- 1 -
高等数学公式
导数公式:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
22
2
2 1
2
21
1cos
1
2sin
u
dudxxtgu
u
ux
u
ux +==+
−=+= , , ,
ax
x
aaa
ctgxxx
tgxxx
xctgx
xtgx
a
xx
ln
1)(log
ln)(
csc)(csc
sec)(sec
csc)(
sec)(
2
2
=′
=′
⋅−=′
⋅=′
−=′
=′
2
2
2
2
1
1)(
1
1)(
1
1)(arccos
1
1)(arcsin
x
arcctgx
x
arctgx
x
x
x
x
+−=′
+=′
−−=
′
−=
′
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
+±+=±
+=
+=
+=
+−=⋅
+=⋅
+−==
+==
Caxx
ax
dx
Cshxchxdx
Cchxshxdx
C
a
adxa
Cxctgxdxx
Cxdxtgxx
Cctgxxdx
x
dx
Ctgxxdx
x
dx
x
x
)ln(
ln
csccsc
secsec
csc
sin
sec
cos
22
22
2
2
2
2
C
a
x
xa
dx
C
xa
xa
axa
dx
C
ax
ax
aax
dx
C
a
xarctg
axa
dx
Cctgxxxdx
Ctgxxxdx
Cxctgxdx
Cxtgxdx
+=−
+−
+=−
++
−=−
+=+
+−=
++=
+=
+−=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
arcsin
ln
2
1
ln
2
1
1
csclncsc
seclnsec
sinln
cosln
22
22
22
22
∫
∫
∫
∫∫
++−=−
+−+−−=−
+++++=+
−=== −
C
a
xaxaxdxxa
Caxxaaxxdxax
Caxxaaxxdxax
I
n
nxdxxdxI n
nn
n
arcsin
22
ln
22
)ln(
22
1cossin
2
2222
22
2
2222
22
2
2222
2
2
0
2
0
ππ
- 2 -
一些初等函数: 两个重要极限:
三角函数公式:
·诱导公式:
函数
角 A sin cos tg ctg
-α -sinα cosα -tgα -ctgα
90°-α cosα sinα ctgα tgα
90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα
180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα
180°+α -sinα -cosα tgα ctgα
270°-α -cosα -sinα ctgα tgα
270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα
360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα
360°+α sinα cosα tgα ctgα
·和差角公式: ·和差化积公式:
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
−+=−
−+=+
−+=−
−+=+
αβ
βαβα
βα
βαβα
βαβαβα
βαβαβα
ctgctg
ctgctgctg
tgtg
tgtgtg
±
⋅=±
⋅
±=±
=±
±=±
1)(
1
)(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
m
m
m
x
xarthx
xxarchx
xxarshx
ee
ee
chx
shxthx
eechx
eeshx
xx
xx
xx
xx
−
+=
−+±=
++=
+
−==
+=
−=
−
−
−
−
1
1ln
2
1
)1ln(
1ln(
:
2
:
2
:
2
2 )
双曲正切
双曲余弦
双曲正弦
...590457182818284.2)11(lim
1sinlim
0
==+
=
∞→
→
e
x
x
x
x
x
x
- 3 -
·倍角公式:
·半角公式:
α
α
α
α
α
αα
α
α
α
α
α
αα
αααα
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2
2
cos1
2
cos
2
cos1
2
sin
−=
+=−
+±=+=
−=+
−±=
+±=−±=
ctgtg
·正弦定理: R
C
c
B
b
A
a 2
sinsinsin
=== ·余弦定理: Cabbac cos2222 −+=
·反三角函数性质: arcctgxarctgxxx −=−=
2
arccos
2
arcsin ππ
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
)()()()2()1()(
0
)()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)(
nkknnnn
n
k
kknk
n
n
uvvu
k
knnnvunnvnuvu
vuCuv
+++−−++′′−+′+=
=
−−−
=
−∑
LLL
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当
柯西中值定理:
拉格朗日中值定理:
xx
F
f
aFbF
afbf
abfafbf
=
′
′=−
−
−′=−
)(F
)(
)(
)()(
)()(
))(()()(
ξ
ξ
ξ
曲率:
.1
;0
.
