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伽罗瓦群论的诞生.doc

伽罗瓦群论的诞生

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2013-05-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《伽罗瓦群论的诞生doc》,可适用于高等教育领域

伽罗瓦群论的诞生方程论是古典代数的中心课题。直到世纪中叶代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科代数方程的求解问题依然是代数的基本问题特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解(代数可解)就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。本文正是从方程论的发展入手阐述伽罗瓦群论的产生过程及其伽罗瓦理论的实质。一伽罗瓦群论产生的历史背景从方程的根式解法发展过程来看早在古巴比伦数学和印度数学的记载中他们就能够用根式求解一元二次方程axbxc=给出的解相当于这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期(即世纪初)才由意大利人解决。他们对一般的三次方程xaxbxc=由卡丹公式解出根x=其中p=baq=a显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程xaxbxcxd=的根是由系数的函数开四次方所得。用根式求解四次或四次以下方程的问题在世纪已获得圆满解决但是在以后的几个世纪里探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。年前后法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在并利用拉格朗日预解式方法即利用的任意n次单位根(n=)引进了预解式xxx…nxn详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。年鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的从而转证五次以上方程是不可用根式求解的但他的证明不完善。同年德国数学家高斯开辟了一个新方法在证明代数基本理论时他不去计算一个根而是证明它的存在。随后他又着手探讨高次方程的具体解法。在年他解决了分圆方程xp=(p为质数)可用根式求解这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。随后挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。年到年阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷严格证明:如果一个方程可以根式求解则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理:一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根(假设为x)的有理函数并且任意两个根Q(x)与Q(x)满足QQ(x)=QQ(x)QQ为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果只是阿贝尔没能意识到也没有明确地构造方程根的置换集合(因为若方程所有的根都用根x来表示成有理函数Qj(x)j=,,,…,n当用另一个根xI代替x时其中〈I≤n那么Qj(xI)是以不同顺序排列的原方程的根j=,,…,n。实际上应说根xI=Q(xI),Q(xI),…,Qn(xI)是根x,x,…,xn的一个置换)而仅仅考虑可交换性QQ(x)=QQ(x)来证明方程只要满足这种性质便可简化为低次的辅助方程辅助方程可依次用根式求解。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下开始接手阿贝尔未竞的事业。二伽罗瓦创建群理论的工作伽罗瓦仔细研究了前人的理论特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作开始研究多项式方程的可解性理论他并不急于寻求解高次方程的方法而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有也不去追究该方程的根究竟是怎样的只需证明有根式解存在即可。伽罗瓦群论的创建伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时与拉格朗日相同也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在年的论文中伽罗瓦首次提出了“群”这一术语把具有封闭性的置换的集合称为群首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念从而也产生了他自己的伽罗瓦群论因此后人都称他为群论的创始人。对有理系数的n次方程xaxnaxn…anxan=()假设它的n个根x,x,…,xn的每一个变换叫做一个置换n个根共有n!个可能的置换它们的集合关于置换的乘法构成一个群是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群(它表现了方程的对称性质)称为伽罗瓦群它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。伽罗瓦群论的实质我们可以从伽罗瓦的工作过程中逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下构造伽罗瓦群的。仍然是对方程()设它的根x,x,…,xn中无重根他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x,x,…,xn的一次对称多项式△=AxAx…Anxn其中AI(I=,,,…,n)不必是单位根但它必是一些整数且使得n!个形如△的一次式△,△,…,△n!各不相同接着又构造了一个方程=()该方程的系数必定为有理数(可由对称多项式定理证明)并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设F(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子则方程()的伽罗瓦群是指n!个△I中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群而是证明:恒有这样的n次方程存在其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群S(n)S(n)是由n!个元素集合构成的S(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把S(n)中的元素个数称为阶S(n)的阶是n!。伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群G后开始寻找它的最大子群H找到H后用一套仅含有理运算的手续(即寻找预解式)来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域R并且在H的置换下不改变值但在G的所有别的置换下改变值。再用上述方法依次寻找H的最大子群HH的最大子群H…于是得到H,H,…,Hm直到Hm里的元素恰好是恒等变换(即Hm为单位群I)。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时系数域R也随之一步步扩大为R,R,…,Rm每个RI对应于群HI。当Hm=I时Rm就是该方程的根域其余的R,R,…,Rm是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如四次方程xpxq=()p与q独立系数域R添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域先计算出它的伽罗瓦群GG是S()的一个阶子群G={EEE…E}其中E=E=E=E=E=E=E=E=。要把R扩充到R需在R中构造一个预解式则预解式的根添加到R中得到一个新域R于是可证明原方程()关于域R的群是HH={EEEE}并发现预解式的次数等于子群H在母群G中的指数÷=(即指母群的阶除以子群的阶)。第二步构造第二个预解式解出根于是在域R中添加得到域R同样找出方程()在R中的群HH={EE}此时第二个预解式的次数也等于群H在H中的指数÷=。第三步构造第三个预解式得它的根把添加到R中得扩域R此时方程()在R中的群为HH={E}即H=I则R是方程()的根域且该预解式的次数仍等于群H在H中的指数÷=。在这个特殊的四次方程中系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式那么一般的高次方程也能用根式求解。现仍以四次方程()为例伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程既然可解原理对高次方程也适用那么对于能用根式求解的一般高次方程它的预解式方程组必定存在并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=A。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程则能用根式求解原方程。于是伽罗瓦引出了根式求解原理并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。他是这样给正规子群下定义的:设H是G的一个子群如果对G中的每个g都有gH=Hg则称H为G的一个正规子群其中gH表示先实行置换g然后再应用H的任一元素即用G的任意元素g乘H的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由G约化到H)的预解式是一个二项方程xp=A(p为素数)时则H是G的一个正规子群。反之若H是G的正规子群且指数为素数p则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群:如果一个有限群有正规子群则必有一个子群其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群G生成的一个极大正规子群序列标记为G、H、I、J…,则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子GHHIIG…。合成因子GH=G的阶数H的阶数。对上面的四次方程()H是G的极大正规子群H是H的极大正规子群H又是H的极大正规子群即对方程()的群G生成了一个极大正规子群的序列G、H、H、H。随着理论的不断深入伽罗瓦发现对于一个给定的方程寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群:如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。根据伽罗瓦理论如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时方程可用根式求解。若不全为质数则不可用根式求解。由于引入了可解群则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程()它的GH==HH==为质数所以方程()是可用根式解的。再看一般的n次方程当n=时有两个二次预解式t=A和t=B合成序列指数为与它们是质数因此一般三次方程可根式解。同理对n=有四个二次预解式合成序列指数为于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)s(n)的极大正规子群是A(n)(实际A(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积则叫偶置换。)A(n)的元素个数为s(n)中的一半且A(n)的极大正规子群是单位群I因此s(n)A(n)=n!(n!)=A(n)I=(n!)=n!是质数但当n≥时n!不是质数所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。顺带提一下阿贝尔是从交换群入手考虑问题的他的出发点与伽罗瓦不同但他们的结果都是相同的都为了证其为可解群并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。四伽罗瓦群论的历史贡献伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论但他并不局限于此而是把群论进行了推广作用于其他研究领域。可惜的是伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥对十九世纪初的人们来说是很难理解的连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代他的理论才终于为人们所理解和接受。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是群论开辟了全新的研究领域以结构研究代替计算把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式并把数学运算归类使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。参考文献:M·克莱因.古今数学思想.北京大学数学系数学史翻译组译.上海:上海科学技术出版社.鲁又文编著.数学古今谈.天津:天津科学技术出版社.中外数学简史编写组.外国数学简史.山东:山东教育出版社.吴文俊主编.世界著名科学家传记.北京:科学出版社.TonyRothman:"伽罗瓦传"《科学》重庆科学技术文献出版社重庆分社年第期第~页.PAGEunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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