人教版高中数学必修2 全册教案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 人教版 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 必修二 第一章 空间几何体 重难点解析 第一章 课文目录 1．1　空间几何体的结构 1．2　空间几何体的三视图和直观图 1．3　空间几何体的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积与体积 重难点： 1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 2、画出简单组合体的三视图。 3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。 4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。 5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 知识结构： 表面积 体积 度 量 空间几何体 柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影 棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 三视图 直观图　　 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 （1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质： 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图 形 定 义 有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形状 与底面全等的多边形 与底面全等的多边形 与底面全等的正多边形 名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形 定义 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 由正棱锥截得的棱台 侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点 侧面的形状 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形 对角面的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于底的截面形状 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 其他性质 高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 几种特殊四棱柱的特殊性质： 名称 特殊性质 平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分 直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分 长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 2．空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。 他具体包括： （1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和长度； （2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的长度和宽度； 三视图画法规则： 高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法 ①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系； ②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使 =450（或1350），它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 （2）平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。 注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 例题讲解： [例1]将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） [例2]在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ） A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 [例3]正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为 ，则点P的轨迹是（ ） A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 解析： 点P到A1D1的距离为 ，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线， 又 ， 满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点. 故点P的轨迹是两个点。选项为C。 点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。 [例4]两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ） A．1个　　　　　B．2个 C．3个　　　　　D．无穷多个 解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。 点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。 题型2：空间几何体的定义 [例5]长方体 的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= ， ，则顶点A、B间的球面距离是( ) A． B． C． D．2 解析： EMBED Equation.DSMT4 设 则 EMBED Equation.DSMT4 故选Ｂ. 点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。 [例6]已知直线m,n和平面 满足 ,则( ) 或 或 解析：易知D正确. 点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。 题型3：空间几何体中的想象能力 [例7]如图所示，四棱锥 的底面 是边长为1的菱形， ， E是CD的中点，PA 底面ABCD， 。 （I）证明：平面PBE 平面PAB； （II）求二面角A—BE—P和的大小。 解析：解法一（I）如图所示, 连结 由 是菱形且 知， 是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以 又 所以 又因为PA 平面ABCD， 平面ABCD， 所以 而 因此 平面PAB. 又 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB. （II）由（I）知， 平面PAB, 平面PAB, 所以 又 所以 是二面角 的平面角． 在 中, ． 故二面角 的大小为 解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 （I）因为 平面PAB的一个法向量是 所以 和 共线. 从而 平面PAB. 又因为 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB. （II）易知 设 EMBED Equation.DSMT4 是平面PBE的一个法向量, 则由 得 所以 故可取 EMBED Equation.DSMT4 而平面ABE的一个法向量是 于是, ． 故二面角 的大小为 点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。 [例8]如图，在三棱锥 中， ， ， ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的大小． 解析： 解法一： （Ⅰ）取 中点 ，连结 ． ， ． ， ． ， 平面 ． 平面 ， ． （Ⅱ） ， ， ． 又 ， ． 又 ，即 ，且 ， 平面 ． 取 中点 ．连结 ． ， ． 是 在平面 内的射影， ． 是二面角 的平面角． 在 中， ， ， ， ． 二面角 的大小为 ． 解法二： （Ⅰ） ， ， ． 又 ， ． ， 平面 ． 平面 ， ． （Ⅱ）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ． 则 ． 设 ． ， ， ． 取 中点 ，连结 ． ， ， ， ． 是二面角 的平面角． ， ， ， ． 二面角 的大小为 ． 点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 从深层上考查空间想象能力的主要方向。 [例9]画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。 解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。 作法： （1）画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°（或135°），∠X′O′Z′=90°。 （2）画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE。 （3）画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE。′ （4）成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。 点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。 [例10] 是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 的面积为 ，那么△ABC的面积为_______________。 解析： 。 点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。 [例11] 如图，在棱长为1的正方体 中，AP=BQ=b（0 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 D。 点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 [例4]如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。 解析：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F分别为AB、AC的中点， ∴S△AEF= S, V1= h(S+ S+ )= Sh V2=Sh-V1= Sh， ∴V1∶V2=7∶5。 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型3：锥体的体积和表面积 [例5]（2006上海，19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ，求四棱锥P－ABCD的体积？ 解析：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO， 于是PO=BOtan60°= ，而底面菱形的面积为2 。 ∴四棱锥P－ABCD的体积V= ×2 × =2。 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 [例6]（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5 。（如图所示） （Ⅰ）证明：SC⊥BC； （Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。 解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC。 又AB∩AC=A， ∴SA⊥平面ABC。 由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。 （Ⅱ）∵BC⊥AC，SC⊥BC。 ∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。 在Rt△SCB中，BC=5，SB=5 ，得SC= =10。 在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA= ， ∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。 （Ⅲ）解：在Rt△SAC中， ∵SA= ， S△ABC= ·AC·BC= ×5×5= ， ∴VS－ABC= ·S△ACB·SA= 。 点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。 题型4：锥体体积、表面积综合问题 [例7]ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？ 解析：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。 设点B到平面EFG的距离为h，BD＝ ，EF ，CO＝ 。 。 而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。 由 ，得 EMBED Equation.2 · 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。 [例8]（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ） A．S1(S2 B．S1(S2 C．S1=S2 D．S1，S2的大小关系不能确定 解析：连OA、OB、OC、OD， 则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C 点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 [例9]（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。 （Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：EF∥面ABCD； （Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V= （S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。 （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） （Ⅰ）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G。 如图所示：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°， ∴AB⊥PQ，AB⊥B1P. ∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。 ∴PG= （b－d），又B1G=h，∴tanB1PG= （b＞d）， ∴∠B1PG=arctan ，即所求二面角的大小为arctan . （Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD， 又CD是面ABCD与面CDEF的交线， ∴AB∥面CDEF。 ∵EF是面ABFE与面CDEF的交线， ∴AB∥EF。 ∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外， ∴EF∥面ABCD。 （Ⅲ）V估＜V。 证明：∵a＞c，b＞d， ∴V－V估= = ［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］ = （a－c）（b－d）＞0。 ∴V估＜V。 点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。 [例10]（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（ ） A． B． C．2S0＝S＋S′ D．S02＝2S′S （2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A．32 B．28 C．24 D．20 解析： （1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A； （2）正六棱台上下底面面积分别为：S上＝6· ·22＝6 ，S下＝6· ·42＝24 ，V台＝ ，答案B。 点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题 [例11]（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A． B． C． D． 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr. ∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S侧=h2=4π2r2， ∴ 。答案为A。 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。 [例12]（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 = 。 解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有 πr3=πR2r。故 。答案为 。 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 [例13]（1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A． π B． π C． π D． π （2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的全面积是（ ） A．3π B．3 π C．6π D．9π 解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。 ∴ ，答案D。 （2）∵S＝ absinθ，∴ a2sin60°＝ ， ∴a2＝4，a＝2，a=2r， ∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。 点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 [例14]（2000全国文，12）如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 解析：如图所示，由题意知， πr2h＝ πR2h， ∴r＝ ． 又△ABO∽△CAO， ∴ ，∴OA2＝r·R＝ ， ∴cosθ＝ ，答案为D。 点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。 [例15]已知过球面上 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 ，求球的表面积。 解析：设截面圆心为 ，连结 ，设球半径为 ， 则 ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 。 