)1(
limM
sMM:.
,1
320
2
a
Ka
K
y
y
ds
d
s
K
MM
s
K
tgydxyds
s
=
=
′+
′′==Δ
Δ=
′Δ′ΔΔ
Δ=
=′′+=
→Δ
的圆:半径为
直线:
点的曲率:
弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:
其中弧微分公式:
αα
αα
α
α
ααα
ααα
ααα
2
3
3
3
31
33
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tg
tgtgtg −
−=
−=
−=
α
αα
α
αα
ααααα
ααα
2
2
2222
1
22
2
12
sincossin211cos22cos
cossin22sin
tg
tgtg
ctg
ctgctg
−=
−=
−=−=−=
=
- 4 -
定积分的近似计算:
∫
∫
∫
−−
−
−
+++++++++−≈
++++−≈
+++−≈
b
a
nnn
b
a
nn
b
a
n
yyyyyyyy
n
abxf
yyyy
n
abxf
yyy
n
abxf
)](4)(2)[(
3
)(
])(
2
1[)(
)()(
1312420
110
110
LL
L
L
抛物线法:
梯形法:
矩形法:
定积分应用相关公式:
∫
∫
−
−=
=
⋅=
⋅=
b
a
b
a
dttf
ab
dxxf
ab
y
k
r
mmkF
ApF
sFW
)(1
)(1
,
2
2
21
均方根:
函数的平均值:
为引力系数引力:
水压力:
功:
空间解析几何和向量代数:
。代表平行六面体的体积
为锐角时,向量的混合积:
例:线速度:
两向量之间的夹角:
是一个数量
轴的夹角。与是向量在轴上的投影:
点的距离:空间
αα
θ
θ
θ
ϕϕ
,cos)(][
..sin,
cos
,,cos
PrPr)(Pr
,cosPr
)()()(2
222222
2121
2
12
2
12
2
1221
cba
ccc
bbb
aaa
cbacba
rwvbac
bbb
aaa
kji
bac
bbbaaa
bababa
bababababa
ajajaaj
uABABABj
zzyyxxMMd
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxx
u
u
vvvvvvvvv
vvvvvvvvv
vvvv
vvvv
⋅×==⋅×=
×=⋅==×=
++⋅++
++=
++=⋅=⋅
+=+
⋅=
−+−+−==
- 5 -
(马鞍面)双叶双曲面:
单叶双曲面:
、双曲面:
同号)(、抛物面:
、椭球面:
二次曲面:
参数方程:其中空间直线的方程:
面的距离:平面外任意一点到该平
、截距世方程:
、一般方程:
,其中、点法式:
平面的方程:
1
1
3
,,
22
2
11
};,,{,
13
02
),,(},,,{0)()()(1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
0
0
0
000
222
000
0000000
=+−
=−+
=+
=++
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
==−=−=−
++
+++=
=++
=+++
==−+−+−
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
qpz
q
y
p
x
c
z
b
y
a
x
ptzz
ntyy
mtxx
pnmst
p
zz
n
yy
m
xx
CBA
DCzByAx
d
c
z
b
y
a
x
DCzByAx
zyxMCBAnzzCyyBxxA
v
v
多元函数微分法及应用
z
y
z
x
y
x
y
x
y
x
yx
F
F
y
z
F
F
x
zzyxF
dx
dy
F
F
yF
F
xdx
yd
F
F
dx
dyyxF
dy
y
vdx
x
vdvdy
y
udx
x
udu
yxvvyxuu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
zyxvyxufz
t
v
v
z
t
u
u
z
dt
dztvtufz
yyxfxyxfdzz
dz
z
udy
y
udx
x
ududy
y
zdx
x
zdz
−=∂
∂−=∂
∂=
⋅−∂
∂−∂
∂=−==
∂
∂+∂
∂=∂
∂+∂
∂=
==
∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂=∂
∂=
∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂==
Δ+Δ=≈Δ
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∂
∂+∂
∂=
, , 隐函数
+, , 隐函数
隐函数的求导公式:
时,,当
:多元复合函数的求导法
全微分的近似计算:
全微分:
0),,(
)()(0),(
),(),(
)],(),,([
)](),([
),(),(
2
2
