【备战2013高考数学专题讲座】
第4讲:数学思想方法之归纳思想探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有:建模思想、归纳思想,分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。
数学中的所谓归纳,是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。归纳规律题是指在一定条件下,探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般(再到特殊)”的数学思想方法,考察了学生的分析、解决问题能力,观察、联想、归纳能力,以及探究能力和创新能力。
结合2012年全国各地高考的实例,我们从下面五方面探讨归纳规律性问题的解法:(1)根据数(式)的排列或运算规律归纳;(2)根据图形的排列或运算规律归纳;(3)根据寻找的循环规律归纳;(4)根据一、二阶递推规律归纳;(5)数学归纳法的应用。
一、根据数(式)的排列或运算规律归纳:
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年江西省理5分)观察下列各式:
EMBED Equation.DSMT4 则
【 】
A.28 B.76 C.123 D.199
【答案】C。
【考点】归纳推理的思想方法。
【解析】观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,…,发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,故
。故选C。
例2. (2012年陕西省理5分) 观察下列不等式【版权归锦元数学工作室,不得转载】
,
……
照此规律,第五个不等式为 ▲ .
【答案】
。
【考点】归纳规律。
【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方;右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,得出第n个不等式,即可得到通式:
。
令n=5,即可得出第五个不等式
,即
。
例3. (2012年湖北省理5分)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22,,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个:11,22,33…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999。则
(Ⅰ)4位回文数有 ▲ 个;
(Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有 ▲ 个。
【答案】(Ⅰ)90;(Ⅱ)
。
【考点】计数原理的应用。
【解析】(I)4位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,有10种选法,故4位回文数有9×10=90个。
(II)第一步,选左边第一个数字,有9种选法;第二步,分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字,共有10×10×10×…×10=10n种选法,故2n+1(n∈N+)位回文数有
个。
例4.(2012年福建省理13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(I)请从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(II)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【答案】解:(I)选择(2)式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-eq \f(1,2)sin30°=1-eq \f(1,4)=eq \f(3,4)。
(II)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=eq \f(3,4)。证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+eq \f(3,4)cos2α+eq \f(\r(3),2)sinαcosα+eq \f(1,4)sin2α-eq \f(\r(3),2)sinαcosα-eq \f(1,2)sin2α
=eq \f(3,4)sin2α+eq \f(3,4)cos2α=eq \f(3,4)。
【考点】同角函数关系式、倍角公式和差的余弦公式的应用。
【解析】(I)选择(2)式,应用同角函数关系式和倍角公式即可得出结果。
(II)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=eq \f(3,4)。应用差的余弦公式和同角函数关系式即可证明。
二、根据图形的排列或运算规律归纳:
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年全国大纲卷理5分)正方形
的边长为1,点
在边
上,点
在边
上,
,动点
从
出发沿直线向
运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角。
当点
第一次碰到
时,
与正方形的边碰撞的次数为【 】
A.16 B.14 C.12 D.10
【答案】A。
【考点】反射原理,正方形的性质,三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点
,
的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到
点时,需要碰撞14次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解:如图,
为便是于计算,将正方形
的边长扩大7倍,这样边长为7,
,
。
∴这些三角形相似的两边长之比
。
∴
;
;
;
;
;
。
∴经过7次碰撞,到达与点
成轴对称的点
处,根据正方形的对称性,再经过7次碰撞,到达点
,共14次碰撞。故选A。
例2. (2012年全国大纲卷文5分)正方形
的边长为1,点
在边
上,点
在边
上,
,动点
从
出发沿直线向
运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角。
当点
第一次碰到
时,
与正方形的边碰撞的次数为【 】
A 8 B 6 C 4 D 3
【答案】B。
【考点】反射原理,正方形的性质,三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点
,
的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到
