概率论与数理统计_知识点总复习

翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 1 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )!( ! nm mPnm −= 从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!(! ! nmn mCnm −= 从 m个人中挑出 n个人进行组合的可能数。 (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法 来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方 法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 (4)一些常见排列 1 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨 2 重复排列和非重复排列（有序） 3 对立事件 4 顺序问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进 行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能 结果称为随机事件。 （2）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）： BA ⊂ 如果同时有 BA ⊂ ， AB ⊃ ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A∪ B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 BA ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A∩ B，或者 AB。A∩ B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事 件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A。它表示 A 不发生的事 件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ∪∩ ∞ = ∞ = = 11 i i i i AA BABA ∩∪ = ， BABA ∪∩ = 3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义 设Ω为样本空间， A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A)，若满足下 列三个条件： 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 2 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 1A ， 2A ，…有 ∑∞ = ∞ = =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ 11 )( i i i i APAP ∪ 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件 A的概率。 （2）古典概型（等可能概型） 1° { }nωωω "21 ,=Ω ， 2° n PPP n 1)()()( 21 === ωωω " 。 设任一事件 A，它是由 mωωω "21 , 组成的，则有 P(A)={ })()()( 21 mωωω ∪"∪∪ = )()()( 21 mPPP ωωω +++ " n m= 基本事件总数 所包含的基本事件数A= 4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P(B )=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 )( )( AP ABP 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 =)/( ABP )( )( AP ABP 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1⇒ P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： )/()()( ABPAPABP = 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有 21( AAP … )nA )|()|()( 213121 AAAPAAPAP= …… 21|( AAAP n … )1−nA 。 （4）全概公式 设事件 nBBB ,,, 21 " 满足 1° nBBB ,,, 21 " 两两互不相容， ),,2,1(0)( niBP i "=> ， 2° ∪n i iBA 1= ⊂ ， 则有 )|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP +++= " 。 此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式 设事件 1B ， 2B ，…， nB 及 A满足 1° 1B ， 2B ，…， nB 两两互不相容， )(BiP >0， =i 1，2，…，n， 2° ∪n i iBA 1= ⊂ ， 0)( >AP ， 则 ∑ = = n j jj ii i BAPBP BAPBPABP 1 )/()( )/()( )/( ，i=1，2，…n。 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 3 此公式即为贝叶斯公式。 )( iBP ，（ 1=i ， 2 ，…，n），通常叫先验概率。 )/( ABP i ，（ 1=i ， 2 ，…， n），通常称为后验概率。如果我们把 A当作观察的“结果”，而 1B ， 2B ，…， nB 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因” 的推断。 5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性 设事件 A、 B 满足 )()()( BPAPABP = ，则称事件 A、 B 是相互独立的 （这个性质不是想当然成立的）。 若事件 A、 B相互独立，且 0)( >AP ，则有 )( )( )()( )( )()|( BP AP BPAP AP ABPABP === 所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件 A、B相互独立，则可得到 A与 B、A与B、A与 B也都相互独立。 （证明） 由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。（证明） 同时，Ø与任何事件都互斥。 （2）多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C相互独立。 对于 n个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验 定义 我们作了n次试验，且满足 ‹ 每次试验只有两种可能结果， A发生或 A不发生； ‹ n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样； ‹ 每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试验 A发生与否是 互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为 qp =−1 ，用 )(kPn 表示n 重伯努利试验中 A出现 )0( nkk ≤≤ 次的概率， knkk nn qpkP C −=)( ， nk ,,2,1,0 "= 。 随机变量及其分布 第一节 基本概念 在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数， 它本身就是一个数值，因此 P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是 数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。 但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为 “1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是 == )(ωXX ⎩⎨ ⎧ ，当反面出现 ，当正面出现 0 1 称 X 为随机变量。又由于 X 是随着试验结果（基本事件ω）不同而变化的，所以 X 实际上是基本事件ω的函数，即 X=X(ω)。同时事件 A包含了一定量的ω（例如古典 概型中 A 包含了ω1，ω2，…ωm，共 m 个基本事件），于是 P(A)可以由 P(X(ω))来计 算，这是一个普通函数。 定义 设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个事件ω都有唯一的实数值 X=X(ω) 与之对应，则称 X=X(ω)为随机变量，简记为 X 。 有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 4 情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到 对随机变量的研究，这样 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 分析的方法也可用来研究随机现象了。 一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多 个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距 离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。 1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率 设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件 (X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给 出： "" "" ,,,, ,,,,| )( 21 21 k k k ppp xxx xXP X = 。 显然分布律应满足下列条件： （1） 0≥kp ， ",2,1=k ， （2） ∑∞ = = 1 1 k kp 。 （2）分布函数 对于非离散型随机变量，通常有 0)( == xXP ，不可能用分布率表达。例如 日光灯管的寿命 X ， 0)( 0 == xXP 。所以我们考虑用 X 落在某个区间 ],( ba 内 的概率表示。 定义 设 X 为随机变量， x是任意实数，则函数 )()( xXPxF ≤= 称为随机变量 X的分布函数。 )()()( aFbFbXaP −=≤< 可以得到 X 落入区间 ],( ba 的概率。也就 是说，分布函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性。 分布函数 )(xF 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的 概率。 )(xF 的图形是阶梯图形， ",, 21 xx 是第一类间断点，随机变量 X 在 kx 处的 概率就是 )(xF 在 kx 处的跃度。 分布函数具有如下性质： 1° ,1)(0 ≤≤ xF +∞<<∞− x ； 2° )(xF 是单调不减的函数，即 21 xx < 时，有 ≤)( 1xF )( 2xF ； 3° 0)(lim)( ==−∞ −∞→ xFF x ， 1)(lim)( ==+∞ +∞→ xFF x ； 4° )()0( xFxF =+ ，即 )(xF 是右连续的； 5° )0()()( −−== xFxFxXP 。 （3）连续型随机变量的密度函数 定义 设 )(xF 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 )(xf ，对任意实数 x， 有 ∫ ∞−= x dxxfxF )()( ， 则称 X 为连续型随机变量。 )(xf 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 5 密度。 )(xf 的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。 由上式可知，连续型随机变量的分布函数 )(xF 是连续函数。 所以， )()()()( 21212121 xXxPxXxPxXxPxXxP =<<=<≤=≤<=≤≤ 密度函数具有下面 4 个性质： 1° 0)( ≥xf 。 2° ∫+∞∞− =1)( dxxf 。 1)()( ==+∞ ∫+∞∞− dxxfF 的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积 等于 1。 如果一个函数 )(xf 满足 1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。 