求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若 EMBED Equation.DSMT4 ， 则 两边分别相加得 例1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：由 得 则 所以数列 的通项公式为 。 例2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解法一：由 得 则 所以 解法二： 两边除以 ，得 ， 则 ，故 因此 ， 则 练习1.已知数列 的首项为1，且 写出数列 的通项公式. 答案： 练习2.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 评注：已知 , ，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 . ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 例3.已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式. 解:由已知 得 , 化简有 ,由类型(1)有 , 又 得 ,所以 ,又 , , 则 此 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法 1.○。 ------------ 适用于： ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2．若 ，则 两边分别相乘得， 例4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 ，则 ，故 所以数列 的通项公式为 例5.设 是首项为1的正项数列，且 （ =1，2， 3，…），则它的通项公式是 =________. 解：已知等式可化为： EMBED Equation.3 ( ) (n+1) , 即 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 = = . 评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 . 练习.已知 ,求数列{an}的通项公式. 答案： EMBED Equation.3 -1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为 若令 ,则问题进一步转化为 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如 ,其中 )型 （1）若c=1时，数列{ }为等差数列; （2）若d=0时，数列{ }为等比数列; （3）若 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 待定系数法：设 , 得 ,与题设 比较系数得 ,所以 所以有： 因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列， 所以 即： . 规律：将递推关系 化为 ,构造成公比为c的等比数列 从而求得通项公式 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系 中把n换成n-1有 ,两式相减有 从而化为公比为c的等比数列 ,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例6已知数列 中， ，求数列 的通项公式。 解法一： 又 是首项为2，公比为2的等比数列 ，即 解法二： 两式相减得 ，故数列 是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的…… 练习．已知数列 中， 求通项 。 答案： 2．形如： (其中q是常数，且n 0,1) ①若p=1时，即： ，累加即可. ②若 时，即： ， 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .目的是把所求数列构造成等差数列 即： ,令 ，则 ,然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： , 令 ,则可化为 .然后转化为类型5来解， iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求p q，否则待定系数法会失效。 例7已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ， 则数列 是首项为 ，公比为2的等比数列， 所以 ，即 解法二（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略 解法三（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略 练习.（2003天津理） 设 为常数，且 ． 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 对任意 ≥1， ； 3．形如 (其中k,b是常数，且 ) 方法1：逐项相减法（阶差法） 方法2：待定系数法 通过凑配可转化为 ; 解题基本步骤： 1、确定 =kn+b 2、设等比数列 ，公比为p 3、列出关系式 ,即 4、比较系数求x,y 5、解得数列 的通项公式 6、解得数列 的通项公式 例8 在数列 中， 求通项 .（逐项相减法） 解： ， ① EMBED Equation.3 时， ， 两式相减得 .令 ,则 利用类型5的方法知 即 ② 再由累加法可得 . 亦可联立 ① ②解出 . 例9. 在数列 中， ,求通项 .（待定系数法） 解：原递推式可化为 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 . EMBED Equation.3 即： 故 . 