- 6 -
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(
0),,,(
0),,,(
yu
GF
Jy
v
vy
GF
Jy
u
xu
GF
Jx
v
vx
GF
Jx
u
GG
FF
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GFJ
vuyxG
vuyxF
vu
vu
∂
∂⋅−=∂
∂
∂
∂⋅−=∂
∂
∂
∂⋅−=∂
∂
∂
∂⋅−=∂
∂
=
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
=∂
∂=⎩⎨
⎧
=
=
隐函数方程组:
微分法在几何上的应用:
),,(),,(),,(
3
0))(,,())(,,())(,,(2
)},,(),,,(),,,({1
),,(0),,(
},,{,
0),,(
0),,(
0))(())(())((
)()()(
),,(
)(
)(
)(
000
0
000
0
000
0
000000000000
000000000
000
000000
0
0
0
0
0
0
000
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyxFzyxFzyxFn
zyxMzyxF
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T
zyxG
zyxF
zztyytxxtM
t
zz
t
yy
t
xxzyxM
tz
ty
tx
zyx
zyx
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
−=−=−
=−+−+−
=
=
⎪⎩
⎪⎨⎧ ==
=
=−′+−′+−′
′
−=′
−=′
−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
、过此点的法线方程:
:、过此点的切平面方程
、过此点的法向量:
,则:上一点曲面
则切向量若空间曲线方程为:
处的法平面方程:在点
处的切线方程:在点空间曲线
v
v
ωψϕ
ωψϕω
ψ
ϕ
方向导数与梯度:
上的投影。在是
单位向量。
方向上的,为,其中:它与方向导数的关系是
的梯度:在一点函数
的转角。轴到方向为其中
的方向导数为:沿任一方向在一点函数
lyxf
l
f
ljieeyxf
l
f
j
y
fi
x
fyxfyxpyxfz
lx
y
f
x
f
l
flyxpyxfz
),(grad
sincos),(grad
),(grad),(),(
sincos),(),(
∂
∂∴
⋅+⋅=⋅=∂
∂
∂
∂+∂
∂==
∂
∂+∂
∂=∂
∂=
vvvv
vv
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
多元函数的极值及其求法:
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=−
<−
⎩⎨
⎧
>
<>−
=====
不确定时
值时, 无极
为极小值
为极大值时,
则:
,令:设
,0
0
),(,0
),(,0
0
),(,),(,),(0),(),(
2
2
00
002
0000000000
BAC
BAC
yxA
yxA
BAC
CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx
- 7 -
重积分及其应用:
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫∫
++
−=
++
=
++
=
=>
==
====
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+==
=
′
D
z
D
y
D
x
zyx
D
y
D
x
D
Dy
D
x
D
DD
ayx
xdyxfaF
ayx
ydyxfF
ayx
xdyxfF
FFFFaaMzxoy
dyxxIydyxyIx
dyx
dyxy
M
M
y
dyx
dyxx
M
Mx
dxdy
y
z
x
zAyxfz
rdrdrrfdxdyyxf
2
3
2222
3
2222
3
222
22
D
22
)(
),(
)(
),(
)(
),(
},,{)0(),,0,0(
),(,),(
),(
),(
,
),(
),(
1),(
)sin,cos(),(
σρσρσρ
σρσρ
σρ
σρ
σρ
σρ
θθθ
, ,
,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于
轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量:
平面薄片的重心:
的面积曲面
柱面坐标和球面坐标:
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩΩ
ΩΩΩΩ
Ω Ω
Ω Ω
+=+=+=
=====
==
=⋅⋅⋅=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