点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。 [例16]如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。 解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。 在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。 由正弦定理，得 =2r,∴r= a。 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC， ∴P、O、O′共线，球的半径R= 。又PO′= = = a， ∴OO′=R － a=d= ,(R－ a)2=R2 – ( a)2，解得R= a, ∴S球=4πR2=3πa2。 点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R= a,下略。 [例17]（2006四川文，10）如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆上，点 在球面上，如果 ，则球 的表面积是（ ） A． B． C． D． （2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ，求球的表面积和体积。 解析：（1）如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆上，点 在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R， ， ，所以 ，R=2，球 的表面积是 ，选D。 （2）作轴截面如图所示， ， ， 设球半径为 ， 则 ∴ ， ∴ ， 。 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。 [例18]（1）表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积。 （2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。 解析：（1）设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ， 则作轴截面如图， ， ， 又∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ （2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H 由题设 ∵　△AOF∽△AEG ∴　 ，得 ∵　△AO1H∽△AOF ∴ ，得 ∴　 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。 [例19]（1）我国首都靠近北纬 纬线，求北纬 纬线的长度等于多少 ？（地球半径大约为 ） （2）在半径为 的球面上有 三点， ，求球心到经过这三点的截面的距离。 解析：（1）如图， 是北纬 上一点， 是它的半径， ∴ ， 设 是北纬 的纬线长， ∵ ， ∴ 答：北纬 纬线长约等于 ． （2）解：设经过 三点的截面为⊙ ， 设球心为 ，连结 ，则 平面 ， ∵ ， ∴ ， 所以，球心到截面距离为 ． [例20]在北纬 圈上有 两点，设该纬度圈上 两点的劣弧长为 （ 为地球半径），求 两点间的球面距离。 解析：设北纬 圈的半径为 ，则 ，设 为北纬 圈的圆心， ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ 中， ， 所以， 两点的球面距离等于 ． 点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。 第一章 检测题 1．长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，绳子的最短长度是（　　） A． +1 B． C． D． 2．若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（　　） A．8R2 B． 9R2 C．10R2 D．12R2 3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（　　） A． 10cm B． 5 cm C． 5 cm D． cm 4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ） A．2倍 B． 4倍 C． 8倍 D．16倍 5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A．1倍 B．2倍 C．1 倍 D．1 倍 6．正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A． B． C． D． 7．两个球的表面积之差为48 ,它们的大圆周长之和为12 ,这两个球的半径之差为（ ） A．4 B． 3 C． 2 D． 1 8．已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ ） A． a3 B． a3 C． a3 D． a3 9.正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 10.棱锥V-ABC的中截面是 A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是（ ） A．1：2 B． 1：4 C．1：6 D．1：8 11. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（ ） A．1：32 B．1：24 C．1：64 D． 1：256 12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（ ） A．2：3 B．4：9 C． D． 13．棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（ ） A． 4 3 　　　　　B． 　　C． 　D． 14．半径为R的球的外切圆柱的表面积是______________． 15．E是边长为2的正方形ABCD边AD的中点，将图形沿EB、EC折成三棱锥A-BCE（A，D重合）， 则此三棱锥的体积为____________． 16.直三棱柱 的体积是V，D、E分别在 、 上，线段DE经过矩形 的中心，则四棱锥C-ABED的体积是________________． 17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________． 18．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?最大值是多少? 19．A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半，求球的面积． 20．圆锥轴截面为顶角等于1200的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的全面积S和体积V． 21．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体， E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积． 答案： 1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6 R2; 15. ; 16. ; 17. ; 18. 如图 ,SAB是圆锥的轴截面, 其中SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为O1C=x , 由 与 相似, 则 OO1=SO-SO1=12- ,则圆柱的全面积S=S侧+2S底=2 则当 时,S取到最大值 ． 19. 解： AB2+BC2=AC2， ABC为直角三角形， ABC的外接圆O1的半径r=15cm， 因圆O1即为平面ABC截球O所得的圆面，因此有R2=（ ）2+152， R2=300， S球=4 R2=1200 （cm2）. 20. 解:设母线长为 , 当截面的两条母线互相垂直时, 有最大的截面面积. 此时, 底面半径 ,高 则S全= 21. 解： EMBED Equation.3 四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形，连接EF，则 ， 平面ABB1A1， 三棱锥F-EBA1的高是CC1到平面AB1的距离，即棱长a， S EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 � EMBED Unknown ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� O O � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED 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_1274597363.unknown _1274610855.unknown _1274789770.unknown _1274790089.unknown _1274790555.unknown _1274790869.unknown _1274790972.unknown _1274791140.unknown _1274796537.unknown _1274855615.unknown _1274855670.unknown _1274791185.unknown _1274791219.unknown _1274791239.unknown _1274791193.unknown _1274791151.unknown _1274791055.unknown _1274791081.unknown _1274790975.unknown _1274790914.unknown _1274790958.unknown _1274790881.unkno