4．形如 (其中a,b,c是常数，且 ) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 例10 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设 比较系数得 ， 所以 由 ，得 则 ，故数列 为以 为首项，以2为公比的等比数列，因此 ，则 。 5.形如 时将 作为 求解 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：原递推式可化为 的形式，比较系数可求得 ，数列 为等比数列。 例11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设 比较系数得 或 ，不妨取 ，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同） 则 ，则 是首项为4，公比为3的等比数列 ，所以 练习.数列 中，若 ,且满足 ,求 . 答案： . 四、迭代法 (其中p,r为常数)型 例12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 又 ，所以数列 的通项公式为 。 注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 例13.（2005江西卷） 已知数列 EMBED Equation.3 ， （1）证明 （2）求数列 的通项公式an. 解：（1）略（2） 所以 又bn=－1，所以 . 方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c ，则c ,转化为上面类型（1）来解 五、对数变换法 适用于 (其中p,r为常数)型 p>0， 例14. 设正项数列 满足 ， （n≥2）.求数列 的通项公式. 解：两边取对数得： ， ，设 ，则 是以2为公比的等比数列， ， ， ，∴ 练习 数列 中， ， （n≥2），求数列 的通项公式. 答案： 例15 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 。 两边取常用对数得 设 （同类型四） 比较系数得， 由 ，得 ， 所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则 ，因此 则 。 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：求倒数得 为等差数列，首项 ，公差为 ， 七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：令 ，则 代入 得 即 因为 ， 则 ，即 ， 可化为 ， 所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此 ，则 ，即 ，得 。 八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。 例18 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：由 及 ，得 由此可猜测 ，下面用数学归纳法证明这个结论。 （1）当 时， ，所以等式成立。 （2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时， 由此可知，当 时等式也成立。 根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立。 九、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有 ，又有 分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应的方法求解。 例19 已知数列 的各项均为正数，且前n项和 满足 ，且 成等比数列，求数列 的通项公式。 解：∵对任意 有 ⑴ ∴当n=1时， ，解得 或 当n≥2时， ⑵ ⑴-⑵整理得： ∵ 各项均为正数，∴ 当 时， ，此时 成立 当 时， ，此时 不成立，故 舍去 所以 练习。已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式. 答案： 2、对无穷递推数列 例20 已知数列 满足 ，求 的通项公式。 解：因为 ① 所以 ② 用②式－①式得 则 故 所以 EMBED Equation.3 ③ 由 ， ，则 ，又知 ，则 ，代入③得 。 所以， 的通项公式为 十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法 不动点的定义：函数 的定义域为 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点或称 为函数 的不动点。 分析：由 求出不动点 ，在递推公式两边同时减去 ，在变形求解。 类型一：形如 例21 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为 ，由 得，不动点为-1 ∴ ，…… 类型二：形如 分析：递归函数为 （1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得 ，其中 ，∴ （2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得 ，其中 。 例22. 设数列 满足 ,求数列 的通项公式. 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得： , 令 , 解之得t=1,-2 代入 得 , , 相除得 ,即{ }是首项为 ， 公比为 的等比数列, = , 解得 . 方法2： ， 两边取倒数得 ， 令b ，则b EMBED Equation.3 , 转化为累加法来求. 