某
些点之间连有线段.把标号分别为1,2,⋯,𝑛的 n枚棋子放置在这 n
个点处,每个点处恰有一枚棋子.现对这 n 枚棋子进行如下操作:每
Γ
O
D
F
B
C
A
E
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次选取若干枚棋子,将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另
一个点处;操作后每点处仍恰有一枚棋子,并且没有两枚棋子在操作
前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这 n 枚
棋子,总能经过有限次操作后,使每个标号为𝑘(𝑘 = 1,2,⋯ ,𝑛)的棋子
在点𝑉𝑘处,则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段
的方式中,线段数目的最小值.
(付云皓 供题)
5. 设实数 xyz 大于或等于 1.求证: (𝑥2 − 2𝑥 + 2)(𝑦2 − 2𝑦 + 2)(𝑧2 − 2𝑧 + 2) ≤ (𝑥𝑦𝑧)2 − 2𝑥𝑦𝑧 + 2
(熊 斌 供题)
6. 如图 2,圆 Γ1、Γ2内切于点 S,圆 Γ2的弦 AB 与圆 Γ1切于点 C,
M 是弧 AB(不含点 S)的中点,过点 M 作𝑀𝑁 ⊥ 𝐴𝐵,垂足为 N.记圆
Γ1的半径为 r.求证:𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐵 = 2𝑟𝑀𝑁.
图 2
(叶中豪 供题)
7. 在一个10 × 10的方格表中有一个有 4n 个1 × 1的小方格组成的图
形,它既可被 n 个“ ”型的图形覆盖,也可被 n 个“ ”或“ ”
Γ
1
Γ
2
M
N
B
A
S
C
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型(可以旋转)的图形覆盖.求正整数 n 的最小值.
(朱华伟 供题)
8. 设𝑎𝑛 = 𝑛√5 − �𝑛√5�.求数列𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎2009中的最大项和最
小项,其中,[𝑥]表示不超过实数 x 的最大整数.
(王志雄 供题)
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2010 年女子数学奥林匹克
1. 给定整数𝑛(𝑛 ≥ 3),设𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴2𝑛是集合�1,2,⋯,𝑛�的
两两不同的非空子集,记𝐴2𝑛+1 = 𝐴1.求∑ |𝐴𝑖∩𝐴𝑖+1||𝐴𝑖|⋅|𝐴𝑖+1|2𝑛𝑖=1 的最大值.
(梁应德 供题)
2. 如图 1,在△ABC 中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐴,D 是边 BC 的中点,E 是在△ABC
外一点,满足𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐵,𝐵𝐷 = 𝐵𝐵.过线段BE的中点M作直线𝑀𝐵 ⊥ 𝐵𝐷,
交△ABD 的外接圆的劣弧 AD 于点 F.求证:𝐷𝐵 ⊥ 𝐵𝐵.
图 1
(郑焕 供题)
3. 求证:对于每个正整数 n,都存在满足下面三个条件的质数 p 和
整数 m:
(1)𝑖 ≡ 5(𝑚𝑚𝑑 6);
(2)𝑖 ∤ 𝑛;
(3)𝑛 ≡ 𝑚3(𝑚𝑚𝑑 𝑖).
(付云皓 供题)
4. 设 实 数 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛 满 足 ∑ 𝑥𝑖2 = 1(𝑛 ≥ 2)𝑛𝑖=1 . 求 证 :
∑ (1 − 𝑘
∑ 𝑖𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
)2 𝑥𝑘2
𝑘
𝑛
𝑘=1 ≤ (𝑛−1𝑛+1)2 ∑ 𝑥𝑘2𝑘𝑛𝑘=1 ,并确定等号成立的条件.
F
M
E
D
B
C
A
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20
(李胜宏 供题)
5. 已知𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)都是定义在 R 上递增的一次函数,𝑓(𝑥)为整数当
且仅当𝑔(𝑥)为整数.证明:对一切𝑥 ∈ 𝑅,𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)为整数.
(刘诗雄 供题)
6. 如图 2,在锐角△ABC 中,𝐴𝐵 > 𝐴𝐴,M 为边 BC 的中点,∠𝐵𝐴𝐴的
外角平分线交直线 BC 于点 P.点 K、F 在直线 PA 上,使得𝑀𝐵 ⊥ 𝐵𝐴,
𝑀𝑀 ⊥ 𝑃𝐴.求证:BC2 = 4𝑃𝐵 ⋅ 𝐴𝑀.
图 2
(边红平 供题)
7. 给 定 正 整 数 𝑛(𝑛 ≥ 3) . 对 于 1,2,⋯,𝑛的 任 意 一 个 排 列
𝑃 = (𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛),若𝑖 < 𝑗 < 𝑘,则称𝑥𝑗介于𝑥𝑖和𝑥𝑘之间(如在排列
(1,3,2,4)中,3 介于 1 和 4 之间,4 不介于 1 和 2 之间).设集合
𝑆 = {𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑚}的每个元素𝑃𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚)中都不介于另外两个数
之间.求 m 的最大值.
(冯祖鸣 供题)
8. 试求满足下列条件的大于 5 的最小奇数 a:存在正整数𝑚1、𝑛1、𝑚2、
𝑛2,使得𝑎 = 𝑚12 + 𝑛12,𝑎2 = 𝑚22 + 𝑛22,且𝑚1 − 𝑛1 = 𝑚2 − 𝑛2.
(朱华伟 供题)
K
F
P
M
A
B
C
女子数学奥林匹克
21
2011 年女子数学奥林匹克
1. 求出所有的正整数 n,使得关于 x,y 的方程 1
𝑥
+ 1
𝑦
= 1
𝑛
恰有2011组
满足𝑥 ≤ 𝑦的正整数解(x,y) .
