4.3 三角函数的图象与性质

4.3 三角函数的图象与性质nullnull§4.3 三角函数的图象与性质要点梳理 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x 在［0，2 ］上的图象形状时,起关键作用的五个点是、、、、 .余弦函数呢？(0,0)基础知识自主学习null2.三角函数的图象和性质: 函数性质[-1,1][-1,1]RR(k∈Z) null；；；；奇奇偶null3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都...

nullnull§4.3 三角函数的图象与性质要点梳理 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x 在［0，2 ］上的图象形状时,起关键作用的五个点是、、、、 .余弦函数呢？(0,0)基础知识自主学习null2.三角函数的图象和性质: 函数性质[-1,1][-1,1]RR(k∈Z) null；；；；奇奇偶null3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期).函数y=Asin( x+ ）或y=Acos（ x+ ）（ >0且为常数）的周期函数y=Atan( x+ )( >0)的周期null基础自测 1.函数y=1-2sin xcos x的最小正周期为（）解析Bnull2.设点P是函数f(x)=sin x ( ≠0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是则f(x)的最小正周期是（）解析由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的故f（x）的最小正周期为T=Bnull3.函数y=sin 的图象（） A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于直线对称解析验证法：Anull4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是( ) ①在上递减； ②以为周期； ③是奇函数. A.y=tan x B.y=cos x C.y=-sin x D.y=sin xcos x 解析 y=tan x的周期为，故A错. y=cos x为偶函数，故B错. y=sin xcos x= sin 2x的周期为，故D错. y=-sin x的周期为2 ,是奇函数，由图象知在上是递减函数，故C正确.Cnull5.（2009·四川）已知函数f(x)=sin (x∈R)，下面结论错误的是（） A.函数f(x)的最小正周期为2 B.函数f(x)在区间上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数解析 A正确; 由图象知y=-cos x关于直线x=0对称，C正确. y=-cos x是偶函数，D错误.Dnull 题型一与三角函数有关的函数定义域求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cos x);(2)y= 本题求函数的定义域:(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴00)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是: ①把“ x+ ( >0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y=sin x(x∈R), y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同（反）. （2）对于y=Atan( x+ ) (A、、为常数),其周期单调区间利用解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v= (x)，其单调性判定方法是:若y=f(v) 和v= (x)同为增（减）函数时，y=f( (x))为增函数；若y=f(v)和v= (x)一增一减时，y=f( (x)) 为减函数.null知能迁移2 求函数的单调区间. 解方法一 nullnull方法二 nullnull题型三三角函数的对称性与奇偶性已知f(x)=sin x+ cos x（x∈R），函数 y=f(x+ )的图象关于直线x=0对称，则的值可以是（）先求出f(x+ )的函数表达式. f(x+ )关于x=0对称，即f(x+ )为偶函数.null解析答案 Dnull f(x)=Asin( x+ )若为偶函数,则当x= 0时，f(x)取得最大或最小值. 若f(x)=Asin( x+ )为奇函数，则当x=0时，f(x)=0. 如果求f(x)的对称轴,只需令 x+ = 求x. 如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x+ =k 即可.null知能迁移3 使奇函数f(x)=sin(2x+ )+ cos(2x+ ) 在上为减函数的的值为 ( ) 解析Dnull题型四三角函数的值域及最值 (12分)已知函数f(x)=2asin 的定义域为函数的最大值为1,最小值为 -5,求a和b的值. 求出2x- 的范围a>0时，利用最值求a、ba<0时，利用最值求a、bnull解 3分7分11分12分null 解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin（ x+ ）或y=Acos（ x+ ）的最值,再由方程的思想解决问题. 知能迁移4 （2009·江西）若函数f(x) =(1+ tan x)·cos x,0≤x< ,则f(x)的最大值为（） A.1 B.2 C. D. 解析 Bnull 方法与技巧 1.利用函数的有界性(-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1), 求三角函数的值域（最值）. 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号). 4.正余弦函数的线性关系式都可以转化为f(x)= asin x+bcos x= 特别注意把思想方法感悟提高null5.注意sin x+cos x与cos xsin x的联系,令t= sin x+cos x (- ≤t≤ )时, 失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y=Asin（ x+ ）（ >0）的形式，再根据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间. 应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同：null 3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|≤1), 则y=(t-2)2+1≥1,解法错误.null 一、选择题 1.（2009·福建）函数f(x)=sin xcos x的最小值是（）解析 ∵f(x)=sin xcos x=B定时检测null2.(2009·全国Ⅰ)如果函数y=3cos(2x+ )的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为（）解析由y=3cos(2x+φ)的图象关于点Anull3.已知函数在区间［0，t］上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（） A.6 B.7 C.8 D.9 解析Cnull4.已知在函数f(x)= 图象上,相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2+y2=R2上,则f（x）的最小正周期为（） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵x2+y2=R2，∴x∈［-R，R］. ∵函数f（x）的最小正周期为2R， Dnull5.（2009·浙江）已知a是实数,则函数 f(x)=1+asin ax的图象不可能是（） null解析图A中函数的最大值小于2，故00)的最小正周期是 . （1）求ω的值；（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合. 解nullnull12.设函数f(x)=cos ωx· ( sin ωx+cos ωx),其中0<ω<2. （1）若f(x)的周期为 ,求当 f(x)的值域；（2）若函数f(x)的图象的一条对称轴为求ω的值. 解null 返回

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