【初中数学】规律探索

规律探索 1.求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（　　） 　　A．52012﹣1　　B．52013﹣1　　C．　　D． 2. 观察下列一组数：，，，，，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ． 3. 观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2013个数是___________ 4.在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共 有 个小正方形。 4.图7是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数.例如展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再入，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出的展开式. . 5.将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始， 分别在各射线上标记点….,按此规律，则 点A2012在射线 上. 6. 某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报，第2位同学报，…这样得到的20个数的积为_________________. 7. 观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43， 62×286=682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”. （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× ＝ ×25； ② ×396＝693× . （2）设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且2≤≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含、）. 8. 观察下列图形的排列规律（其中 分别表示三角形、正方形、五角星）.若第一个图形是三角形，则第18个图形是 （填图形名称） 9. 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ． 10. 观察下列等式： 第1个等式：a1==×（1﹣）； 第2个等式：a2==×（﹣）； 第3个等式：a3==×（﹣）； 第4个等式：a4==×（﹣）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ； （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 11. 右图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式： = . 12. 一组数据为：观察其规律，推断第n个数据应为 . 13. 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( ) 14.一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____. 15. 如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 。（结果保留π） 16.已知整数a1,，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-,a3=-,a4=-,…依次类推，则a2012的值为（ ） A．-1005　B．-1006　　C．-1007　D． -2012 17.如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ） A.54 　　 　　 B.110 　　　　　 C.19 D.109 18. 平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点 最多确定三条直线。若平面内的不同的n个点最多 可确定15条直线，则n的值为______________。 19. 观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×(－1)×2=－2 (－3)×(－4)×(－5)=－60 三个角上三个数的和 1＋(－1)＋2=2 (－3)＋(－4)＋(－5)=－12 积与和的商 －2÷2=－1, （2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x． 20．有若干个数，依次记为a1，a2，a3，…，an，若a1= ，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，则a2008= . （二）阅读与规律探索 1．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1＋2＋3＋…＋n= ，其中n是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)=？ 观察下面三个特殊的等式1×2= (1×2×3－0×1×2) 2×3= (2×3×4－1×2×3) 3×4= (3×4×5－2×3×4) 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2＋2×3＋3×4= ×3×4×5=20 读完这段材料，请你思考后回答： （1）1×2＋2×3＋…＋100×101= ； （2）1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)= ； （3）1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)= . （只需写出结果，不必写中间的过程） 2.让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3； …………依此类推，则a2009=_______________. 观察与思考：依题给出的规则搞清前几步的情况： …… 因此取值范围有如下的分类情况： 脚码i被3除余数的情况 的值 i=3m+1 （m为整数） 26 i=3m+2 （m为整数） 65 i=3m （m为整数） 122 答案：2009=3×669+2 ∴ 说明：1.由以上两题的思考过程可以看出：归纳概括是一个积极的活动过程，要观察、要重新分类（分类就是找共性），以便从中获得概括化的规律. 2．为了充分展开相应的思考过程，我们特别用列表法表示分类，而在实际解题中，具体的做法就可以减缩. 3.将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则 ① ▲ ；②第 行第 列的数为 ▲ （用 ， 表示）． 　　 　　　 第 列 第 列 第 列 … 第 列 第 行 … 第 行 … 第 行 … … … … … … … 4.在某种特制的计算器中有一个按键，它代表运算 ． 例如： 上述操作即是求 的值，运算结果为1． 回答下面的问题： （1）小敏的输入顺序为－6，，－8，，运算结果是________________； （2）小杰的输入顺序为1，， ，，，－2，，， ，，，3，，运算结果是____________； （3）若在 ， ， ， ， ， ， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， 这些数中，任意选取两个作为a、b的值，进行运算，则所有的运算结果中最大的值是____________． 5.阅读下列材料： 因为 ， ， ，……， ， 所以 … = … = … ． 仿上述材料，计算 … 的值为 ． 已知：(a1－1)2＋｜a2－2｜＋(a3－3)2＋｜a4－4｜＋…＋(a2012－2012)2＋｜a2013－2013｜＝0，求 的值. 6. 现场学习：根据等式和不等式的性质，可以得到：若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b； 若a-b<0，则a