点时,需要碰撞6次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解:如图,
为便是于计算,将正方形
的边长扩大3倍,这样边长为7,
,
。
∴这些三角形相似的两边长之比
。
∴
;
;
∴经过3次碰撞,到达与点
成轴对称的点
处,根据正方形的对称性,再经过3次碰撞,到达点
,共6次碰撞。故选B。
例3. (2012年上海市理5分)设,,在中,正数的个数是【 】
A.25 B.50 C.75 D.100
【答案】 D。
【考点】正弦函数的周期性。
【解析】∵对于
(只有
),∴
都为正数。
当
时,令
,则
,画出
终边如右,
其终边两两关于
轴对称,即有
,
∴
其中
=26,27,…,49,此时
。
∵
,
,∴
。
从而当
=26,27,…,49时,
都是正数。
又
。
同上可得,对于
从51到100的情况同上可知
都是正数,故选D。
例4. (2012年上海市文5分)若
(
),则在
中,正数的个数是【 】
A、16 B、72 C、86 D、100
【答案】C。
【考点】正弦函数的周期性和对称性。
【解析】依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项:
在
中,分成7部分
,加上
。在7部分中,每一部分正数的个数是相同的。
讨论一个周期的情况:
如图,
中,当
时,
,所以
均为正数;当
时,由于正弦函数的性质,知
也为正数;
当
时,由于正弦函数的性质,知
为0。因此共有12个正数。
另
为正数。
∴在
中,正数的个数是
。故选C。
三、根据寻找的循环规律归纳:
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年福建省文5分)数列{an}的通项公式an=ncoseq \f(nπ,2),其前n项和为Sn,则S2 012等于【 】
A.1006 B.2012 C.503 D.0
【答案】A。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律:a1=1coseq \f(π,2)=0,a2=2cosπ=-2,a3=3coseq \f(3π,2)=0,a4=4cos2π=4;
a5=5coseq \f(5π,2)=0,a6=6cos3π=-6,a7=7coseq \f(7π,2)=0,a8=8coseq \f(8π,2)=8;
······
∴该数列每四项的和
。
∵2012÷4=503,∴S2 012=2×503=1006。故选A。
例2. (2012年福建省理4分)数列{an}的通项公式
,前n项和为Sn,则S2 012= ▲ .
【答案】3018。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律:a1=1coseq \f(π,2)+1=1,a2=2cosπ+1=-1,a3=3coseq \f(3π,2)+1=1,a4=4cos2π+1=5;
a5=5coseq \f(5π,2)+1=1,a6=6cos3π+1=-5,a7=7coseq \f(7π,2)+1=1,a8=8coseq \f(8π,2)+1=9;
······
∴该数列每四项的和
。
∵2012÷4=503,∴S2 012=6×503=3018。
例3. (2012年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k的值是 ▲ .
【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:
是否继续循环
k
循环前
0
0
第一圈
是
1
0
第二圈
是
2
-2
第三圈
是
3
-2
第四圈
是
4
0
第五圈
是
5
4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。
例4:(2012年湖北省理5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s= ▲ .
【答案】9。
【考点】程序框图。
【解析】用列举法,通过循环过程直接得出s与n的值,得到n=3时退出循环,即可.
循环前,S=1,a=3,
第1次判断后循环,n=2,s=4,a=5,
第2次判断并循环n=3,s=9,a=7,
第3次判断n退出循环,输出s =9。【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例5:(2012年辽宁省理5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是【 】
(A)
1 (B)
(C)
(D) 4
【答案】D。
【考点】程序框图中的循环结构,数列的周期性。
【解析】根据程序框图可计算得
EMBED Equation.DSMT4 由此可知S的值呈周期出现,其周期为4,输出时
因此输出的值与
时相同。故选D。
例5.(2012年湖南省文5分)对于
,将n表示为
,当
时
,当
时
为0或1,定义
如下:在
的上述表示中,当
,a2,…,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@]
(1)b2+b4+b6+b8= ▲ .;
(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是 ▲ ..
【答案】(1)3;(2)2。
【考点】数列问题。
【解析】(1)观察知
;
;
依次类推
;
;
;
,
;
;
∴b2+b4+b6+b8=3。
(2)由(1)知cm的最大值为2。
四、根据一、二阶递推规律归纳归纳:
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年江西省文5分) 观察下列事实
的不同整数解
的个数为4 ,
的不同整数解
的个数为8,
的不同整数解
的个数为12 ….则
的不同整数解
的个数为【 】
A.76 B.80 C.86 D.92
【答案】B。
【考点】归纳推理,等差数列的应用。
【解析】观察可得不同整数解的个数4,8,12,…可以构成一个首项为4,公差为4的等差数列,通项公式为
,则所求为第20项,所以
。故选B。
例2. (2012年湖南省理5分)设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前
个数,并对每段作C变换,得到
个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段
和后;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段
个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.
(1)当N=16时,x7位于P2中的第 ▲ 个位置;
(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第 ▲ 个位置.
