1. 比较
大小。
解：由
1） 令f(x)=tanx/x; g(x)=x/tanx; 这样就把积分号去掉了。
2） 利用单位圆，得出 x
1; g(x) =x/tanx<1; f(x)>g(x).
3） 比较
与1的大小 ：
方法一：
为 f(x)在区间[0,pi/4]的积分，f(x)=tanx/x 在闭区间[0,pi/4]单调递增 可用单调定义证明设x10. 所以f(x)在pi/4 取得最大值tan(pi/4)/ (pi/4)= 4/pi ; f(x)<= 4/pi ；两边同时取积分，
<1.
等号为什么不成立：积分是求面积，通过作图y1=tanx/x 与 y2=4/pi 在区间[0,pi/4]上，y2的面积大于y1的面积。
方法二：用拉格朗日中值定理， f(x)在[0,pi/4]连续，在(0,pi/4)可导，
x∈[0,pi/4]
两边取积分得
=
；
在区间(0,pi/4)上单增，
在区间(0,pi/4)上，小于tan(pi/4)=1.
方法三：用积分中值定理(《高等数学》同济六版，233页)
=f(ξ)( pi/4-0),
f(x)=tanx/x单增，ξ在pi/4取得最大值，f(pi/4)=4/pi, f(ξ)( pi/4-0)=1。
说明：有些
书
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上把ξ定义在开区间（a ,b）则
=f(ξ)( pi/4-0)<1.
http://wenku.baidu.com/view/2879bf0852ea551810a6876b.html 文中把开区间作为闭区间的推广
方法四：利用割线的斜率
直线的斜率k=
题中tanx与0点的斜率k=
，
；
利用作图，k随着x的增大而增大，
区间内
处取得最大值；
在
区间内k≤
（等号仅在
出取得，积分后去掉等号，怎样理解：图形法，两条曲线相交一点，区间内上面的面积比下面的面积大，积分表示面积）
两边去积分
g(x)≤f（x）, x∈[0,1] ；等号仅在x=1处成立，但两边取[0,1]积分，等号就不成立了。
注：下面是利用连续函数的介值定理证明微分中值定理，则ξ∈开区间（a,b）
g（x）
f（x）
_1435828006.unknown
_1435836808.unknown
_1435837251.unknown
_1435837399.unknown
_1435837054.unknown
_1435836858.unknown
_1435837007.unknown
_1435829143.unknown
_1435836571.unknown
_1435828013.unknown
_1435827933.unknown
_1435827958.unknown
_1435827993.unknown
_1435827944.unknown
_1435827303.unknown
_1435827562.unknown
浙公网安备 33021202002483