Olympic Mathematics 011

Mathematics Olympic 2011.9.20 Guang Zhou No.011 本期目录 1．数学竞赛专题讲座 第11讲 方程组的解法 2．各地竞赛试题 2011年全国 初中数学 初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍 联赛 福建初赛试题 2005年第3届创新杯数学邀请赛初中二年级试题 3．初中数学竞赛模拟试题（4） 4. 数学名题与数学猜想  6174猜想 5. 数学竞赛史话： （6）西方的加入 数学竞赛专题讲座 第十一章 方程组的解法 【奥赛赛点】 一次方程组和二次方程组是最基本的方程组。要熟练掌握他们的解法。 对于整式方程组，最基本的解法就是“消元”或“降次”；而对于分式方程组以及根式方程组，常规的方法是将其化为整式方程组。 【解题思路与技巧】 在许多情况下，“换元”是解方程组得一种有效的方法。 对于一些各个方程的结构很整齐的方程组，可从整体来考虑，先求出它们的和，再来化简各个方程。 【典型示例】 例1（1997年北京市初中数学竞赛试题） 解方程组 [解] (1)+(2), 3992x+3992y=11976, 即 x+y=3 （3） (1)-(2) -2x+2y=2, 即 -x+y=1 （4） 解（3），（4）组成的方程组，得 例2（武汉市数学竞赛题） 解关于x1、x2、x3、…、xn-1、xn的方程组： [解]（1）+（2）+…+（n）得： （n-1）（x1+x2+…xn-1+xn）= ∴x1+x2+…+xn-1+xn= 将上式分别减去原方程组的各个方程，得 ： 例3 （1996年湖北省荆州市初中数学赛题） 已知关于x与y的方程组 分别求出当a为何值时，方程组的解为： （1）有惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解。 [解] 由已知方程组，得： （1）当（a-2）（a+1）≠0，即a≠2且a≠-1时，方程有惟一解，因而原方程组也有唯一一组解； （2）当（a-2）（a+1）=0且（a-2）（a+2）与a-2中至少有一个不为零时，方程无解，因此当a=-1时，原方程组无解； （3）当（a-2）（a+1）=（a-2）（a+2）=a-2=0, 即a=2时，原方程组为 ， 显然，这时原方程组有无穷多组解。 例4（1990年西安市初中数学竞赛试题） 解方程组 [解] 设x2+x=a, 3x+5y=b, 原方程组可变形为 所以a，b是方程 t2-24t+144=0 的二根，解得a=b=12。 于是 x2+x=12 （1）， 3x+5y=12 （1） 由（1）（2）解得 例5（1984年西安市初中数学竞赛试题） 解方程组 [解] （3）-（1）并整理得 (z-y)(x+y+z)=6 (4) （2）-（3）并整理得 (y-x)(x+y+z)=6 (5) （4）÷（5）并整理得 x=2y-z (6) (6) 代入（1）得 (2y-z)2+(2y-z)y+y2=7, 即 7y2-5yz+z2=7 (7) (7)×19- (2)×7, 并整理得 (3y-2z)(7y-z)=0 于是有 3y-2z=0 (8) 或 7y-z=0 (9) (2)与(8)联立解得 y=2, z=3或y=-2, z=-3 分别代入（6）得x=1或x=-1 (2)与(9)联立解得 y= , z= 或y=- , z=- 分别代入（6）得x= 或x=- 所以 ， ， ， 。 例6（1993年太原市初中数学竞赛试题） 方程组 [解1] 将方程②整理成关于x的一元二次方程，得（y2+4）x2-24yx+9(y2+4)=0. 因为x、y为实数， 所以△=（-24y）2-4×9(y2+4)2=-36(y2-4)2≥0，即（y2-4）2≤0。又（y2-4）2≥0, 所以y=±2，代入②，得x=±3 将 与 代入方程①知 是增解。 故原方程的解为 [解2]原方程组可化为 于是 ， 可以看作一元二次方程t2-10t+24=0的二根 解得 t1=4, t 2=6 有（1） ，或（2） （1）没有实数解，由（2）得 经检验知它是原方程组的解。 例7（1983年哈尔滨市初中数学竞赛试题） 求方程组的正数解 [解] 令 =u, =v, =w，则原方程组为 三式相加,并整理得 (u+v+w)2=169 注意到u+v+w≥0，得 u+v+w=13 (4) 由（1），（4）得 u=3 由（2），（4）得 v=4 由（3），（4）得 w=6 即 解这个方程组，并取其正根，得 经检验，它是原方程组的解。 例8．（2003年全国初中数学联赛试题） 已知实数a，b，c，d互不相等，且 EMBED Equation.DSMT4 试求x的值 [解] 由（1）得 （5） （5）代入（2）,整理得 （6） （6）代入（3），得 即 （7） 由（4）得ad+1=ax （8） （8）代入（7），得(d-a)x(x2-2)=0 由已知d≠a，又若x=0则由（6）可得a=c，矛盾， 故x2-2=0, 于是有 x= . 【拓展练习】 1．（第十届“五羊杯”初中数学竞赛试题） 方程组 （b≠2c, c≠-2b）的解是（ ） A、 B、 C、 D、 2．方程组 的解是 或 。 3．(2005年全国数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题) 方程组 的解为 。 4．（1994年“东方航空怀”上海市初中数学竞赛试题） 方程 的解是 5．方程组： 的解为 . 6．（五城市联赛试题） 方程组 的解是 。 7．（1998年上海市初中数学竞赛试题） 正数x1, x2, x3, x4, x5, x6同时满足 =1， ， ， ， ， ，则x1+x2+x3+x4+x5+x6的值为 。 8．（1996年“东方航空”上海市初中数学竞赛试题） 已知实数x0、y0是方程组 的解， 则x0+y0= 。 9．4、（1996年“东方航空杯”上海市初中数学竞赛试题） 方程组 的实数解（x，y）= 。 10．（1998年山东初中数学竞赛试题） 方程组 的解集是 。 11．（第五届全国初中数学通讯赛试题） 已知 求z-y的值。 12．（第七届“华罗瘐金杯”少年数学邀请赛初一试题） 解方程组： 13．（吉林省初中数学联赛预赛试题） 已知a、b是整数，求使关于x、y的方程组 有整数解，且满足0≤a, 0≤b≤5条件的一切整数a、b的值 14．（2000年山东省初中数学竞赛试题） 已知x,y均为实数，且满足xy+x+y=17, x2y+xy2=66，求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值。 15．（1982年哈尔滨市初中数学竞赛试题） 解方程组 2011年全国初中数学竞赛试题（福建赛区） 考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分 答题时注意： 1、用圆珠笔或钢笔作答； 2、解答书写时不要超过装订线； 3、草稿纸不上交。 