dvyxIdvzxIdvzyI
dvxMdvz
M
zdvy
M
ydvx
M
x
drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf
ddrdrdrdrrddv
rz
ry
rx
zrrfzrF
dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
rx
zyx
r
ρρρ
ρρρρ
ϕθϕϕθθϕϕθϕ
θϕϕθϕϕ
ϕ
θϕ
θϕ
θθθ
θθθ
θ
π π θϕ
)()()(
1,1,1
sin),,(sin),,(),,(
sinsin
cos
sinsin
cossin
),sin,cos(),,(
,),,(),,(,sin
cos
222222
2
0 0
),(
0
22
2
, , 转动惯量:
, 其中 重心:
, 球面坐标:
其中:
柱面坐标:
曲线积分:
⎩⎨
⎧
=
=<′+′=
≤≤⎩⎨
⎧
=
=
∫ ∫ )()()()()](),([),(
),(,
)(
)(
),(
22
ty
tx
dtttttfdsyxf
t
ty
tx
LLyxf
L ϕ
βαψϕψϕ
βαψ
ϕ
β
α
特殊情况:
则: 的参数方程为:上连续,在设
长的曲线积分):第一类曲线积分(对弧
- 8 -
。,通常设
的全微分,其中:才是二元函数时,=在
:二元函数的全微分求积
注意方向相反!减去对此奇点的积分,
,应。注意奇点,如=,且内具有一阶连续偏导数在,、
是一个单连通区域;、
无关的条件:平面上曲线积分与路径
的面积:时,得到,即:当
格林公式:格林公式:
的方向角。上积分起止点处切向量
分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关
,则:的参数方程为设
标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐
0),(),(),(
),(
·
)0,0(),(),(2
1
·
2
12,
)()(
)coscos(
)}()](),([)()](),([{),(),(
)(
)(
00
),(
),( 00
==+=
+∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−===∂
∂−∂
∂=−=
+=∂
∂−∂
∂+=∂
∂−∂
∂
+=+
′+′=+
⎩⎨
⎧
=
=
∫
∫∫ ∫
∫∫ ∫∫∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
yxdyyxQdxyxPyxu
yxuQdyPdx
y
P
x
Q
y
P
x
QGyxQyxP
G
ydxxdydxdyAD
y
P
x
QxQyP
QdyPdxdxdy
y
P
x
QQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
L
dsQPQdyPdx
dttttQtttPdyyxQdxyxP
ty
tx
L
yx
yx
D L
D LD L
L L
L
βαβα
ψψϕϕψϕ
ψ
ϕ
β
α
曲面积分:
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++
±=
±=
±=
++
++=
dsRQPRdxdyQdzdxPdydz
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
dydzzyzyxPdydzzyxP
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf
zx
yz
xy
xy
D
D
D
D
yx
)coscoscos(
]),,(,[),,(
],),,([),,(
)],(,,[),,(
),,(),,(),,(
),(),(1)],(,,[),,( 22
γβα系:两类曲面积分之间的关
号。,取曲面的右侧时取正
号;,取曲面的前侧时取正
号;,取曲面的上侧时取正
,其中:对坐标的曲面积分:
对面积的曲面积分:
高斯公式:
- 9 -
∫∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫∫∫
∫∫∫∫∫ ∫∫
Ω ∑
∑ ∑∑
∑Ω ∑
=
++==⋅
<∂
∂+∂
∂+∂
∂=
++=++=∂
∂+∂
∂+∂
∂
dsAdvA
dsRQPdsAdsnA
z
R
y
Q
x
P
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
n
n
v
vv
vv
div
)coscoscos(
...,0div,div
)coscoscos()(
成:因此,高斯公式又可写
,通量:
则为消失的流体质量,若即:单位体积内所产生散度:
—通量与散度:—高斯公式的物理意义
γβα
νν
γβα
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
∫ ∫
∫∫∫∫
∫∫ ∫
Γ Γ
∑∑
∑ Γ
⋅=++Γ
∂
∂
∂
∂
∂
∂=
∂
∂=∂