【答案】(1)6;(2)
。
【考点】演绎推理的基本方法,进行简单的演绎推理。
【解析】(1)当N=16时,
,可设为
,
,即为
,
,即
, x7位于P2中的第6个位置。
(2)考察C变换的定义及(1)计算可发现:
第一次C变换后,所有的数分为两段,每段的序号组成公差为2的等差数列,且第一段序号以1为首项,第二段序号以2为首项;
第二次C变换后,所有的数据分为四段,每段的数字序号组成以为4公差的等差数列,且第一段的序号以1为首项,第二段序号以3为首项,第三段序号以2为首项,第四段序号以4为首项;
依此类推可得出P4中所有的数字分为16段,每段的数字序号组成以16为公差的等差数列,且一到十六段的首项的序号分别为1,9,5,13,…,由于173=16×10+13,故x173位于以13为首项的那一段的第11个数,由于N=2n(n≥8)故每段的数字有2n-4个,以13为首项的是第四段,故x173位于第
个位置。
例3.(2012年全国课标卷理5分)数列
满足
,则
的前
项和为 ▲
【答案】
。
【考点】分类归纳(数字的变化类),数列。
【解析】求出
的通项:由
得,
当
时,
;当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;······
当
时,
;当
时,
;当
时,
;
当
时,
(
)。
∵
,
∴
的四项之和为
(
)。
设
(
)。
则
的前
项和等于
的前15项和,而
是首项为10,公差为16的等差数列,
∴
的前
项和=
的前15项和=
。
例4:(2012年湖北省文5分)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数:
将三角形数1,3, 6,10,…记为数列
,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
,可以推测:
(Ⅰ)
是数列
中的第 ▲ 项;
(Ⅱ)
= ▲ 。(用
表示)
【答案】(Ⅰ)5030;(Ⅱ)
。
【考点】归纳规律。
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为
,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110。
故
。
从而由上述规律可猜想:
(
为正整数),
。
故
,即
是数列
中的第5030项。
五、数学归纳法的应用:
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年上海市理18分)对于数集
,其中
,
,定义向量集
. 若对于任意
,存在
,使得
,则称X具有性质P. 例如
具有性质P.
(1)若
>2,且
,求
的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:1(X,且当
n>1时,
1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且
1=1,
(
为常数),求有穷数列
的通项公式.(8分)
【答案】解:(1)选取
,则Y中与
垂直的元素必有形式
。
∴
,从而
=4。
(2)证明:取
,设
满足
。
由
得
,∴
、
异号。
∵-1是X中唯一的负数,所以
、
中之一为-1,另一为1。
故1(X。
假设
,其中
,则
。
选取
,并设
满足
,即
。
则
、
异号,从而
、
之中恰有一个为-1。
若
=-1,则
,矛盾;
若
=-1,则
,矛盾.
∴
=1。
(3)猜测
,i=1, 2, …,
。
记
,
=2, 3, …,
。
先证明:若
具有性质P,则
也具有性质P。
任取
,
、
(
.当
、
中出现-1时,显然有
满足
。
当
且
时,
、
≥1。
∵
具有性质P,∴有
,
、
(
,使得
。
从而
和
中有一个是-1,不妨设
=-1,
假设
(
且
(
,则
。
由
,得
,与
(
矛盾。
∴
(
,从而
也具有性质P。
现用数学归纳法证明:
,i=1, 2, …,
。
当
=2时,结论显然成立。
假设
时,
有性质P,则
,i=1, 2, …,
;
则当
时,若
有性质P,则
也有性质P,所以
。
取
,并设
满足
,即
。
由此可得
与
中有且只有一个为-1。
若
,则
,所以
,这不可能;
∴
,
,又
,所以
。
综上所述,
EMBED Equation.3 ,i=1, 2, …,
。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。
【解析】(1)根据题设直接求解。
(2)用反证法给予证明。
(3)根据题设,先用反证法证明:若
具有性质P,则
也具有性质P,再用数学归纳法证明猜测
,i=1, 2, …,
。
例2. (2012年湖北省理14分)(Ⅰ)已知函数
,其中
为有理数,且
.求
的最小值;
(II)试用(1)的结果证明如下命题:设
为正有理数,若
,则
;
(III)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当
为正有理数时,有求导公式
【答案】解:(Ⅰ),令,解得。
当时,,所以在内是减函数;【版权归锦元数学工作室,不
当 时,,所以在内是增函数。
∴函数在处取得最小值。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,有,即 ①。
若,中有一个为0,则成立;
若,均不为0,又,可得。
于是在①中令,,可得,
即,亦即。
综上,对,,为正有理数且,总有 ②。
(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:
设为非负实数,为正有理数.
