nullnull第四章 函数插值§4.1 引言
§4.2 Lagrange插值
§4.3 Newton插值
§4.4 等距节点插值
§4.5 Hermite插值
§4.6 分段插值
§4.7 三次样条插值null1 函数
表
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达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数值
2 仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知道非采样点处的函数值
……
上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式.
解决方法－插值法 §4.1 引言一、问题提出null二、插值问题定义求插值函数(x)的问题称为插值问题。三、几何意义、内插法、外插法三、几何意义、内插法、外插法内插外插四、多项式插值问题四、多项式插值问题对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题
当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值;
当Φ为一些有理分式集合时：有理插值；
当Φ为一些多项式集合时：多项式插值（代数插值） 五、插值多项式的存在唯一性五、插值多项式的存在唯一性分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组 定理4.1 (存在唯一性) 满足插值条件(1)的不超过n次的插值多项式是存在唯一的。null定理
证明
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： 多项式插值问题满足的线性方程组是关于多项式的系数a0，a1，a2，…，an的n＋1阶线性方程组，其系数矩阵的行列式Vn(x0,x1,…,xn)称为范德蒙(Vandermonde)行列式。利用行列式的性质可以求得 由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于是Vn(x0,x1,…,xn)0。因此方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯一的。证毕六、插值余项六、插值余项引理 已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。nullnull分析：nullnull七、插值方法 由于插值多项式的存在唯一性，无论是用何种方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断误差也都相同。本章我们要讨论的插值方法有：
Lagrange插值法
Newton插值法
等距节点插值公式
带导数的插值问题null线性插值 x0x1(x0 ,y0)(x1 ,y1)P1(x)f(x) 可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。§4.2 Lagrange插值一、插值基函数nullnullx0x1x2p2(x) f(x)f(x)二次插值 将以上思路推广到n+1个节点情形，即可得到类
似的插值基函数和插值多项式表示形式。
null1.插值基函数定义：若n次多项式lk(x)(k=0,1,…,n)在n+1个插值节点x0< x1<… < xn上满足插值条件：则称这n＋1个n次多项式l0(x),l1(x),…,ln(x)为插值节点x0,x1,…,xn上的n次插值基函数。Remark：容易验证，n次插值基函数的线性组合在插值节点x0,x1,…,xn上满足插值条件，从而可以利用插值基函数来构造插值多项式。null2.插值基函数的构造 由于ik时，lk(xi)=0，故x0,x1,…,xk-1,xk+1,…,xn为lk(x)的零点，从而可以设由lk(xk)＝1可得故二、Lagrange型插值公式二、Lagrange型插值公式 上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为Lagrange插值多项式。当n＝1时，有当n＝2时，有null三、Lagrange插值多项式的余项 设f(x)为定义在[a,b]上的被插值函数，Ln(x)为f(x)的n次Lagrange插值多项式，其插值余项为：
Rn(x)=f(x)-Ln(x)定理：如果f (n)(x)在区间[a,b]上连续，f (n＋1)(x)在(a,b)内存在，Ln(x)为在节点ax0
要求
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高；需估计导函数的最值；偏保守。导数型误差估计三、Newton插值余项null 差商型误差估计导数和差商的关系差商型误差估计特点：对被插值函数光滑性要求不高；但不适用于实际计算。null四、例题解 1）建立差商表 0.312
-0.1764-0.48842）插值null Newton插值多项式适用于节点任意分布的情形。但当节点等距分布时，可以简化Newton插值公式。§4.4 等距节点插值 设a=x0
计算公式
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为：其中性质2：差分与差商满足下述关系：证明：利用数学归纳法当k＝1时，有即结论成立。null设k＝m-1时结论成立，即则当k＝m时，有由数学归纳法知，结论成立。证毕nullRemark：类似地可以定义向后差分与中心差分：性质3：差分与导数满足关系：证明：利用差商与导数、差分的关系，有：证毕二、Newton向前插值公式二、Newton向前插值公式 令x=x0+th，由xi=x0+ih(i=0,1,…,n)得：
x-xi=(t-i)h，则有:null从而可得Newton向前插值多项式及其余项为：三、差分表三、差分表Newton向前插值公式，又称表初公式，它利用差分表的最上面一个斜行的数值进行计算。四、例题四、例题解null#null五、Newton向后插值公式 类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的关系：将插值节点从大到小排列，即 类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又称表末公式，它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。 同样，还可以利用中心差分，构造插值公式，称为贝塞尔（Bessel）插值公式。null§4.5 Hermite插值一、问题 为在较大的范围内能更好的近似被插值函数，实际应用中，不但要求在节点上插值函数与被插值函数有相同的函数值，而且要求在部分或者全部节点上一阶甚至更高阶的导数值也相同．这类插值称为Hermite插值． nullnullnull分析（方法1）：误差：#null方法2：（用带有重节点的差商表）#nullnull 为了保证插值函数的逼近效果，需要较多的插值节点，导致较高的多项式次数。 然而在实际应用中, 很少采用高次插值。
①.在两相邻插值节点间, 插值函数未必能够很好地近似被插值函数。②.对于等距节点的牛顿插值公式, 函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化.§4.6 分段插值null 函数 在区间[-5,5]上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例. 在区间上分别采用10次、15次、20次的等距节点插值多项式。随着插值次数的提高, 在 范围内的近似程度并没有变好, 反而变坏. 高次插值并不一定带来更好的近似效果。 null(a) nullnull 为了避免高次插值的缺点，常采用分段插值，即将插值区间分成若干小区间，在每个小区间上利用前面介绍的插值方法构建低次插值多项式。null 分段插值法具有一致的收敛性, 但它只保证插值函数整体的连续性, 但在连接处不一定光滑，不能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的外形曲线设计）对函数光滑性的要求。
早期的工程技术人员在绘制给定点的曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之为样条（Spline），强迫它弯曲通过已知点。弹性力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数学上的三次样条插值曲线。§4.7 三次样条插值null1.三次样条插值函数的定义 若实值函数S(x)满足若还满足nullnull 要确定4n个系数，还需附加2个约束条件. 常用的约束条件有以下三类：null2. 三弯矩构造法④.代入S(x)的表达式，得各个区间上的表达式。nullnull类似可以得到 nullnull若附加弯矩约束条件, 得 系数矩阵严格对角占优, 故系数矩阵非奇异, 上述线性方程组有唯一解，可用追赶法求解。将解带回到子区间上的表达式中（用二阶导表示），即有s(x)在每个区间上的表达式。null若附加转角边界条件, 得线性方程组为 null对于周期性边界条件, 得：null线性方程组为: nullRemark：1.类似地，可以使用节点处的一阶导数来表示三次样条插值函数。2.对三次样条插值函数来说，当插值节点逐渐加密时，可以证明，不但样条插值函数收敛于函数本身，而且其导数也收敛于函数的导数。
浙公网安备 33021202002483