3 一阶线性微分方程

3 一阶线性微分方程nullnull一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.一阶线性微分方程一、线性方程null一阶线性微分方程的解法1. 线性齐次方程(使用分离变量法)齐次方程的通解为null2. 线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比null常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.作变换null积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解null非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解等于与非齐次方...

nullnull一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.一阶线性微分方程一、线性方程null一阶线性微分方程的解法1. 线性齐次方程(使用分离变量法)齐次方程的通解为null2. 线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比null常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.作变换null积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解null非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解等于与非齐次方程的一个特解之和即非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。例1解null解方程解相应齐方程解得令例2null代入非齐方程解得故非齐次方程的通解为null例3解方程解这是一个二阶线性方程由于其中不含变量 y 若令化成一阶线性方程其通解为即再积分即为原二阶方程的通解null解两边求导得解此微分方程null所求曲线为null一阶线性微分方程的通解也可写成方程令即化为一阶线性微分方程注null二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.null代入上式null例 5解null例6 用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为null解分离变量法得所求通解为null解代入原式分离变量法得所求通解为另解null 注利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法如齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程、Bernoulli 方程等都是通过变量代换来求解方程的。将变换为也是经常可以考虑的null三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程思考题求微分方程的通解.null思考题解答null练习题nullnullnull练习题答案null

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