3° )( 21 xXxP ≤< ＝ )()( 12 xFxF − ＝ ∫2 1 )( x x dxxf 。 4° 若 )(xf 在 x处连续，则有 )()( xfxF =′ 。 dxxfdxxXxP )()( ≈+≤< 它在连续型随机变量理论中所起的作用与 kk pxXP == )( 在离散型随机变量理 论中所起的作用相类似。 )(),(, 独立性古典概型，五大公式，APAE →→Ω→ω )()()()( xXPxFxXX ≤=→≤→ ωω 对于连续型随机变量 X ，虽然有 0)( == xXP ，但事件 )( xX = 并非是不可能 事件Ø。 ∫+=+≤<≤= hx x dxxfhxXxPxXP )()()( 令 0→h ，则右端为零，而概率 0)( ≥= xXP ，故得 0)( == xXP 。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然 事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1的事件也不一定是必然事件。 2、常见分布 ①0－1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q ②二项分布 在 n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为 p。事件 A发生的次数是随机变量， 设为 X ，则 X 可能取值为 n,,2,1,0 " 。 knkk nn qpkPkXP C −=== )()( ， 其 中 nkppq ,,2,1,0,10,1 "=<<−= ， 则称随机变量 X 服从参数为 n， p的二项分布。记为 ),(~ pnBX 。 nknkk n n n nn pqpqpnpqqkXP X CC ,,,,,, | )( 2221 "" −−−= 容易验证，满足离散型分布率的条件。 当 1=n 时， kk qpkXP −== 1)( ， 1.0=k ，这就是（0-1）分布，所以（0-1） 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 6 分布是二项分布的特例。 ③泊松分布 设随机变量 X 的分布律为 λλ −== e k kXP k ! )( ， 0>λ ， "2,1,0=k ， 则称随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为 )(~ λπX 或者 P(λ )。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制 系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。 ④超几何分布 ),min( ,2,1,0 ,)( nMl lk C CCkXP n N kn MN k M = =•== − − " 随机变量 X服从参数为 n,N,M 的超几何分布。 ⑤几何分布 ",3,2,1,)( 1 === − kpqkXP k ，其中 p≥0，q=1-p。 随机变量 X服从参数为 p的几何分布。 ⑥均匀分布 设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 )(xf 在[a，b]上为常数 k，即 ⎩⎨ ⎧= ,0 , )( k xf 其他， 其中 k= ab − 1 ， 则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为 ∫ ∞− == x dxxfxF )()( 当 a≤x1λ ，则称随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布。 X的分布函数为 记住几个积分： ,1 0 =∫+∞ − dxxe x ,2 0 2 =∫+∞ − dxex x )!1( 0 1 −=∫+∞ −− ndxex xn 0， xb。 a≤x≤b =)(xf ,xe λλ − 0≥x , 0, 0σ 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 μ 、σ 的正态分布或 高斯（Gauss）分布，记为 ),(~ 2σμNX 。 )(xf 具有如下性质： 1° )(xf 的图形是关于 μ=x 对称的； 2° 当 μ=x 时， σπμ 2 1)( =f 为最大值； 3° )(xf 以ox轴为渐近线。 特别当σ 固定、改变 μ 时， )(xf 的图形形状不变，只是集体沿 ox轴平行移动， 所以 μ 又称为位置参数。当 μ 固定、改变σ 时， )(xf 的图形形状要发生变化，随 σ 变大， )(xf 图形的形状变得平坦，所以又称σ 为形状参数。 若 ),(~ 2σμNX ，则 X 的分布函数为 dtexF x t ∫ ∞− −−= 2 2 2 )( 2 1)( σ μ πσ 。。 参数 0=μ 、 1=σ 时的正态分布称为标准正态分布，记为 )1,0(~ NX ，其密度 函数记为 2 2 2 1)( x ex −= πϕ ， +∞<<∞− x ， 分布函数为 dtex x t∫ ∞− −Φ 2 2 2 1)( π 。 )(xΦ 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 φ(x)和Φ(x)的性质如下： 1° φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)； 2° 当 x=0 时，φ(x)＝ π2 1 为最大值； 3° Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 2 1 。 如果 X ~ ),( 2σμN ，则 σ μ−X ~ )1,0(N 。 所以我们可以通过变换将 )(xF 的计算转化为 )(xΦ 的计算，而 )(xΦ 的值是可以 通过查表得到的。 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −Φ−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −Φ=≤< σ μ σ μ 12 21 )( xxxXxP 。 分位数的定义。 3、随机变量函数的分布 随机变量Y是随机变量 X的函数 )(XgY = ，若 X的分布函数 )(xFX 或密度函 数 )(xf X 知道，则如何求出 )(XgY = 的分布函数 )(yFY 或密度函数 )(yfY 。 （1） X是离散型随机变量 已知 X的分布列为 "" "" ,,,, ,,,, )( 21 21 n n i ppp xxx xXP X = ， 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 8 显然， )(XgY = 的取值只可能是 "" ),(,),(),( 21 nxgxgxg ，若 )( ixg 互不相 等，则Y的分布列如下： "" "" ,,,, ),(,),(),( )( 21 21 n n i ppp xgxgxg yYP Y = ， 若有某些 )( ixg 相等，则应将对应的 iP 相加作为 )( ixg 的概率。 （2） X 是连续型随机变量 先利用 X的概率密度 fX(x)写出 Y的分布函数 FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式 求出 fY(y)。 二维随机变量及其分布 第一节 基本概念 1、二维随机变量的基本概念 （1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布 如果二维随机向量ξ （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称 ξ 为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）≡（X=x∩Y=y） 设 ξ =（ X， Y）的所有可能取值为 ),2,1,)(,( "=jiyx ji ，且事件 {ξ = ),( ji yx }的概率为 pij,,称 ),2,1,()},(),{( "=== jipyxYXP ijji 为ξ =（X，Y）的分布律或称为 X和 Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率 分布表来表示： Y X y1 y2 … yj … pi· x1 p11 p12 … p1j … p1· x2 p21 p22 … p2j … p2· # # # # # # xi pi1 … … pi· # # # # # # p·j p·1 p·2 … p·j … 1 这里 pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2） .1=∑∑ ij i j p 对于随机向量（X，Y），称其分量 X（或 Y）的分布为（X，Y）的关于 X（或 Y）的边 缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了 X 为离散型，并且其联合分布律为 ),2,1,()},(),{( "=== jipyxYXP ijji ， 则 X 的边缘分布为 ),2,1,()( "==== ∑• jipxXPP ij j ii ； Y的边缘分布为 ),2,1,()( "==== ∑• jipyYPP ij i ii 。 （2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对 于 二 维 随 机 向 量 ),( YX=ξ ， 如 果 存 在 非 负 函 数 ),)(,( +∞<<−∞+∞<<−∞ yxyxf ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标 轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a> yfxf YX 分别为 X，Y 的边缘分布密度。 （4）常见的二维分布 ①均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∈ = 其他,0 ),(1 ),( Dyx S yxf D 其中 SD为区域 D的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。 y 1 D1 O 1 x 图 3.1 y 1 D2 1 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 10 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 ②正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 , 12 1),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 ))((2 )1(2 1 2 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −− − = σ μ σσ μμρ σ μ ρ ρσπσ yyxx eyxf 其中 1||,0,0,, 2121 <>> ρσσμμ ，共 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态 分布， 记为（X，Y）～N（ ).,,, 22 2 1,21 ρσσμμ 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推 则错。 即 X～N（ ).(~),, 22,2 2 11 σμσμ NY （5）二维随机向量联合分布函数及其性质 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数 },{),( yYxXPyxF ≤≤= 称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。 分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件 })(,)(|),{( 2121 yYxX ≤<−∞≤<−∞ ωωωω 的概率为函数值的一个实值 函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质： （1） ;1),(0 ≤≤ yxF （2）F（x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即 当 x2>x1时，有 F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1时，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即 );0,(),(),,0(),( +=+= yxFyxFyxFyxF （4） .1),(,0),(),(),( =+∞+∞=−∞=−∞=−∞−∞ FxFyFF 2、随机变量的独立性 （1）一般型随机变量 F(X,Y)=FX(x)FY(y) （2）离散型随机变量 jiij ppp ••= 例 3．