若,则. ③
用数学归纳法证明如下:
(1)当时,,有,③成立。
(2)假设当时,③成立,即若为非负实数,为正有理数,
且,则。
当时,已知为非负实数,为正有理数,
且,此时,即。
∴=。
∵,由归纳假设可得
,
∴。
又∵,由②得
,
∴.
故当时,③成立。
由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立,
【考点】利用导数求函数的最值,数学归纳法的应用。
【解析】(Ⅰ)应用导数求函数的最值。
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,分,中有一个为0和,均不为0讨论即可。
(Ⅲ)应用数学归纳法证明。
例3. (2012年全国大纲卷理12分)函数。定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标。
(1)证明:;
(2)求数列的通项公式。
【答案】解:(1)∵,∴点在函数的图像上。
∴由所给出的两点,可知,直线斜率一定存在。
∴直线的直线方程为。
令,可求得
,解得
。
∴。
下面用数学归纳法证明:
当时,,满足,
假设时,成立,则当时,,
由得,
,即
,∴
。
∴也成立。
综上可知对任意正整数恒成立。
下面证明:
∵,
∴由得,
。∴
。
∴即。
综上可知恒成立。
(2)由得到该数列的一个特征方程即,
解得或。
∴
① ,②。
两式相除可得。
而
∴数列是以为首项以为公比的等比数列。
∴。
【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用,不等式的证明,数学归纳法。
【解析】(1)先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法证明,运用差值法证明,从而得证。
(2)根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。
_1400756721.unknown
_1401005051.unknown
_1401507138.unknown
_1401541175.unknown
_1415946118.unknown
_1416204493.unknown
_1416204556.unknown
_1416204804.unknown
_1416553957.unknown
_1416581014.unknown
_1416554433.unknown
_1416204673.unknown
_1416204542.unknown
_1416204508.unknown
_1416204521.unknown
_1416043626.unknown
_1416151335.unknown
_1416204461.unknown
_1416121189.unknown
_1416043664.unknown
_1416043566.unknown
_1416043600.unknown
_1416043535.unknown
_1416043546.unknown
_1401541604.unknown
_1401543875.unknown
_1415946102.unknown
_1401544663.unknown
_1401543794.unknown
_1401541422.unknown
_1401541491.unknown
_1401541554.unknown
_1401541372.unknown
_1401507681.unknown
_1401508152.unknown
_1401508267.unknown
_1401508362.unknown
_1401508641.unknown
_1401508713.unknown
_1401508777.unknown
_1401508807.unknown
_1401540967.unknown
_1401508791.unknown
_1401508732.unknown
_1401508671.unknown
_1401508464.unknown
_1401508606.unknown
_1401508381.unknown
_1401508305.unknown
_1401508330.unknown
_1401508337.unknown
_1401508346.unknown
_1401508319.unknown
_1401508285.unknown
_1401508294.unknown
_1401508277.unknown
_1401508247.unknown
_1401508259.unknown
_1401508211.unknown
_1401508220.unknown
_1401508173.unknown
_1401507839.unknown
_1401508007.unknown
_1401508121.unknown
_1401507870.unknown
_1401507729.unknown
_1401507437.unknown
_1401507654.unknown
_1401507673.unknown
_1401507617.unknown
_1401507174.unknown
_1401507407.unknown
_1401507146.unknown
_1401497221.unknown
_1401506954.unknown
_1401507107.unknown
_1401507120.unknown
_1401507127.unknown
_1401507112.unknown
_1401507029.unknown
_1401507060.unknown
_1401507002.unknown
_1401497940.unknown
_1401498119.unknown
_1401506909.unknown
_1401506928.unknown
_1401498067.unknown
_1401497590.unknown
_1401497900.unknown
_1401497911.unknown
_1401497236.unknown
_1401031241.unknown
_1401064687.unknown
_1401496894.unknown
_1401497171.unknown
_1401497187.unknown
_1401497129.unknown
_1401496745.unknown
_1401496825.unknown
_1401064753.unknown
_1401064015.unknown
_1401064070.unknown
_1401064296.unknown
_1401064023.unknown
_1401032175.unknown
_1401032494.unknown
_1401032825.unknown
_1401033060.unknown
_1401035642.unknown
_1401032902.unknown
_1401032600.unknown
_1401032424.unknown
_1401031450.unknown
_1401032029.unknown
_1401031381.unknown
_1401020716.unknown
_1401030996.unknown
_1401031043.unknown
_1401031160.unknown
_1401031015.unknown
_1401028101.unknown
_1401029251.unknown
_1401020717.unknown
_1401020712.unknown
_1401020714.unknown
_1401020715.unknown
_1401020713.unknown
_1401005428.unknown
_1401020711.unknown
