nullnull第7章 矩阵函数与矩阵值函数7.1 矩阵函数7.2 矩阵值函数7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用7.4* 特征对的灵敏度分析null7.1 矩阵函数7.1.1 矩阵函数的幂级数
表
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示7.1.2 矩阵函数的另一种定义null7.1.1 矩阵函数的幂级数表示定义7.1.1nullnullnull定理7.1.1null推论 7.1.1定理7.1.2null7.1.2 矩阵函数的另一种定义设矩阵A的最小多项式为null 定理7.1.3 定义7.1.2则定义矩阵函数 f (A)为
null 定理7.1.4null 定理7.1.5 定理7.1.6null其中且(7.1.25)给出的矩阵函数f (A)与 A的Jordan
标准
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形 J
中Jordan块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关。 定理7.1.7null 定理7.1.8null7.2 矩阵值函数7.2.1 矩阵值函数7.2.2 矩阵值函数的分析运算null7.2.1 矩阵值函数 定义7.2.1称为定义在(a,b)上的矩阵值函数。 特别地，当n = 1时，得到向量值函数。通常用
等形式表示。null定义7.2.2 区间(a,b)上 m×n 矩阵值函数 A(x)不恒等于
零的子式的最高阶数称为A(x)的秩，记为rank (A(x) )。
特别地，如果A(x)是区间(a,b)上 n 阶矩阵值函数，并
且rank( A(x) ) = n，则称A(x)为满秩的。
定义7.2.3则称 A(x)在(a,b)上可逆，并称 B(x)为 A(x)的逆矩阵，
记为A-1(x) 。null定理7.2.1 n 阶矩阵值函数 A(x)在区间(a,b)上可逆的
充分必要条件是| A(x)|在(a,b)上处处不为零，并且其中是 A(x)的伴随矩阵值函数， Aij(x)是A(x)中元素aij (x)的
代数余子式。null7.2.2 矩阵值函数的分析运算 定义7.2.4nullnull 定义7.2.5null矩阵值函数的导数运算具有下列性质：null 因为矩阵乘法没有交换律，一般地，对正整数
m>1和可导的 n 阶矩阵值函数 A(x) 定理7.2.2 如果 n 阶矩阵值函数 A(x)在(a,b)上可逆且
可导，则null 定义7.2.6 为 A(x)在[a,b]上的积分。矩阵值函数的积分具有如下性质：null (3) 对常数矩阵 A和C，有 (4) 如果矩阵值函数 A(x)在[a,b]上连续，则 (5) 如果矩阵值函数 A’(x)在[a,b]上连续，则null 定义7.2.7null矩阵值函数的导数具有如下性质：nullnull7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用一阶线性微分方程组 null其中null方程组(7.3.1)的初始条件可以表示成定理7.3.1 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组null定义7.3.1 设 A是 n 阶常数矩阵，如果对任意的 t0和 x0，
初值问题定理7.3.2 对任意的 t0和 x0，初值问题(7.3.8)的解 x(t) 渐
近稳定的充分必要条件是矩阵 A的特征值都有负实部。null定义7.3.2 设 A是 n 阶矩阵，如果 A的特征值都有负实
部，则称 A为稳定矩阵。定理7.3.3 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组null7.4* 特征对的灵敏度分析 定理7.4.1则方程组null 定理7.4.2则方程组null证明是非奇异矩阵，并且令null 定理7.4.3null由(7.4.3)和(7.4.6)得令null由定理7.4.1知，方程组null令由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有null由定理7.4.1知，方程组null令由(7.4.8)，(7.4.17)和(7.4.18),有null 定理7.4.4null 定理7.4.5null则null 定理7.4.6
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