第50卷第2期
2012年3月
吉林大学学报(理学版)
JoumalofJilinUnjversity(&ienreEdition)
V01．50No．2
Mar2012
Markov链利率下相依风险模型破产概率的上界
程建华，王德辉
(吉林大学数学学院，长春130012)
摘要：考虑一类离散时间风险模型的破产问题．模型中假设保费过程和理赔过程都具有一阶
自回归结构(AR(1))，并且利率过程是取值于可数状态空间的齐次Markov链．针对保费在
期初收取和期末收取两种不同的情况，用鞅方法得到了其各自破产概率的上界．
关键词：相依风险；Markov链利率；离散时间风险模型；破产概率
中图分类号：0211．9文献标志码：A 文章编号：167l-5489(2012)02国173舶
UpperBoundsforRuinProbabilitiesinDependent础skModel
withMarkovChainInterestRate
CHENGJian—hua．WANGDe—hui
(coz如鲈旷^砌k砌t洒，彬i，l‰i鲫妣，r，c胁，鳓l‘，l130012，吼机D)
Abstrad：Weconsiderednlinproblemsforaclassofdiscretetimeriskmodel．Inthismodel，t}leinterest
ratesfbllowaMarkovchainwithadenumemblestatespace，andboththepremiumsandclaims触_ieassumedto
havedependentAR(1)s协lctures．Usingmaningaleappmach，wederiVedtheupperboundsforminprobabil·
itiesofthemodels，inwhiehthepremiumsarereceivedatthebe西rulingofeachperiod锄dattheendofeach
period，陀spectively．Wealsodiscussedtheirapplicatio璐．
KeywOrdS：dependentrisk；Markovchianinterestrate；disc陀tetimeriskmodel；r11inpfobability
O 引 言
破产概率是风险模型的主要研究内容之一．经典的离散时间风险模型为川
U。=醵．1+X。一匕，凡≥l
或
(1)
(2)
其中：％=H
表
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示初始盈余；x。为第n时期的总保费收入；L为第n时期的总索赔额；且{x。，n≥l}
和{k，，l≥l}是两个i．i．d．的非负随机变量列．
令r=inf{n：以
EK，且存在常数R>0，使得
收稿日期：20ll旬8-22．
作者简介：程建华(1983一)，男，汉族，博士研究生，从事保险精算的研究．E—mail：che吲h08@∞ms．jlu．edu．cn．通讯作者：
王德辉(1969一)，男，汉族，博士，教授，博士生导师，从事数理统计和保险精算的研究，E-n18iI：w蛐砂@jlu．edu．∞．
基金项目：国家自然科学基金(批准号：1097108l；JD730101)和吉林大学基本科研业务费项目(批准号：20l100011)．
1≥n、，K—X，L。∑㈧
+U=以
万方数据
174 吉林大学学报(理学版) 第50卷
Ee一8‘31一’1)=1．
则可以得到破产概率的上界：沙(1‘)≤e一瓤．
文献[2]用自回归模型(AR)刻画净收入x。一L；文献[3]则将其推广到用自回归滑动平均模型
(ARMA)刻画净收入的情形，用鞅方法得到了破产概率的上界．投资收益是影响破产概率的另一个主
要因素，文献[4]考虑了带有常数利率的离散时间风险模型；文献[5—6]分别考虑了利率是i．i．d．随机
变量列和具有一阶自回归结构(AR(1))的情形；文献[7]讨论了利率是Markov链的风险模型；文献
[8]讨论了随机投保费下多险种的破产模型．相应地，结合相依风险，文献[9]在常数利率下假设保费
和理赔都具有一阶自回归结构(AR(1))，推广了文献[2，4]的结果；文献[10]考虑了常数利率下净收