(熊 斌 供题)
2. 如图 1,在四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 E,边 AB、
CD 的中垂线相交于点 F,点 M、N 分别为边 AB、CD 的中点,直线
EF 分别与边 BC、AD 相交于点 P、Q,若𝑀𝐵 ⋅ 𝐴𝐵 = 𝑁𝐵 ⋅ 𝐴𝐵 ,
𝐵𝑄 ⋅ 𝐵𝑃 = 𝐴𝑄 ⋅ 𝐴𝑃 ,求证:PQ 垂直于 BC.
图 1
(郑 焕 供题)
3. 设正数𝑎,𝑎,𝑏,𝑑满足𝑎𝑎𝑏𝑑 = 1,求证:
1
𝑎
+ 1
𝑎
+ 1
𝑏
+ 1
𝑑
+ 9
𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑑 ≥ 254
(朱华伟 供题)
P
Q
E
F
N
M
A D
B
C
女子数学奥林匹克
22
4. 有𝑛(𝑛 ≥ 3)名乒乓球选手参加循环赛,每两名选手之间恰好比赛
一次(比赛无平局).赛后发现,可以将这些选手排成一圈,使得对于任
意三名选手 A,B,C,若 A,B 在圈上相邻,则 A,B 中至少有一人战
胜了 C,求 n 的所有可能值.
(付云皓 供题)
5. 给定非负实数 a,求最小实数𝑓 = 𝑓(𝑎),使得对任意复数,𝑍1 , 𝑍2和
实数𝑥(0 ≤ 𝑥 ≤ 1),若|𝑍1| ≤ 𝑎|𝑍1 − 𝑍2|,则|𝑍1 − 𝑥𝑍2| ≤ 𝑓|𝑍1 − 𝑍2|.
(李胜宏 供题)
6. 是否存在正整数 m,n,使得𝑚20 + 11𝑛是完全平方数?请予以证
明.
(袁汉辉 供题)
7. 从左到右编号为𝐵1,𝐵2,⋯,𝐵𝑛的 n 个盒子共装有 n 个小球,每
次可以选择一个盒子 Bk,进行如下操作:若 k=1 且 B1中至少有 1 个
小球,则可从 B1 中移 1 个小球至 B2 中;若 k=n,且 Bn 中至少有 1
个小球,则可从 Bn中移 1 个小球至 Bn-1中,若2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛-1且 Bk中
至少有 2 个小球,则可从 Bk中分别移 1 个小球至 Bk-1和 Bk+1中,求
证:无论初始时这些小球如何放置,总能经过有限次操作使得每个盒
子中恰有 1 个小球.
(王新茂 供题)
女子数学奥林匹克
23
8. 如图 2,已知⊙O 为△ABC 中 BC 边上的旁切圆,点 D、E 分别在
线段 AB、AC 上,使得𝐵𝐷∥𝐵𝐴.⊙O1为△ADE 的内切圆,O1B 交 DO
于点 F,O1C交 EO于点 G.⊙O切 BC于点 M.⊙O1切 DE于点 N.求证:
MN 平分线段 FG.
图 2
(边红平 供题)
F
G
N
O
1
E
M
O
C
A
B
D
女子数学奥林匹克
24
2012 年女子数学奥林匹克
1. 设 𝑎1,𝑎2,⋯ , 𝑎𝑛 为非负实数,求证: 11+𝑎1 + 𝑎1(1+𝑎1)(1+𝑎2) + ⋯+
𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛−1(1+𝑎1)(1+𝑎2)⋯(1+𝑎𝑛) ≤ 1.
2. 如图 1 所示,圆 O1和 O2外切于点 T,点 A、E 在圆 O1上,AB 切
圆 O2于点 B,ED 切圆 O2于点 D,直线 BD、AE 交于点 P.
(1) 求证:𝐴𝐵 ⋅ 𝐷𝑇 = 𝐴𝑇 ⋅ 𝐷𝐵;
(2) 求证:∠𝐴𝑇𝑃 + ∠𝐷𝑇𝑃 = 180°
图 1
3. 求所有整数对(a,b),使得存在整数 d>1,对任意的正整数 n,都
有𝑑|𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 + 1.
4. 在正十三边形的 13 个顶点上各摆放一枚黑子或者白子,一次操作
是指将两枚棋子的位置交换.求证:无论开始时棋子是如何摆放的,
总可以至多操作一次,使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条
对称轴是对称的.
5. 如图 2 所示,在△ABC 中,I 为内切圆圆心,D、E 分别为 AB、AC
边上的切点,O 为△BIC 的外心,求证:∠𝑂𝐵𝐵 = ∠𝑂𝐷𝐴.
P
D
B
O
1
O
2
T
A
E
女子数学奥林匹克
25
图 2
6. 某个国家有𝑛(𝑛 ≥ 3)个城市,每两个城市间都有一条双向航线.这
个国家有两个航空公司,每条航线由一家公司经营.一个女数学家从
某个城市出发,经过至少两个其它城市,回到出发地.如果无论怎样
选择出发城市和路径,都无法只乘坐一家公司的航班,求 n 的最大值.
7. 有一个无穷项的正整数数列𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯.已知存在正整数 k
和 r,使得 𝑟
𝑎𝑟
= 𝑘 + 1,求证:存在正整数 s,使得 𝑠
𝑎𝑠
= 𝑘.
8. 集合{0,1,2,⋯ ,2012}中有多少个元素 k,使得𝐴2012𝑘 是 2012 的倍数.
O
E
D
I
A
B
C
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26
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