柱坐标系和球坐标系中速度_加速度表达式的一种简易推导

2008 年 6 月 河套大学学报 Jun，2008 第 5 卷 第 2 期 Vel.5 No.2 ———————————————————— [收稿日期] 2007-10-11 [作者简介] 杜明铸（1961-），男，内蒙古巴彦淖尔市人，河套大学机械与电子 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 系讲师。 柱坐标系和球坐标系中速度、加速度 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式的一种简易推导 杜明铸 （ 河套大学 机械电子工程系，内蒙古 巴彦淖尔市 015000） [摘 要] 本文利用初等几何、偏微分知识推导正交曲线坐标系下，速度和加速度的表达式。最后给出柱坐标系和球坐标系中速度 和加速度的具体表达式。 [关键词] 正交曲线坐标；速度；加速度；柱坐标系；球坐标系 [中图分类号] O311 [文献标识码] A [文章编号] 15-116/C(2008)02-0018-006 引言 从理论上说，任何物理问题的求解，选用什么样的坐标系，都是可以的。但是，如果在求解实际问 题时，坐标系选取不恰当，会使问题变得复杂，有时可能无法求解。这种情况在数学中也经常遇到，比 如求解二重和三重积分、数理方程的分离变量时，都存在坐标系选取的问题。所以，有必要知道各种物 理量在不同坐标系下的表达式。本文由正交曲线坐标系和直角坐标系的关系，借助初等几何和偏微分知 识导出曲线坐标系下速度和加速度的分量表达式。速度和加速度在各种理论力学书中都有推导，但是推 导过程所用的数学知识较多，对初学物理的人不易掌握。下面笔者给出一种简易的推导方法。首先，给 出速度、加速度在正交坐标系中的一般表达式，其次给出物理学中常用的柱坐标系和球坐标系中的表达 式。 1．一般情况 将空间中一点的矢径 rK看作是三个独立实变量 321 ,, qqq 的函数,即 ( )321 ,, qqqrr KK = (1) 式中 321 ,, qqq 就是所说的正交曲线坐标。它和直角坐标 zyx ,, 的关系为 (2)⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ),,( ),,( ),,( 321 321 321 qqqzz qqqyy qqqxx 18 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ),,( ),,( ),,( 321 321 321 eeekk eeejj eeeii KKKKK KKKKK KKKKK 因为 x,y,z 是相互独立的，且假定在 q1 ,q2 ,q3的变化区域内对所有 x,y,z 是单值的。q1 ,q2 ,q3也是相互独 立的。故有逆变换 (3) 同理， rK也可由 x,y,z 表示 ),,( zyxrr GK = (4) 我们用 i K ， j K ，k K 表示 x,y,z 方向的单位矢量，则（4）式的具体表达式为 rK =x iK +y jK +z kK (5) i K , j K , k K 大小和方向是不随时间的改变而改变的，它们是常矢量，所以 i K , j K , k K 对时间 t 的微分为零。 下面给出速度、加速度从直角坐标系到正交坐标系中的一般推导过程。 首先，（5）两边对时间求导，得 kzjyixrv G�K�K��KG ++== (6) x� , y� , z�是速度在 x,y,z 上的分量。将（2）式两边对时间求导，得 (7) 在上面的求导中，必须注意 x,y,z 是 q1 , q2 , q3的函数，同时 q1 , q2 , q3又是时间 t 的函数。 利用几何学的知识可以得出 (8) 式中的 1e K , 2e K , 3e K 是所说的正交坐标轴上的单位矢量。 1e K , 2e K , 3e K 的大小不随时间变化，而方向是随 时间的改变而改变，所以说 1e K , 2e K , 3e K 是变矢量，其对时间的导数不为零。 把（7）、（8）式代入（6）就可得出正交坐标系中速度的表达式。同理（5）式对时间求二阶导数或（6） 对时间求一阶导数，得 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = ),,( ),,( ),,( 33 22 11 zyxqq zyxqq zyxqq ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅∂ ∂+⋅∂ ∂+⋅∂ ∂= ⋅∂ ∂+⋅∂ ∂+⋅∂ ∂= ⋅∂ ∂+⋅∂ ∂+⋅∂ ∂= dt dq q z dt dq q z dt dq q zz dt dq q y dt dq q y dt dq q yy dt dq q x dt dq q x dt dq q xx 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 � � � 19 kzjyixrva K��K��K����K�KK ++=== (9) x�� , y�� , z�� 是直角坐标系中加速度的分量，（2）式两边对时间求二阶导数或（7）式对时间求一阶导数， 就可得到 x�� ， y�� ， z�� 。因其表达式较繁，这里就不给出推导过程和具体形式。 这样，只要把（8）和 x�� ， y�� ， z�� 的表达式代入（9）式，就可求出正交坐标系中加速度的表达式。 2．柱坐标系中（ρ，θ，ｚ）的具体表达式 由数学知识可知，柱坐标（ρ，θ，ｚ）和直角坐标(x，y，z)之间的关系为 (10) 由图一可得： (11) 式中的 θρ e,e KK ， ze K 就是柱坐标三轴方向的单位矢量，相当于前面推导中的 1e K ， 2e K ， 3e K 。 （10）式两边对时间求一阶导数，得 (12) cos sin sin cos z i e e j e e k e ρ θ ρ θ θ θ θ θ = − ⎧⎪ = + ⎨⎪ =⎩ K K K K K K K K ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += −= zz y x �� ��� ��� θθρθρ θθρθρ cossin sincos Z X Y θ i G k G j G ρ r G Ze JJG eθ JJG eρ JJG Ze JJG eρ JJG eθ JJG 图 一 O cos sin x y z z ρ θ ρ θ =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ 20 把（11）、（12）代入（6）式得： Zv e e z eρ θρ ρ θ= + + K K K K�� � (13) 或 (14) 上式就是速度在柱坐标轴上的分量表达式。 （12）对时间求一阶导数，得 (15) 把（11）、（15）代入（9）式，化简得 zθρ 2 eze)θρ2θρ(e)θρρ(a K��G����K���K +++−= (16) 或 (17) 上式就是柱坐标系中加速度的表达式。 