入具有滑动平均结构(MA)的风险模型，得到了破产概率的上界，并且还将结果推广到保费和理赔分
别是滑动平均模型(MA)的情形；文献[11]在文献[7]的基础上，假设净损失K—x。具有一阶自回归
结构；文献[12]讨论了保费和利率都具有自回归滑动平均结构(ARMA)的模型．本文在文献[11]的基
础上，假设保费和理赔分别具有一阶自回归结构，针对保费在期初收取和期末收取两种不同的情况，
讨论了它们各自的破产概率．
1模型和基本假设
考虑如下盈余过程：
以=(以一l+X。)(1+L)一L，，l≥l (3)
或
￡，。=un(1+厶)+∑鼠n(1+t)一∑Kn(1+t)， (4)
其中：x。=横。一I+职，n≥l；匕=6匕一l+z。，，l≥l；初始值蕊=‰，yo=％；口可以理解为在新时期依
然保留的旧业务所占的比重；职表示保险公司在第n时期新增加的业务；6可以理解为依旧保留的旧
业务在新时期产生的索赔在新时期索赔中所占比例；z。表示新增加业务产生的索赔额；{职，忍≥1}和
{z。，n≥l}是两个i．i．d．的非负随机变量列，分布分别为，(卯)=P(职≤仞)和G(z)=P(z，≤z)．为了
保证平稳性，本文假设O≤口0，满足
E[exp{一R。(职(1+i)一z．)}]=1，
则 出确删≤面篱器≤
exp{一R。(Ⅱ+；毛；≠兰毫石。一i_—=-；-=万‰))
g[exp{一RIur．pn}J五<∞]
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
：由于n≥6，‰≥％和口≤i，则有
(7)
(8)
砺=“+∑口‘n(1+‘)～*。一∑b‘Ⅱ(1+‘)～‰≥
l‘+∑d。(1+i)廿”‰一∑驴(1+i)～舶=
“+}等亨芝‰一F_}巧蜘≥“十r了}习(粕一％)≥o． (9)
定义
|】If。=expf一尺，一．玑}，只=盯(，。，，2，⋯)V盯(肜．，⋯，耽)V矿(zI，⋯，z。)，n≥1．
显然，坂是关于只可测的．另一方面，当，l≥l时，有
∞ }一I
E[肘。1歹0．]=F【exp{一只，口。(以一-(1+‘)+x。【(1+L)+∑口‘n(I+厶町)一1】一
{。l J2j ‘
∞ }
一y^【l+∑6‘n(1+L。)。】)}I五。】=
t。J 』2l
■ ^一I
E【exp{一只，口。(￡，。一一(1+L)+(1+L)(nx。一一+E)【l+∑。‘n(1+‘吖)一1】一
￡2J 』。U
∞ ^
一(1+L)(6匕一-+z^)【(1+j。)“+∑矿Ⅱ(1+k)。】))f．东．】=
万方数据
176 吉林大学学报(理学版) 第50卷
E【exp{尺-p。一-(以一·+以一-[n+∑口“1n(1+厶．。叫)一】一
匕一一【6(1+L)以+∑∥n(1+厶州)叫】)一
只，口。睨【(1+厶)+∑口‘n(1+Lq)。1】+
尺-p。z。【1+∑6‘n(1+厶。)。1】)I歹l。】=
科exp{尺-口。一-以一-一尺。口。职[(1+厶)+以]+冠。口。z。(1+％)}I咒，]≤
犯一lE[exp{一兄，p。职(1+i)[1+以(1+i)。1]+Rl以z。(1+K)}l歹11]≤
肘。一。E[exp{一尺l(E(1+i)一z。)口。[1+峨(1+i)-1]}I∥l，]．(10)
由于p。(1+以(1+i)_)∈舅一，，且E(1+i)一z。与舅一。独立，因此由引理1，有
E[exp{_尺。(畎(1+i)一z。)以[1+以(1+i)一]}l靠。]=III(口。(1+以(1+i)-1))，
其中
九(z)=E[exp{一R，(既(1+i)一z。)戈}Ijl。]=E[expl—Rl(E(1+i)一z。)菇}]，
再注意到
以[1+峨(1+矿1]≤(1+旷“(1+荟口‘(1+矿‘)=(1+i)”(1+奇兰)≤
‘
(1¨一(丢生)=亓b， ⋯)
则由口≤i可知，O凡]尸(死>n)≥E[肘rI r≤，1]P(r≤儿)．
令n一∞，并结合式(13)可得妒cⅡ，‰，％，i。，=Pct<∞，≤i亡：：掣呈姜皇丢器，
再由式(9)，可知式(8)成立．
对于模型(5)或(6)，如果定义玩=∑口‘n(1+L吖)-1和玩=以+玩墨一K匕，则同理可得：
定理2对于Ⅱ≥0，口≥6和茗o≥％≥0，如果口≤i，且存在R2>0，满足
E[exp{一尺2(职一z。)}]=l， (14)
则 m鳓蒯芎稿搿赫≤篙凳裹需掣川5，