_1401005157.unknown
_1400994162.unknown
_1401004067.unknown
_1401004272.unknown
_1401004913.unknown
_1401004926.unknown
_1401004743.unknown
_1401004099.unknown
_1401004204.unknown
_1400994239.unknown
_1400994260.unknown
_1400994209.unknown
_1400758829.unknown
_1400836082.unknown
_1400994102.unknown
_1400994122.unknown
_1400994112.unknown
_1400930404.unknown
_1400994070.unknown
_1400994092.unknown
_1400930893.unknown
_1400930910.unknown
_1400914706.unknown
_1400914715.unknown
_1400861982.unknown
_1400914662.unknown
_1400759550.unknown
_1400792773.unknown
_1400834307.unknown
_1400834349.unknown
_1400834410.unknown
_1400792811.unknown
_1400760445.unknown
_1400761419.unknown
_1400792748.unknown
_1400760626.unknown
_1400761083.unknown
_1400760541.unknown
_1400759815.unknown
_1400760040.unknown
_1400759564.unknown
_1400759706.unknown
_1400759081.unknown
_1400759266.unknown
_1400759350.unknown
_1400759207.unknown
_1400758948.unknown
_1400759063.unknown
_1400758937.unknown
_1400758283.unknown
_1400758606.unknown
_1400758738.unknown
_1400758825.unknown
_1400758726.unknown
_1400758389.unknown
_1400758595.unknown
_1400758380.unknown
_1400758111.unknown
_1400758177.unknown
_1400758274.unknown
_1400758167.unknown
_1400756825.unknown
_1400758088.unknown
_1400756797.unknown
_1234568127.unknown
_1400650157.unknown
_1400694917.unknown
_1400698868.unknown
_1400756211.unknown
_1400756542.unknown
_1400756578.unknown
_1400756318.unknown
_1400743739.unknown
_1400745880.unknown
_1400748480.unknown
_1400756100.unknown
_1400746047.unknown
_1400746046.unknown
_1400745351.unknown
_1400745828.unknown
_1400744896.unknown
_1400726057.unknown
_1400743638.unknown
_1400698981.unknown
_1400695059.unknown
_1400695135.unknown
_1400695181.unknown
_1400697560.unknown
_1400695100.unknown
_1400695006.unknown
_1400689184.unknown
_1400694591.unknown
_1400694883.unknown
_1400689200.unknown
_1400681735.unknown
_1400682426.unknown
_1400689074.unknown
_1400681757.unknown
_1400681646.unknown
_1400681725.unknown
_1400650319.unknown
_1234568141.unknown
_1234568152.unknown
_1234568165.unknown
_1234568170.unknown
_1234568172.unknown
_1400596270.unknown
_1234568173.unknown
_1234568171.unknown
_1234568168.unknown
_1234568169.unknown
_1234568166.unknown
_1234568157.unknown
_1234568164.unknown
_1234568155.unknown
_1234568147.unknown
_1234568149.unknown
_1234568150.unknown
_1234568148.unknown
_1234568143.unknown
_1234568145.unknown
_1234568142.unknown
_1234568133.unknown
_1234568137.unknown
_1234568140.unknown
_1234568136.unknown
_1234568131.unknown
_1234568132.unknown
_1234568130.unknown
_1234568103.unknown
_1234568114.unknown
_1234568123.unknown
_1234568124.unknown
_1234568126.unknown
_1234568116.unknown
_1234568117.unknown
_1234568118.unknown
_1234568115.unknown
_1234568110.unknown
_1234568112.unknown
_1234568113.unknown
_1234568111.unknown
_1234568105.unknown
_1234568109.unknown
_1234568104.unknown
_1234568090.unknown
_1234568099.unknown
_1234568101.unknown
_1234568102.unknown
_1234568100.unknown
_1234568097.unknown
_1234568098.unknown
_1234568093.unknown
_1234567981.unknown
_1234568083.unknown
_1234568089.unknown
_1234568082.unknown
_1234567978.unknown
_1234567980.unknown
_1234567965.unknown
本文档为【第4讲:数学思想方法之归纳思想探讨】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑,
图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享,如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服,我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。