Matlab: 无穷积分的运算
科研菜鸟（http://blog.sciencenet.cn/u/sanshiphy）2012-2-17
f可利用 int 和 quadgk 函数数值求解型如 ( )x dx
的积分，前者适合进行符号积分或获
得 ( )f x 的精确值。有时积分较为复杂，用 int 无法求解，此时可利用 quadgk 进行数值积分
求解。
1、 int 函数的使用
如果 ( )f x 中不含符号参数，则调用
格式
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如下：
syms x; int(f(x),a,b)
其中，syms函数用于指明自变量 x 是符号变量，a 是下积分限，b 是上积分限。如果 ( )f x 中
含有符号参数 s，则应指明对 x 进行积分，调用格式如下：
syms x s; int(f(x;s),a,b)
如果想看某一参数取值下的积分值，则调用格式如下：
syms x s; I=int(f(x;s),a,b); subs(I,s0)
其中 s0 是参数 s 的一个具体取值。
例 1：求解
2
2
sin x dx
x
（计算量子跃迁几率时的关键积分，手动求解需要利用留数定理）
syms x;
int((sin(x))^2/x^2,-inf,inf)
ans =
pi
例 2：求解 2 1 1/2
1
(1 ) k
dx
kx
syms x k;
f=int(1/((1+k*x^2)^(1+1/(2*k))),x,-inf,inf)
f =
piecewise([-1 < Re(1/k) and (-2 < 1/k or not 1/2/k in Z_) and k <>
0 and abs(arg(k)) < pi, (2*pi^(1/2)*k^(1/2)*gamma(1/(2*k) +
1/2))/gamma(1/(2*k))])
subs(f,0.5)
ans =(pi*2^(1/2))/2
2、 quadgk 函数的使用
quadgk 是采用自适应 Gauss-Kronrod 求积法，调用格式如下：
quadgk(@(x)f(x,s),a,b);
其中，x 是自变量，s 是参数，a 和 b 分别是上下积分限，@(x)用于指明自变量或被积分的
变量。f(x,s)是被积函数，需要通过 function定义。
例 3：求积分
22
0
2 2
0
ln ( / )1( ) exp exp
2 2 2 2
x df x
function y=castaing(x,lambda)
%%%%%%% adaptive Gauss-Kronrod quadrature %%%%%%%
m=length(x);
y = zeros(1,m);
for n=1:m
y(n)=quadgk(@(sigma)castaingfun(x(n),lambda,sigma),0,Inf);
end
function f=castaingfun(x,lambda,sigma)
sigma0=exp(-lambda^2);
f=exp(-x.^2./(2.*sigma.^2)).*exp(-(log(sigma./sigma0)).^2./(2.*lambda
.^2))./(2.*pi.*lambda.*sigma.^2);
下图是取不同值时，x 在[-8,8]范围内的积分结果：
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