注1在模型(5)或(6)中，如果令口=6，则即为文献[11]所讨论的模型，因此，定理2是文献
[11]中定理3．1的推广．
万方数据
第2期 程建华，等：Markov链利率下相依风险模型破产概率的上界
3 应 用
一般地，保险公司为了平稳地运营，要求相对安全负载假设成立，即要求
EX。>E匕，n≥1． (16)
经过简单计算，易得
甄=n“髫。+鲁隅，EL=执。+等瓯．
于是，如果口≥6，戈o≥％且E形。>Ez．，则式(16)成立．
定理3假设E形．>Ez。，如果R。和尺2存在，则它们是唯一的，并且R。≥R：．
证明：定义函数
以r)=E[exp{一r(形。(1+i)一z，)}]一l，
g(r)=E[exp{一r(肜，一z，)}]一1．
容易验证
，”(r)=E[(形I(1+i)一z1)2exp{一r(形l(1+i)一z1)}]≥O，
表明八r)是一个凸函数，同时，由定理条件
．厂’(0)=一E(肜。(1+i)一Z1)<一E(彤l—Z1)<0，
且以0)=0，因此，如果R。存在，则它是，(r)=0的唯一正根．同理可证，如果尺：存在，则它是
g(，)=0的唯一正根．进一步，如果正数r满足g(r)≥0，则r≥R2．
因为
E[exp{一R，(形。(1+f)一z1)}]≤E[exp{一只。(阢一z。)}]，
而
E[exp{一尺，(肜．(1+i)一z1)}]=l，
故
E[exp{一尺。(E—z。)}]≥l，
表明g(尺，)≥0，所以RI≥R2．
在实际应用中，保费收入总是有限的，所以可以假设保费收入是有界的，从而可以假设理赔额也
是有界的，即存在肘≥0，满足0≤匕≤肘，n≥l，文献[2，9]等都有类似的假设．
推论l对于模型(3)或(4)，如果定理l的条件成立，且M充分大，使得+量；!ifj：_i；j?：亏i煳≤u+子1}专±兰毪石。一丁_i专_二i％，(-7)
则 砂(u，髫。，％，毛)≤exp{一尺。(u+}毛}i±!秀石。一丁—；{。。=i‰一蔓手≠{_孝{≥：亏j煳))．(-8)
证明：由破产时刻的定义可知，％≤o，因而(1+厶)xr。≤坼。，从而(1+i)xrl≤坼．，进而
吒=url+日死h—Krlh。％+荟8‘珥(1+_吖)。1xn一荟6‘耳(1+_吖)。1yrl≤
慧瓮‰一—bh≤(鬲毛一—b)h≤等芒景等等，
因此 E[exp{一R。Dnpn}I正<∞]≥E【exp{一R。毛暑￡}{{≥：于孝黜)】，
再由定理l即可得到式(18)．证毕．
同理，有：
推论2对于模型(5)或(6)，如果定理2的条件成立，且“充分大，使得
万方数据
178 吉林大学学报(理学版) 第50卷
则
箐老萧黯等≤u+—毛‰训，(1+i一口)(1+i一6)、一’l+i一6”’”7”7’
咖(“，m％，如)≤ex“一尺：(Ⅱ+忐
定理4在推论l和推论2的条件下，有
exp{一R。(Ⅱ+芋‘≠{±兰皂石。一
exp{一尺：(Ⅱ
(戈。一％)
6
+i一6
(19)
一箐芒崭觜等))．㈣)(1+i一口)(1+i一6)，J、 7
一箐芒崭等辈))≤(1+i—n)(1+i一6)，J’
(髫。一％)一错芒崭黜))．(1+i一Ⅱ)(1+i一6)，J(21)
证明：由定理3和式(9)易知结论成立．
注2式(17)，(19)分别使得式(18)，(20)的右端≤l，从而使得破产概率的上界估计有效．
注3式(21)表明模型(3)破产概率的上界估计≤模型(3)破产概率的上界估计，这也符合人们的
直观理解：保费在期初收取，产生利息收入，使盈余增加，破产概率减小．
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(责任编辑：赵立芹)
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Markov链利率下相依风险模型破产概率的上界
作者： 程建华， 王德辉， CHENG Jian-hua， WANG De-hui
作者单位： 吉林大学数学学院,长春,130012
刊名： 吉林大学学报（理学版）
英文刊名： Journal of Jilin University(Science Edition)
年，卷(期)： 2012,50(2)
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