例23 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：令 ，得 ，则 是函数 的两个不动点。因为 。所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 ，则 。 练习1：已知 满足 ，求 的通项 答案： 练习2。已知数列 满足 ，求数列 的通项 答案： 练习3.（2009陕西卷文） 已知数列满足， . 令，证明：是等比数列； (Ⅱ)求的通项公式。 答案：（1）是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。 十一。特征方程法 形如 是常数）的数列 形如 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 ，其特征方程为 …① 若①有二异根 ，则可令 是待定常数） 若①有二重根 ，则可令 是待定常数） 再利用 可求得 ，进而求得 例24 已知数列 满足 ，求数列 的通项 解：其特征方程为 ，解得 ，令 ， 由 ，得 ， 例25 已知数列 满足 ，求数列 的通项 解：其特征方程为 ，解得 ，令 ， 由 ，得 ， 练习1．已知数列 满足 ，求数列 的通项 练习2．已知数列 满足 ，求数列 的通项 说明：(1)若方程 有两不同的解s , t, 则 , , 由等比数列性质可得 , , 由上两式消去 可得 . (2)若方程 有两相等的解 ，则 ， ,即 是等差数列， 由等差数列性质可知 ， 所以 ． 例26、数列 满足 ，且 求数列 的通项。 解： ……① 令 ，解得 ，将它们代回①得， ……②， ……③， ③÷②，得 , 则 ，∴数列 成等比数列，首项为1，公比q=2 所以 ，则 ， 十二、四种基本数列 1．形如 型 等差数列的广义形式，见累加法。 2.形如 型 等比数列的广义形式，见累乘法。 3.形如 型 （1）若 （d为常数），则数列{ }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为 型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得 ，，分奇偶项来分求通项. 例27. 数列{ }满足 , ,求数列{an}的通项公式. 分析 1：构造 转化为 型 解法1：令 则 . 时, 各式相加: 当n为偶数时， . 此时 当n为奇数时， 此时 ,所以 .故 EMBED Equation.3 解法2： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 时， ，两式相减得： . EMBED Equation.3 构成以 ,为首项，以2为公差的等差数列; 构成以 ,为首项，以2为公差的等差数列 EMBED Equation.3 . 评注：结果要还原成n的表达式. 例28.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式. 解：方法一：因为 以下同上例，略 答案 4.形如 型 （1）若 (p为常数)，则数列{ }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得 ，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例29. 已知数列 EMBED Equation.3 ,求此数列的通项公式. 注：同上例类似，略. 5．形如 型 (1)若 是常数，同题型1. (2)若 是一次式同题型1 (3)若 是二次式。 例1．(2006年陕西理20)已知正项数列 ，其前n项和S 满足 成等比数列，且10 S = ，求数列 的通项公式 . 解:∵10 S = ① ∴ EMBED Equation.3 又10 S EMBED Equation.3 = ( 2), ② ① - ②,得 ， 即 . ∵ ∴ . 当 .此时 不成等比数列，∴ . 当 .此时有 .∴ . ∴ . 评注:该题用 即 的关系, . 消去 ,也可用 的方法求出 . 例2．（2007年重庆理科21）已知各项均为正数的数列 的前 项和 满足 ，且 ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 ，并记 为 的前 项和， 求证： ． 解：（I）解由 ，解得 或 ， 由假设 ，因此 ， 又由 ， 得 ，即 或 ， 因 ，故 不成立，舍去． 因此 ，从而 是公差为 ，首项为 的等差数列， 故 的通项为 ． （II）证法一：由 可解得 ； 从而 ． 因此 ． 令 ， 则 ． 因 ，故 ． 特别地 ，从而 ． 即 ． 证法二：同证法一求得 及 ， 由二项式定理知，当 时，不等式 成立． 由此不等式有 证法三：同证法一求得 及 ． 令 ， ． 因 ． 因此 ． 从而 EMBED Equation.DSMT4 ． 证法四：同证法一求得 及 ． 下面用数学归纳法证明： ． 当 时， ， ， 因此 ，结论成立． 假设结论当 时成立，即 ． 则当 时， ； 因 ．故 ． 从而 ．这就是说，当 时结论也成立． 综上 对任何 成立． 例3．（2008年全国理科2）设函数 ．数列 满足 ， ． （Ⅰ）证明：函数 在区间 是增函数； （Ⅱ）证明： ； （Ⅲ）设 ，整数 ．证明： ． 解：（Ⅰ）证明： ， 故函数 在区间(0,1)上是增函数． （Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时， ， ， ． 由函数 在区间 是增函数，且函数 在 处连续，则 在区间 是增函数， ，即 成立； （ⅱ）假设当 时， 成立，即 那么当 时，由 在区间 是增函数， 得： .而 ，则 ， ，也就是说当 时， 也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数 ， 恒成立． （Ⅲ）证明：由 ． 可得： ． 1、若存在某 满足 ，则 ． 2、若对任意 都有，则： EMBED Equation.DSMT4 成立． 例4.