泊松分布中参数的无偏估计

第 22 卷第 6 期 唐山学院学报 Vol. 22 No. 6 2009 年 11 月 Journal of Tangshan College Nov. 2009 　　　收稿日期 :2009210229 　　　基金项目 :河北省教育科学研究“十一五”规划课题 (08020282) 　　　作者简介 :孙皆宜 (1962 - ) ,女 ,教授 ,主要从事大学物理教学与研究。 泊松分布中参数的无偏估计 孙皆宜1 ,步金芳2 ,孙翠先1 (1.唐山学院 基础部 ,河北 唐山 063000 ;2. 唐山职业技术学院 基础部 ,河北 唐山 063000) 摘要 :基于泊松分布 ,讨论未知参数θ与 g (θ) 无偏估计的区别和联系。得到当 E(θ^) =θ时 ,不一定 有 E( g (θ^) ) = g (θ) 。并给出了几个一般性结论。 关键词 :泊松分布 ;未知参数 ;无偏估计 中图分类号 :O212 　文献标识码 :A 　文章编号 :16722349X(2009) 0620008202 Unbiased Estimation of Parameter in Poisson Distribution SUN Jie2yi1 , BU Jin2fang2 , SUN Cui2xian1 (1. Tangshan College , Tangshan 063000 , China ;2. Tangshan Vocational & Technical College , Tangshan 063000 , China ) Abstract : Based on Possion dist ribution , t he paper discusses the differences and relationship of t he unbiased estimation between unknown parameterθand g (θ) and gives some general conclu2 sions alt hough E( g (θ^) ) = g (θ) is not necessary when E(θ^) =θ. Key Words : Poisson Dist ribution ; ;unknown parameter ;unbiased estimation 1 　问题的提出 当θ^是未知参数θ的无偏估计量时 , g(θ^) 不一定是 g (θ) 的无偏估计量。未知参数θ与 g (θ) 的无偏估计量的定义见 参考文献[1 ]。也就是说 ,当 E(θ^) =θ时 ,不一定有 E( g (θ^) ) = g(θ) ,其中 g(θ) 为θ的实值函数。本文就参数θ与 g (θ) 的 无偏估计量存在时 ,之间的区别和联系 ,能否借助于θ的无 偏估计来求 g (θ) 的无偏估计问题展开讨论 ,假设总体分布为 泊松分布。 2 　关于参数的几个无偏估计 文中提到的样本均值、样本方差的定义 ,涉及到的数学 符号比如 : S2 等可参阅参考文献[2 ]。 总体为泊松 ( Poisson)分布 P(λ) 时 ,即 P( X = x) =λ x x !e - λ , x = 0 ,1 ,2 , ⋯, 未知参θ=λ> 0 , 可以证明样本均值 X 和样本方差 S 2 = 1 n - 1 ∑ n i = 1 ( X I - X) 2都是总体参数θ=λ的无偏估计 [3 ] 。 推广到一般情况 ,对任意实数α, 0 ≤α≤1 ,αX + (1 - α) S2 也 都是λ的无偏估计 ,即θ^=λ^= X 或 S 2 或αX + (1 - α) S2 。 下面再研究未知参数函数的无偏估计问题。 引理 1 　设 ( X1 ⋯X n) 是来自该总体泊松的一个样本 ,则 nX = ∑n i = 1 X i～ P( nλ) 。 证明 　因为 X1～ P(λ) , X2～ P(λ) ,且 X1 和 X2 相互独 立 , Z = Z1 + X2 的概率分布 P( z) = ∑ z x = 0 PX1 ( x) PX2 ( z - x) = (2λ) z z ! e - 2λ , 即 Z = X1 + X2～ P(2λ) 。 由数学归纳法得 nX = ∑n i = 1 X i～ P( nλ) 。 结论 1 　设函数 g1 (θ) = g1 (λ) = eλ ,可以证明 g1 (λ) 的无 偏估计为 2 Xi 而不是 g1 (θ^) = eX 。 证明 　由引理 1 , E( g1 (θ^) ) = E( g1 (λ^) ) = E( eX ) = E( e 1n ( nX ) ) = ∑ ∞ z = 0 e z n P ( nX = z) = ∑∞ z = 0 e z n ( nλ) z z ! e - nλ ≠eλ。 而 　 E(2 Xi ) = ∑ ∞ x = 0 2 x P ( X i = x) = ∑ ∞ x = 0 2 x λ x x !e -λ = e -λ ∑ ∞ x = 0 (2λ) x x ! = e -λ e 2λ = e λ。 　第 6 期 孙皆宜 ,步金芳 ,孙翠先 :泊松分布中参数的无偏估计 结论 2 　已知函数 g2 (θ) = g2 (λ) = e - 2λ ,可以证明 g2 (λ) 的无偏估计为 t^ ( X i ) = 　1 , X i 取偶数值时 - 1 , X i 取基数值时 ,而不是 g2 (θ^) = e - 2 X 。 