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设 ，则代数式 的值为（ ） A、0 B、1 C、﹣1 D、2 2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b）△（c, d）＝（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）△（x, y）＝（u, v）,那么（x, y）为（ ） A、（0, 1） B、（1, 0） C、（﹣1， 0） D、（0, ﹣1） 3、已知A，B是两个锐角，且满足 ， ，则实数t所有可能值的和为（ ） A、 B、 C、1 D、 4、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设 ， ， ， ，则 与 的大小关系为（ ） A、 ﹤ B、 ＝ C、 ﹥ D、不能确定 5、设 ，则4S的整数部分等于（ ） A、4 B、5 C、6 D、7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数a, b（其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 . 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 . 8、如图，双曲线 （ ）与矩形OABC的边BC， BA分别交于点E， F， 且AF＝BF，连结EF，则△OEF的面积为 . 9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为 . 10、设四位数 满足 ，则这样的四位数的个数为 . 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11、已知关于x的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1, 求 的值. 12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙ 和△BCH的外接圆⊙ 相交于点D， 延长AD交CH于点P， 求证：点P为CH的中点. 13、若从1,2,3,…，n中任取5个两两互素的不同的整数 ， ， ， ， ， 其中总有一个整数是素数，求n的最大值. 14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝2AC. 点P在△ABC内,且PA= , PB=5, PC=2, 求△ABC的面积. 2005年第三届创新杯数学邀请赛 初中二年级第一试试题 一、选择题 1、平面上有四条直线,它们的交点最多有( ) (A)4个 (B)4个 (C)6个 (D)7个 2．已知实数a、b、c满足a＋b＋c=0,abc=1,则a、b、c中正数的个数为( ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 3．若－1b>c,则有下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) (A) (B)a2,b2,c2 (C) (D)|a－b|,|b－c|,|c－a| 其中长度单位均为cm 7．如图,M是△ABC的边BC的中点,P,Q是边AB、AC上任意一点,设△PBM、△PQM的面积分别是S1,S2,S3,则( ) (A) S1＋S2>S3 (B) S1＋S2=S3 (C) S1＋S2=2,连续做K变换必定要形成循环.这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故.但是对于n>=5,循环的个数以及循环的长度(指每个循环中所包含数的个数)尚不清楚,这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题. 数学竞赛史话 � EMBED Equation.3 ��� ① ② ② ① � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． D C A B E F B A � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� _1221842446.unknown _1267815894.unknown _1270897096.unknown _1362139119.unknown _1362139350.unknown _1362147117.unknown _1362147321.unknown _1362162226.unknown _1389550708.unknown _1389550709.unknown _1362162233.unknown _1362162745.unknown _1362162210.unknown _1362162218.unknown _1362162179.unknown _1362147199.unknown _1362147278.unknown _1362147159.unknown _1362140561.unknown _1362140948.unknown _1362140990.unknown _1362140596.unknown _1362139426.unknown _1362140034.unknown _1362139404.unknown _1362139322.unknown _1362139345.unknown _1362139264.unknown _1362139281.unknown _1362139254.unknown _1270897114.unknown _1297692386.unknown _1362138866.unknown _1362138975.unknown _1362138999.unknown _1362138950.unknown _1362138282.unknown _1362138800.unknown _1362138269.unknown _1270897122.unknown _1270897126.unknown _1270897130.unknown _1296065530.unknown _1297692291.unknown _1270897132.unknown _1296064725.unknown _1270897131.unknown _1270897128.unknown _1270897129.unknown _1270897127.unknown _1270897124.unknown _1270897125.unknown _1270897123.unknown _1270897118.unknown _1270897120.unknown _1270897121.unknown _1270897119.unknown _1270897116.unknown _1270897117.unknown _1270897115.unknown _1270897106.unknown _1270897110.unknown _1270897112.unknown _1270897113.unknown _1270897111.unknown _1270897108.unknown _1270897109.unknown _1270897107.unknown _1270897102.unknown _1270897104.unknown _1270897105.unknown _1270897103.unknown _1270897100.unknown _1270897101.unknown _1270897099.unknown _1270897077.unknown _1270897088.unknown _1270897092.unknown _1270897094.unknown _1270897095.unknown _1270897093.unknown _1270897090.unknown _1270897091.unknown _1270897089.unknown _1270897081.unknown _1270897086.unknown _1270897087.unknown _1270897082.unknown _1270897079.unknown _1270897080.unknown _1270897078.unknown _1268035003.unknown _1270897073.unknown _1270897075.unknown _1270897076.unknown _1270897074.unknown _1270897069.unknown _1270897071.unknown _1270897072.unknown _1270897070.unknown _1270897067.unknown _1270897068.unknown _1270897064.unknown _1270897065.unknown _1267979088.unknown _1267979127.unknown _1268027781.unknown _1268034436.unknown _1267979144.unknown _1267979105.unknown _1267979052.unknown _1267979078.unknown _1267979001.unknown _1267978935.unknown _1221845575.unknown _1230965276.unknown _1237652776.unknown _1267801015.unknown _1267812425.unknown _1267815868.unknown _1267801034.unknown _1267801056.unknown _1267801024.unknown _1267800834.unknown _1267800995.unknown _1267788022.unknown _1267788214.unknown _1267788313.unknown _1237652795.unknown _1230965292.unknown _1237652758.unknown _1230965284.unknown _1229835670.unknown _1229835724.unknown _1230965267.unknown _1229835734.unknown _1229835714.unknown _1221845788.unknown _1228521324.unknown _1228758350.unknown _1228521649.unknown _1228521307.unknown _1228521255.unknown _1221845591.unknown _1221844419.unknown _1221845001.unknown _1221845241.unknown _1221845294.unknown _1221845193.unknown _1221844520.unknown _1221844666.unknown _1221844443.unknown _1221844066.unknown _1221844210.unknown _1221844398.unknown _1221844096.unknown _1221842483.unknown _1221842493.unknown _1221842468.unknown _1173951646.unknown _1221832818.unknown _1221833024.unknown _1221838478.unknown _1221839174.unknown _1221839185.unknown _1221838737.unknown _1221834129.unknown _1221834154.unknown _1221833057.unknown _1221832923.unknown _1221832960.unknown _1221833008.unknown _1221832939.unknown _1221832857.unknown _1221832888.unknown _1221832833.unknown _1215936625.unknown _1221832340.unknown _1221832651.unknown _1221832699.unknown _1221832713.unknown _1221832679.unknown _1221832360.unknown _1221832592.unknown _1215951246.unknown _1215951308.unknown _1215951309.unknown _1215951310.unknown _1215951257.unknown _1215951250.unknown _1215936636.unknown _1215950879.unknown _1215936632.unknown _1187246184.unknown _1207080336.unknown _1215936605.unknown _1215936620.unknown _1213686078.unknown _1213686124.unknown _1215936599.unknown _1213686107.unknown _1207224549.unknown _1203710005.unknown 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_1172126918.unknown _1172126339.unknown _1172126754.unknown _1172126156.unknown _1167668743.unknown _1167733964.unknown _1167738267.unknown _1167738268.unknown _1167738266.unknown _1167733405.unknown _1167733926.unknown _1167733769.unknown _1167669148.unknown _1167669299.unknown _1167668895.unknown _1167663540.unknown _1167667111.unknown _1167667613.unknown _1167668324.unknown _1167667186.unknown _1167666651.unknown _1167666781.unknown _1167663626.unknown _1167662796.unknown _1167662864.unknown _1167663364.unknown _1167663520.unknown _1167662837.unknown _1167662277.unknown _1167662766.unknown _1152885442.unknown _1152885449.unknown _1066953163.unknown _1141305881.unknown