已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式. 解:由已知 得 , 化简有 ,由类型(1)有 , 又 得 ,所以 ,又 , , 则 ． 6. 形如 型 例１．（2008年湖南理科）（本小题满分12分） 数列 (Ⅰ)求 并求数列 的通项公式； (Ⅱ)设 证明：当 解 (Ⅰ)因为 一般地，当 时， ＝ ，即 所以数列 是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当 时， 所以数列 是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列 的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①-②得， EMBED Equation.DSMT4 所以 要证明当 时， 成立，只需证明当 时， 成立. 　证法一(1)当n = 6时， 成立. (2)假设当 时不等式成立，即 则当n =k+1时， 由(1)、(2)所述，当 6时， ，即当 6时， 证法二 令 ，则 所以当 时， .因此当 时， ． 于是当 时， ．综上所述，当 时， ． 7. 形如 型 例1．（2008年重庆理科22）设各项均为正数的数列{ }满足 . （Ⅰ）若 ，求 ，并猜想 的值（不需证明）； （Ⅱ）记 对 2恒成立，求 的值及数列{bn}的通项公式. 解：(Ⅰ)因 EMBED Equation.DSMT4 　，　 EMBED Equation.DSMT4 由此有 ， 故猜想 的通项为 ．∴ （Ⅱ）令 ． 由题设知x1=1且 ， 　① 　 ② 因②式对n=2成立，有 EMBED Equation.DSMT4 　 ③ 下面用反证法证明： 由①得 ． 因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.故 ④ 又由①知 因此是 是首项为 ，公比为-2的等比数列,所以 ⑤ 由④-⑤得 ⑥ 对n求和得 ⑦ 由题设知 即不等式22k+1＜ ，对 恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x2 ,结合③式知 2 = , 因此 代入⑦式得Sn = 2－ ( ), 所以bn = = ( ) 8. 形如 = 0型 例1．（2008年天津理科22）在数列 与 中， ，数列 的前 项和 满足 , 为 与 的等比中项， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求数列 与 的通项公式； （Ⅲ）设 .证明 . 本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分 解：（Ⅰ）由题设有 ， ，解得 ．由题设又有 ， ，解得 ． （Ⅱ）解法一：由题设 ， ， ，及 ， ，进一步可得 ， ， ， ， 猜想 ， ， ． 先证 ， ． 当 时， ，等式成立．当 时用数学归纳法证明如下： （1当 时， ，等式成立． （2）假设 时等式成立，即 ， ． 由题设， 　 eq \o\ac(○,1)　 　　　　 eq \o\ac(○,2) ①的两边分别减去②的两边，整理得 ，从而 ． 这就是说，当 时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何的 成立． 综上所述，等式 对任何的 都成立 再用数学归纳法证明 ， ． （1）当 时， ，等式成立． （2）假设当 时等式成立，即 ，那么 ． 这就是说，当 时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何的 都成立． 解法二：由题设 　 eq \o\ac(○,1)　 　　　 　 eq \o\ac(○,2) ①的两边分别减去②的两边，整理得 ， ．所以 　 ，　 ，……　 ， ． 将以上各式左右两端分别相乘，得 ， 由（Ⅰ）并化简得 ， ． 止式对 也成立． 由题设有 ，所以 ， 即 ， ． 令 ，则 ，即 ． 由 得 ， ．所以 ，即 ， ． 解法三：由题设有 ， ， 所以 ， ，…… ， ． 将以上各式左右两端分别相乘，得 ，化简得 ， ． 由（Ⅰ），上式对 也成立．所以 ， ． 上式对 时也成立． 以下同解法二，可得 ， ． （Ⅲ）证明： ． 当 ， 时， ． 注意到 ， 　 ． 当 ， 时， 当 ， 时， ． 当 ， 时， ． 所以 ． 从而 时，有 总之，当 时有 ，即 ． _1120288366.unknown _1196267037.unknown _1257160866.unknown _1334424641.unknown _1334472970.unknown _1334474696.unknown _1400480094.unknown _1400482993.unknown _1400655716.unknown _1400656087.unknown _1400656173.unknown _1400656270.unknown _1400657030.unknown _1400656190.unknown _1400656154.unknown _1400655790.unknown _1400656072.unknown _1400655755.unknown _1400655646.unknown _1400655682.unknown _1400655611.unknown _1400481198.unknown _1400482857.unknown _1400482925.unknown _1400481264.unknown _1400480737.unknown _1400480936.unknown _1400480314.unknown _1400480412.unknown _1400480290.unknown _1334521938.unknown 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