高等数学 幂级数

null第二节 幂级数第二节 幂级数函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛区间 幂级数的运算 函数展开成幂级数 函数的幂级数展开式的一些应用一 函数项级数的一般概念一 函数项级数的一般概念设为定义在区间 I 上的函数项级数 .对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数列, 称收敛,发散 ,所有为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 .null为级数的和函数 , 并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它例如, 等比级数例如, 等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如, 级数级数发散 ;所以级数的收敛域仅为有和函数 二 幂级数及其收敛区间二 幂级数及其收敛区间形如的函数项级数称为其中称 为幂级数的系数 .的幂级数,称 为的幂级数.定理 1. ( Abel定理 ) 收敛发散定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式证: 设收敛,则必有于是存在常数 M > 0, 使null收敛,故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,证毕null几何说明收敛区域发散区域发散区域推论如果幂级数不是仅在一点存在,收敛,也不是在整个数轴上都收敛,定的正数则必有一个完全确它具有下列性质:当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散; 当时,幂级数可能收敛也可能发散.null正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.收敛区间为下列四种形式之一 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 (1) 幂级数只在处收敛,收敛区间收敛半径(2) 幂级数对一切都收敛,收敛半径收敛区间说明幂级数如果在处条件收敛，则一定是该幂级数收敛区间的端点，即该幂级数的收敛半径定理2. 问题如何求幂级数的收敛半径?定理2. 的系数满足1) 当 ≠0 时,2) 当 ＝0 时,3) 当 ＝∞时,则 若如果幂级数如果在处收敛，而在处发散,则一定是该幂级数收敛区间的端点，即该幂级数的收敛半径null证:1) 若 ≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即时,2) 若则根据比值审敛法可知,3) 若则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数因此因此级数的收敛半径例1.求幂级数的收敛半径为说明:据此定理对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛区间.解:对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛区间为例1.求幂级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 :例2. 求下列幂级数的收敛域 :解: (1)所以收敛域为(2)所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1例3.例3.的收敛半径 .解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由例4.例4.的收敛区间.解: 令 级数变为当 t = 2 时, 级数为此级数发散;当 t = – 2 时, 级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛区间为故原级数的收敛区间即例5.例5.的收敛半径、收敛区间.解当时，因为所以收敛，原级数绝对收敛当时，由于所以原级数发散，所以级数的收敛半径收敛区间三 幂级数的运算三 幂级数的运算定理3. 及的收敛半径分别为令则有 :其中以上结论可用部分和的极限证明 .设幂级数1.代数运算性质:null2.和函数的分析运算性质:幂级数的和函数在收敛区间内连续,(2)幂级数的和函数在收敛区间内可积,可逐项积分.(收敛半径不变)即在端点收敛,则在端点单侧连续.且对null(3)幂级数的和函数在收敛区间内可导, 并可逐项求导任意次.即(收敛半径不变)例6. 例6. 的和函数解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x＝±1 时级数发散,null解两边积分得例7 求级数的和函数.null解收敛区间(-1,1),例8 求的和.四 函数展开成幂级数四 函数展开成幂级数1 函数的幂级数展开式－泰勒级数问题:2) 如果能展开，3) 展开式是否唯一?1) 在什么条件下才能展开成如何计算？的冪级数：4) 在什么条件下收敛到null 如果函数在内具有任意阶导数, 且在有null定义 设在的某个领域内有任意阶导数, 则幂级数称为在处的泰勒(Taylor)级数，而系数称为泰勒系数。特别当时，幂级数定理4 称为的麦克劳林(Maclaucin)级数。综上所述可以展开成幂级数的必要条件是在的某个领域内有任意阶导数，且此幂级数必是在处的泰勒级数，即的幂级数展开式是唯一的。2 的泰勒级数收敛于的充要条件定理4 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有null证明:令null 4)在收敛区间上考察当时，的泰勒公式余项是否趋向于零，若是则所求的幂级数在收敛区间上收敛于3 函数展开成幂级数(直接展开法)步骤1) 求2) 求3) 写出x的幂级数并求其收敛半径Rnull例9将函数展开成的幂级数。解的麦克劳林级数收敛区间为所以例10 将例10 将展开成 x 的幂级数.解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足null类似可推出:例11 将函数例11 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, null推导则为避免研究余项 , 设此级数的和函数为null称为二项展开式 .说明：(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.由此得 null对应的二项展开式分别为null4 函数展开成幂级数(间接展开法)利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例12 将函数展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. null例13 将函数展开成x的幂级数.解例14 将函数例14 将函数展开成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 ,所以展开式对 x ＝1 也是成立的,于是收敛null特别取x =1可得因此例15 将函数例15 将函数展开成 x 的幂级数.解: 例16 将例16 将展成 x－1 的幂级数. 解: 五 函数的幂级数展开式的一些应用五 函数的幂级数展开式的一些应用1 近似计算两类问题:1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.常用方法:1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等 比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.null例17解余和:null例18 计算的近似值, 精确到解: null例19解null2 求数项级数的和(逐项积分、逐项求导)null例20解null例21解null3 欧拉公式复数项级数:复数项级数绝对收敛的概念null欧拉公式几个常用函数的麦克劳林展开式几个常用函数的麦克劳林展开式例3 附注例3 附注