证明 　 E( g2 (θ^) ) = E( g2 (λ^) ) = E( e - 2 X ) = E( e - 2n ( nX) ) = ∑∞ z = 0 e - 2z n P ( nX = z) = ∑ ∞ z = 0 e - 2z n ( nλ) z z ! e - nλ ≠e - 2λ。 令估计量 t^ ( X i ) = f ( X i ) ,而 E( t^ ( X i ) ) = ∑ ∞ x = 0 f ( x) P( X i = x) = ∑ ∞ x = 0 ( - 1) x λ x x !e -λ = e - λ ∑ ∞ x = 0 ( - λ) x x ! = e - λ e - λ = e - 2λ。 结论 3 　再考虑 g3 (θ) = g3 (λ) =λ2 也是未知参数λ的一 个函数 ,但它的无偏估计不是 X2 而是 1 n ∑ n i = 1 X i ( X i - 1) 。 证明 　 E( X2 ) = E( e 1n2 ( nX ) 2 ) = ∑∞ z = 0 e z2 n 2 P( nX = z) = ∑ ∞ z = 0 e z2 n 2 ( nλ) z z ! e - nλ ≠λ2 。 而 　E( 1 n ∑ n i = 1 X i ( X i - 1) ) = E( 1 n ∑ n i = 1 X i 2 - 1 n ∑ n i = 1 X i ) = 1 n ∑ n i = 1 E( X i 2 ) - 1 n ∑ n i = 1 E( X i ) = 1 n ∑ n i = 1 (λ+λ2 ) - 1 n ∑ n i = 1 λ=λ2 。 结论 4 　已知函数 g4 (θ) = g4 (λ) = e -λ ,可以证明 g4 (λ) 的无偏估计为 ,而不是 e^ ( X i ) = 1 , X i = 0 0 , X i ≠0 ,而不是 g4 (θ^) = e - X 。 证明 　 E( g4 (θ^) ) = E( g4 (λ^) ) = E( e - X ) = E( e - 1n ( nX ) ) = ∑∞ z = 0 e - z n P ( nX = Z) = ∑ ∞ z = 0 e - z n ( nλ) z z ! e - nλ ≠e -λ。 令估计量 d^ ( X i ) = g( X i ) ,而 E( d^ ( X i ) ) = ∑ ∞ x = 0 g( x) P( X i = x) = ∑ ∞ x = 0 g( x)λ x x !e - λ = e -λ ∑ ∞ x = 1 0 ·λ x x ! + e -λ·1 ·λ 0 0 ! = e -λ。 3 　一般性结论 命题 1 　无偏估计不一定存在。 比如 ,设样本 X 来自二项分布总体 B ( n , p) ,样本量为 1 , n 已知 ,而 p 未知 ,0 < p < 1 ,函数 f ( p) = sin p 的无偏估计 不存在 [4 ] 。 命题 2 　设θ^1 和θ^2 分别是未知参数θ的可估函数 g1 (θ) 和 g2 (θ)的无偏估计量 ,则 c1θ^1 + c2θ^2 是 c1 g1 (θ) + c2 g2 (θ) 的 无偏估计量。这里 c1 , c2 为任意实数。 证明 　因为 E(θ^1 ) = g1 (θ) , E(θ^2 ) = g2 (θ) , 又因为 E( c1θ^1 + c2θ^2 ) = c1 E(θ^1 ) + c2 E(θ^2 ) = c1 g1 (θ) + c2 g2 (θ) , 所以 c1θ^1 + c2θ^2 是 c1 g1 (θ) + c2 g2 (θ) 的无偏估计量。 命题 3 　无偏估计不一定唯一。 样本均值 X 和样本方差 S 2 = 1 n - 1 ∑ n i = 1 ( X i - X) 2 都是总 体参数θ=λ的无偏估计。 命题 4 　能借助于θ的无偏估计来求 g (θ) 的无偏估计。 设总体 X 服从指数分布总体 e (λ) ,从总体中抽取一组 样本 ( X1 , ⋯, X n) ,设θ^是θ的无偏估计量。X 的概率密度为 f ( x) ,记θ=λ> 0 ,这里θ=λ为未知参数。由文献[5 ]知 ,θ的 无偏估计是θ^=λ^= X 。今由θ的无偏估计构造 g (θ) =θ2 =λ2 的无偏估计 ,为此取 a为修正系数 ,要使 E( a( X) 2 ) =θ2 =λ2 成立 ,而 E( ( X) 2 ) = D ( X) + ( EX) 2 = 1 n λ2 +λ2 = n + 1 n λ2 。 故取系数 a = n n + 1 ,此时 E( a( X) 2 ) =θ2 =λ2 成立 ,故θ2 =λ2 的无偏估计为 n n + 1 ( X) 2 。 参考文献 : [1 ] 　陈希孺. 概率论与数理统计 [ M ] . 北京 :科学出版社 , 2000 :175. [2 ] 　沈恒范. 概率论与数理统计教程 [ M ]. 第四版 . 北京 :高 等教育出版社 ,2003 :1462147. [3 ] 　工科数学课程教学指导委员会本科组编. 工程数学例 题与习题[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,1996 :264. [4 ] 　成平 ,陈希孺 ,陈桂景 ,等. 参数估计 [ M ] . 上海 :上海科 学技术出版社 ,1985 :64. [5 ] 　盛骤 ,谢式千 ,潘承毅. 概率论与数理统计 [ M ] . 第二 版. 北京 :高等教育出版社 ,1989 :237. (责任编校 :李高峰) ·9·