5：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1）， （2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y） 的联合分布及边缘分布为 D3 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 11 Y X -1 0 1 2 p1· 1 6 1 0 0 0 6 1 2 6 1 6 1 0 6 1 2 1 3 0 0 6 1 6 1 3 1 p·j 3 1 6 1 6 1 3 1 1 （3）连续型随机变量 f(x,y)=fX(x)fY(y) 联合分布→边缘分布→f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 例 3．6：如图 3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。 例 3．7：f(x,y)= ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤ 其他,0 10,20,2 yxAxy （4）二维正态分布 , 12 1),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 ))((2 )1(2 1 2 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −− − = σ μ σσ μμρ σ μ ρ ρσπσ yyxx eyxf ρ=0 （5）随机变量函数的独立性 若 X 与 Y 独立，h,g 为连续函数，则：h（X）和 g（Y）独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。 3、简单函数的分布 两个随机变量的和 Z=X+Y ①离散型： ②连续型 fZ(z)＝ dxxzxf∫+∞ ∞− − ),( 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ 22 2 121 , σσμμ ++ ）。 2、随机变量的独立性 例 3．17：设（X，Y）的联合分布密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤≤+ = .,0 ,10),( ),( 其他 xyyxC yxf （1） 求 C； 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 12 （2） 求 X，Y 的边缘分布； （3） 讨论 X 与 Y 的独立性； （4） 计算 P（X+Y≤1）。 3、简单函数的分布 随机变量的数字特征 第一节 基本概念 1、一维随机变量的数字特征 （1）一维随机变量及其函数的期望 ①设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P( kxX = )＝pk，k=1,2,…,n， ∑ = = n k kk pxXE 1 )( 期望就是平均值。 ③数学期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， ∑ ∑ = = = n i n i iiii XECXCE 1 1 )()( （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 （5） Y=g(X) 离散： ∑ = = n i kk pxgYE 1 )()( 连续： ∫+∞ ∞− = dxxxfXE )()( ∫+∞ ∞− = dxxfxgYE )()()( （2）方差 D(X)=E[X-E(X)]2，方差 )()( XDX =σ ，标准差 ①离散型随机变量 ∑ −= k kk pXExXD 2)]([)( ②连续型随机变量 ∫+∞ ∞− −= dxxfXExXD )()]([)( 2 ③方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 类似的，n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布 ),( 2σμN 。 ∑= i iiC μμ ， ∑= i iiC 222 σσ （3）常见分布的数学期望和方差 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 13 分布名称 符号 均值 方差 0-1 分布 ),1( pB p )1( pp − 二项分布 ),( pnB np )1( pnp − 泊松分布 )(λP λ λ 几何分布 )( pG p 1 2 1 p p− 超几何分布 ),,( NMnH N nM ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 1 1 N nN N M N nM 均匀分布 ),( baU 2 ba + 12 )( 2ab − 指数分布 )(λe λ 1 2 1 λ 正态分布 ),( 2σμN μ 2σ ①0－1 分布 X 0 1 q p E(X)=p，D(X)=pq ②二项分布 X~B(n,p)， knkknn qpCkP −=)( ，（k=0,1,2…n） E(X)=np，D(X)=npq ③泊松分布 P(λ) P(X=k)= !k e xk −λ ，k=0,1,2… E(X)= λ， D(X)= λ ④超几何分布 n N kn MN k M C CCkXP − −== )( E(X)= N nM ⑤几何分布 1)( −== kpqkXP ，k=0,1,2… E(X)= p 1 ， D(X)= 2p q ⑥均匀分布 X~U[a,b]，f(x)= ab − 1 ，[a, b ] E(X)= 2 ba + ， D(X)= 12 )( 2ab − ⑦指数分布 f(x)= xe λλ − ，(x>0) 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 14 E(X)= λ 1 ， D(X)= 2 1 λ ⑧正态分布 X~N(μ,σ2)， 2 2 2 )( 2 1)( σ μ σπ −−= x exf E(X)= μ， D(X)= σ2 2、二维随机变量的数字特征 （1）协方差和相关系数 对于随机变量 X与 Y，称它们的二阶混合中心矩 11μ 为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记 为 ),cov( YXXY或σ ，即 ))].())(([(11 YEYXEXEXY −−== μσ 与记号 XYσ 相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为 XXσ 与 YYσ 。 协方差有下面几个性质： (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)). 对于随机变量 X与 Y，如果 D（X）>0, D(Y)>0，则称 )()( YDXD XYσ 为 X与 Y的相关系数，记作 XYρ （有时可简记为 ρ ）。 | ρ |≤1，当| ρ |=1 时，称 X与 Y安全相关： 完全相关 ⎩⎨ ⎧ −= = 时，负相关，当 时，正相关，当 1 1 ρ ρ 而当 0=ρ 时，称 X 与 Y 不相关。 与相关系数有关的几个重要结论 （i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 0=XYρ ；反之不真。 （ii） 若（X，Y）～N（ ρσσμμ ,,,, 222121 ），则 X与 Y相互独立的充要条件 是 0=ρ ，即 X 和 Y 不相关。 （iii） 以下五个命题是等价的： ① 0=XYρ ； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). （2）二维随机变量函数的期望 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ∫ ∫ ∑∑ ∞+ ∞ ∞+ ∞－ － 为连续型。， 为离散型；， ),(),(),( ),(),( )],([ YXdxdyyxfyxG YXpyxG YXGE i j ijji 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 15 （3）原点矩和中心矩 ①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 uk=E(Xk), k=1,2, …. 于是，我们有 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ∫ ∑ ∞+ ∞− . ,)( 续型时为连当 为离散型时，当 Xdxxpx Xpx u k i i k i k ②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k次幂的数学期望为 X的 k阶中心矩， 记为 kμ ，即 .,2,1,))(( "=−= kXEXE kkμ 于是，我们有 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ − − = ∫ ∑ ∞+ ∞− . ,)())(( ))(( 续型时为连当 为离散型时，当 XdxxpXEx XpXEx u k i i k i k ③对于随机变量 X 与 Y，如果有 )( lkYXE 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合原 点矩，记为 klu ，即 ))].(())([( YEYXEXEu kkl −−= 大数定律和中心极限定理 第一节 基本概念 1、切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=μ，方差 D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下 列切比雪夫不等式 2 2 )( ε σεμ ≤≥−XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率 )( εμ ≥−XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。 2、大数定律 （1）切比雪夫大数定律 （要求方差有界） 设随机变量 X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（Xi） 2) 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 19 （3）F分布 设 )(~),(~ 2 2 1 2 nYnX κκ ，且 X 与 Y 独立，可以证明： 2 1 / / nY nX F = 的概率 密度函数为 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Γ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +Γ = +−− .0,0 ,0,1 22 2 )( 2 2 112 2 2 1 21 21 21 1 1 y yy n n y n n nn nn yf nn n n 我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). 正态分布 αα μμ −=−1 ， )()(1 ntnt αα −=− ， ),( 1),( 12 211 nnF nnF α α =− 4、正态总体下统计量的分布和性质 注意一个定理： X 与 2S 独立。 （1）正态分布 设 nxxx ,,, 21 " 为来自正态总体 ),( 2σμN 的一个样 本，则样本函数 ).1,0(~ / N n xu def σ μ− （2）t-分布 设 nxxx ,,, 21 " 为来自正态总体 ),( 2σμN 的一个样 本，则样本函数 ),1(~ / −− nt nS xt def μ 其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。 （3） 2κ 分布 设 nxxx ,,, 21 " 为来自正态总体 ),( 2σμN 的一个样 本，则样本函数 ),1(~)1( 22 2 −− nSnwdef κσ 其中 )1(2 −nκ 表示自由度为 n-1 的 2κ 分布。 （4）F 分布 设 nxxx ,,, 21 " 为来自正态总体 ),( 2σμN 的一个样本， 而 nyyy ,,, 21 " 为来自正态总体 ),( 22σμN 的一个样本，则样本函数 ),1,1(~ / / 212 2 2 2 2 1 2 1 −− nnF S S F def σ σ 其中 翔天考研论坛 QQ:1300258853 www.xiangtiankaoyan.com 20 ,)( 1 1 2 11 2 1 1∑ = −−= n i i xxn S ;)( 1 1 2 12 2 2 2∑ = −−= n i i yyn S )1,1( 21 −− nnF 表示第一自由度为 11 −n ，第二自由度为 12 −n 的 F分布。 第七章 参数估计 第一节 基本概念 1、点估计的两种方法 （1）矩法 所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方 程，从而求得未知参数估计量的方法。 设总体 X 的分布中包含有未知数 mθθθ ,,, 21 " ，则其分布函数可以表成 ).,,,;( 21 mxF θθθ " 显示它的 k 阶原点矩 ),,2,1)(( mkXEv kk "== 中也 包 含 了 未 知 参 数 mθθθ ,,, 21 " ， 即 ),,,( 21 mkk vv θθθ "= 。 又 设 nxxx ,,, 21 " 为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为 ∑ = ∧ = n i k ik xn v 1 1 ).,,