3. 球坐标系（ φ,θ,r ）中速度、加速度具体表达形式 由数学知识可知（ φ,θ,r ）与(x，y，z)的关系为 Z X Y θ i G k G j G r G re JG eϕ JJG eθ JJG O φ 图 二 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = zv v v z � � � θρ ρ θ ρ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −++= −−−= zz y x ���� ��������� ��������� θθρθθρθθρθρ θθρθθρθθρθρ sincoscos2sin cossinsin2cos 2 2 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = += −= za a a z �� ���� ��� θρθρ θρρ θ ρ 2 2 21 (18) 由图二可知 (19) 式中的 θr e,e KK ， φe K 是球坐标系中三轴方向的单位矢量。 （18）式两边对时间 t 求一阶导数，得 (20) 把（19）、（20）代入（6）式，化简后得 φθ θφθ erererv r K�K�K�K sin++= (21) 或 (22) 上式就是速度在球坐标轴上的表达式。 同理，（20）两边对时间求一阶导数，得 (23) 把（19）、（23）代入（9）式，化简后得： φθ θφθφθθφθθφθθθφθ errrerrrerrra r K������K�����K����K )sin2cos2sin()cossin2()sin( 2222 +++−++−−= (24) 或 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = θ φθ φθ cos sinsin cossin rz ry rx ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= ++= −+= θ φθ φθ θθ φφθφθ φφθφθ eek eeej eeei r r r KKK KKKK KKKK sincos cossincossinsin sincoscoscossin ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= ++= −+= θθθ φθφφθθφθ φθφφθθφθ sincos cossinsincossinsin sinsincoscoscossin ��� ���� ���� rrz rrry rrrx ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = θφ θ ϕ θ sin� � � rv rv rvr ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −−−= +++− −++= −−+− −−+= θθθθθθθ φθθφφθφφθθφθφ φθθφθφφθθφθ φθθφφθφφθθφθφ φθθφθφφθθφθ sin2cossincos coscos2cossin2sincos2sinsin sinsincossinsincossinsin sincos2sinsin2coscos2cossin cossinsinsincoscoscossin 2 2 2 2 2 ��������� ������� ��������� ������� ��������� rrrrz rrrr rrrry rrrr rrrrx 22 (25) 上式就是球坐标系中加速度的表达式。 这里要说明一点：以上所说的正交坐标就是我们通常说的正交曲线坐标。 A simple Derivation of the Expression of Speed and Acceleration in Cylindrical Coordinate and Spherical Coordinate DU Ming-zhu (Machinery and Electronic Engineering Department, Hetao University, Bayannur City, Inner Mongolia, 015000) Abstract: This paper derives the expression of speed and acceleration in orthogonal curvilinear coordinate by using elementary geometry and infinitesimal calculus knowledge and gave the specific expression in cylindrical coordinate system and spherical coordinate system. Key Words：orthogonal curvilinear coordinate; speed; acceleration; cylindrical coordinate system; spherical coordinate system ( 责任 安全质量包保责任状安全管理目标责任状8安全事故责任追究制幼儿园安全责任状占有损害赔偿请求权 编辑 降毅) （上接第 17 页） 例 18：求 nx n 3 lim∞→ 思路：此题属较特殊的 ∞ ∞ 型，设法创造条件应用“两边夹”法则。 解：因为，当 2>n 时显然有 2 1 11 1 <−+=− nn n 又 n nn nn 2222 13 4 2 321 =⋅<−⋅⋅⋅⋅= � � � "" 个 ∴ 2 20 ( ) 3 3 3 n n n n n< < = 又 2 21 lim( ) 0, lim 0 0 3 3 n n n→∞ →∞< = =∵ ， 又∴     由“两边夹”法则得 0 3 lim =∞→ nx n The Common Methods of Limits Computation HAN Yong-dong (Normal College, Hetao University, Bayannur City, Inner Mongolia, 015000) Abstract: This paper is a simple summary of the common methods of limits computation in Advanced Mathematics. Key words: Advanced Mathematics; limit; computation; methods (责任编辑 刘娟) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= −+= −−= θφθφθθφ θθφθθ θφθ φ θ sin2cos2sin cossin2 sin 2 222 ������ ����� ���� rrra rrra rrrar 23