宏观经济学分析方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析

================= ================= 附录： 宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化 （08、09、10、11硕已讲，精细订正版） 一、动态最优化 在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数 ，最优点 的一阶条件是 . 在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线 ．这个最大化的积分定义为独立变量 、函数 及它的导数 的函数 下的面积。 简言之，假设时间区域从 到 ，且用 表示 ，我们寻找最大化或最小化 （20.1） 这里假定 对 、 、 是连续的，且具有对 和 的连续偏导数． 将形如(20．1)，对每一个函数 对应着一个数值的积分称为“泛函”． 一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”． 极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类 ． （讲！） 例1 一家公司当希望获得从时间 到 的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格 ，而且也依赖于价格关于时间的变化率如 。假设成本是固定的，并且每个 和 是时间的函数， 代表 ，公司的目标可以作如下数学表示 另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平 和生产的变化率 ．假设这个公司希望最小化成本，且 和 是时间 的函数，公司的目标可以写成 满足 这些初始和终值约束称为端点条件． 例2 Ramsey经济：消费最优化问题 从家庭终生效用函数的集约形式 出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey问题”—找出一条消费路径 ，使家庭终生效用函数 最大化： 二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式） 定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函 连接点 和 的曲线 是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是 (20．2a) 称之为欧拉方程． 尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程． 用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数．(20．2a)的欧拉方程表示为 (20．2b) 然后，用链式法则求 关于 的导数，并且省略自变“量”，得 (20．2c) 这里， 下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 。 图20-2 证明：（重点！09、10、11硕，已讲） 设 是图20-2中连接点 和 的曲线，并且它使下面泛函取得最大值 (20．3) 即 为极值曲线，欧拉方程(20．2a)是 为极值曲线的一个必要条件． 取 是 的相邻曲线，这里 是任意常数， 是一个任意函数．为了使曲线 也通过点 和 ，则 也满足端点条件： (20．4) 一旦取定 和 之后，因 和 固定，则积分值 仅为 的函数，不妨改写成 (20．5) 由于 使(20．3)中的泛函 实现最优化，所以(20．5)中的函数 仅当 时（因为 时的 才能还原为 ）实现最优化，即有 (20．6) 对(20．5)即 用链式法则求 ．由于 是 和 的函数，依次又是 的函数，代入(20．7)得 由于 且 ，用条件(20．6)即 ，有 (20．8) 方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分， （注： 分部积分 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 即 令 所以， ） 由(20．4)知， ，从而 ，于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有 （20．9) 由于 是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条件为方括号中式子为零，即 或 这就是欧拉方程．定理证毕。 三、求候选极值曲线 在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成： 1、设被积函数为 ，即 ． 2、求 对 和 的偏导数，记 ． 3、代入欧拉方程(20．2a)或(20．2b)． 4、求 关于 的导数．由于 是 ， 的函数，且 又是 的函数，因此，需要用链式法则． 5、如果没有导数项( )，立即解出 ；如果有 项，直到作出所有导数的积分，然后求出 。 在例3，例4中，给出了这个方法的例子． 例3 设 ，试用(20. 4)中所列程序及(20．2a)的记号，最优化这个泛函如下： 1、设 2、则 3、代入欧拉方程(20．2a)，有 4、但 ，代入上式， 5、由于没有 和 项，所以可直接求出 ，将这个解表成 ， 这个解满足动态最优化的必要条件，只能说明它是一个候选极值曲线．所以有必要使用充分条件检验。见下一节． 例4 泛函 满足 求上述泛函的候选极值曲线，现在用(20．2b)的记号． 1、设 2、则 3、代入欧拉方程(20．2b)， 4、记 ，且 ， 5、由于有 ，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常数． 再积分， 解出 ， 代入边值条件， 代入式中，得解： 四、变分法的充分条件 假设对于极值曲线，必要条件是满足的． 1、如果泛函 在 是联合凹的，则对于最大值情况，必要条件是充分的。 2、如果泛函 在 是联合凸的，则对于最小值情况，必要条件是充分的． 联合凹性和联合凸性，由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易确定．给定判别式： 1、 (a)如果， ，且 ， 是负定的， 是严格凹的，得到一个全局最大的极值曲线． (b)如果， ，且 ，检验变量所有可能的次序， 是半负定的， 是简单凹的，则得到局部最大的极值曲线． 2、 (a)如果 ，且 ， 是正定的， 是严格凸的，从而得到一个全局最小的极值曲线． (b)如果 ，且 ，检验变量所有可能的次序， 是半正定的， 是简单凸的，则得到局部最小的极值曲线． 例5 下面是例3的充分条件的例子，这里泛函是 ， ， 不符合对于全局最优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的． 对每个变量的两种可能的顺序， 是半正定的，泛函达到局部最小的，是充分条件． 用完全的相似的方式，可检验出例4的充分条件． 五、泛函约束的动态优化（已讲） 求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分 (20．10) 满足积分约束 (20．11) 这里， 是一个常数，利用拉格朗日乘子方法，将约束(20．11)乘以 ，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数： (20．12) 对于动态最优化，下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件，而非充分条件 (20．13) 例6 泛函约束优化通常用于确定一条曲线，使之满足给定的周长且所围的面积最大．这样的问题称为等周问题，且通常将泛函记为 ，而不是 ．调整这个记号，求包含最大区域 的给定长度 的曲线 ，这里 曲线的长度是 像20．6节解释的，建立拉格朗日函数 (20．14) 设 等于(20．14)的被积函数，则欧拉方程是 从(20．14)， 代入欧拉方程， 两边直接积分，然后整理， 方程的两边平方，解出 ， 两边积分得 两边平方，然后整理，可以表示成一个圆 这里， ， 和 由 ， 和 决定。 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� PAGE 5 _1260223685.unknown _1260224205.unknown _1260263338.unknown _1297876928.unknown _1322558669.unknown _1322559054.unknown _1322617102.unknown _1352800057.unknown _1352800394.unknown _1381838161.unknown _1352800180.unknown _1352799706.unknown _1322559288.unknown _1322559509.unknown _1322559658.unknown _1322559671.unknown _1322559580.unknown _1322559327.unknown _1322559277.unknown _1322558839.unknown _1322558996.unknown _1322559051.unknown _1322558940.unknown _1322558697.unknown _1322558797.unknown _1322558685.unknown _1322557731.unknown _1322557795.unknown _1322558061.unknown _1322557771.unknown _1322556548.unknown _1322556738.unknown _1322557134.unknown _1322556653.unknown _1321977047.unknown _1260263474.unknown _1260263809.unknown _1260263929.unknown _1260263935.unknown _1260263942.unknown _1293479116.unknown _1260263945.unknown _1260263939.unknown _1260263932.unknown 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