《数论妙趣—数学女王的盛情款待》
“古怪的对数——回复原始”（节选）
出乎人们意料之外的是，一贯被认为专属连续领域的对数，居然在离散领域的数论中有着对等物。
在102＝100中，2是100的对数。在103＝1000中，3是1000的对数。对同样的底数10，某些大于100小于1000的中间数，比如500，其对数就位于2与3之间，准确到五位小数的值为2.69897。
但是，对于给定的模数而言，任意整数都可以准确地表示为某个合适的整数底的乘幂，在这种情况下，其指数或者说对数都是整数。
比如，取模为13，再任选一个底数，譬如2，让我们来看一看一切整数是怎样表示为2的乘幂的。此时有212≡1，21≡2，24≡3，22≡4，29≡5，25≡6，211≡7，23≡8，28≡9，210≡10，27≡11，26≡12。数与指数都没有重复，它们之间存在着一一对应。是否总是如此呢？让我们再用3来作底数试试。这时有31≡3，32≡9，33≡1，34≡3，35≡9，36≡1，37≡3，38≡9，39≡1，310≡3，311≡9，312≡1。虽然指数从1到12，可是对应的整数（剩余）却老是1,3,9。怎样才能解决这个问
题
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呢？
对于一个给定的模数，要想得到一个“完全剩余系”（即小于这个模数的所有整数），只能选用某些特定的底数才行；这些底数必须是模的任意一个“原根”。所谓质数p的原根g，是指使ge≡1 mod p得以成立的最小指数e必须为p－1。
整数13只有4个原根：2,6,7,11。它们每个数的乘幂，都能形成完全剩余系。
取原根2时的情况，上面已经说过。
取原根6时：
612≡1，65≡2，68≡3，610≡4，69≡5，61≡6，67≡7，63≡8，64≡9，62≡10，611≡11，66≡12。
取原根7时：
712≡1，711≡2，78≡3，710≡4，73≡5，77≡6，71≡7，79≡8，74≡9，72≡10，75≡11，76≡12。
取原根11时：
1112≡1，117≡2，114≡3，112≡4，113≡5，1111≡6，115≡7，119≡8，118≡9，1110≡10，111≡11，116≡12。
把13的4个原根所对应的数(余数)与指数，整理成指数表如下：
数(余数) 原根2 原根6 原根7 原根11
1 12 12 12 12
2 1 5 11 7
3 4 8 8 4
4 2 10 10 2
5 9 9 3 3
6 5 1 7 11
7 11 7 1 5
8 3 3 9 9
9 8 4 4 8
10 10 2 2 10
11 7 11 5 1
12 6 6 6 6
对数的实质就是指数。用对数做乘法，需将所乘各数的对数相加。类似步骤对于指数也行。不过，就质数p而言，根据费马小定理xp－1≡1 mod p，任何数的最大指数是p－1。因而在乘法问题中，如果指数超过p－1，可以去掉p－1的整数倍而结果不受影响。
如，对于质数5，根据费马小定理，24≡1 mod 5，即2的最大指数是4。于是：
213≡213－4≡213－8≡213－12 mod 5。
事实上，213＝8192，8192÷5余2；213－4＝29＝512，512÷5余2；213－8＝25＝32，32÷5余2；213－12＝21＝2；2÷5余2。
下面用对数与指数分别求解两个问题，作个有趣的对比。前者选常用对数底10，后者选用模13的原根11。
求解6×8×9＝x 求解6×8×9≡x mod 13
log106＝0.77815 ind116＝11 (ind是指数的缩写)
log108＝0.90309 ind118＝ 9
log109＝0.95424 ind119＝ 8
相加：log10x＝2.63548 相加：ind11x＝28
对数问题无需解释，反查对数表即得x＝432；
根据费马小定理xp－1≡1 mod p，1112≡1 mod 13，从ind11x＝28的指数28中，减去12(即p－1)的2倍24，得ind11x＝28≡4 mod 12。反查上面的指数表，原根11的指数是4，对应数(余数)是3，所以x≡3 mod 13。即6×8×9≡3 mod 13。
事实上，6×8×9＝432，432÷13余3，也就是6×8×9≡3 mod 13。
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