∂
∂
∂=∂
∂
∂
∂=∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂=∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=∂
∂−∂
∂+∂
∂−∂
∂+∂
∂−∂
∂
dstARdzQdyPdxA
RQP
zyx
A
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
RQP
zyx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdxdxdy
y
P
x
Qdzdx
x
R
z
Pdydz
z
Q
y
R
vvv
v
的环流量:沿有向闭曲线向量场
旋度:
, , 关的条件:空间曲线积分与路径无
上式左端又可写成:
kji
rot
coscoscos
)()()(
γβα
常数项级数:
是发散的调和级数:
等差数列:
等比数列:
n
nnn
q
qqqq
n
n
1
3
1
2
11
2
)1(321
1
11 12
++++
+=++++
−
−=++++ −
L
L
L
级数审敛法:
- 10 -
散。存在,则收敛;否则发
、定义法:
时,不确定
时,级数发散
时,级数收敛
,则设:
、比值审敛法:
时,不确定
时,级数发散
时,级数收敛
,则设:
别法):—根植审敛法(柯西判—、正项级数的审敛法
nnnn
n
n
n
n
nn
suuus
U
U
u
∞→
+
∞→
∞→
+++=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
>
<
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
>
<
=
lim;
3
1
1
1
lim
2
1
1
1
lim
1
21
1
L
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和如果交错级数满足
—莱布尼兹定理:—的审敛法或交错级数
11
1
3214321
,0lim
)0,(
+
∞→
+ ≤≤⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≥
>+−+−+−+−
nnn
nn
nn
n
urrusu
uu
uuuuuuuu LL
绝对收敛与条件收敛:
∑
∑
∑ ∑
>
≤
−
+++++
++++
时收敛
1时发散p 级数:
收敛; 级数:
收敛;发散,而调和级数:
为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果
收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果
为任意实数;,其中
1
1
1
)1(1
)1()1()2(
)1()2(
)2(
)1(
2
321
21
pn
p
n
nn
uuuu
uuuu
p
n
n
nn
LL
LL
幂级数:
- 11 -
0
0
10
)3(lim
)3(
1
1
11
1
1
1
2
210
32
=+∞=
+∞==
=≠
=
=
>
<
+++++
≥
−<++++++
+
+
∞→
R
R
R
aa
a
a
R
Rx
Rx
Rx
R
xaxaxaa
x
x
x
xxxx
nn
n
n
n
n
n
n
时,
时,
时,
的系数,则是,,其中求收敛半径的方法:设
称为收敛半径。,其中
时不定
时发散
时收敛
,使在数轴上都收敛,则必存
收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点 对于级数
时,发散
时,收敛于
ρ
ρ
ρρ
ρ
LL
LL
函数展开成幂级数:
LL
LL
+++′′+′+==
=−+=
+−++−′′+−=
∞→
+
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
x
n
fxfxffxfx
Rxfxx
n
fR
xx
n
xfxxxfxxxfxf
!
)0(
!2
)0()0()0()(0
0lim)(,)(
)!1(
)(
)(
!
)()(
!2
)())(()(
)(
2
0
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
00
时即为麦克劳林公式:
充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:
函数展开成泰勒级数:
ξ
一些函数展开成幂级数:
)(
)!12(
)1(
!5!3
sin
)11(
!
)1()1(
!2
)1(1)1(
12
1
53
2
+∞<<−∞+−−+−+−=
<<−++−−++−++=+
−
− x
n
xxxxx
xx
n
nmmmxmmmxx
n
n
nm
LL
LLL
欧拉公式:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+=
+= −
−
2
sin
2
cos
sincos
ixix
ixix
ix
eex
eex
xixe 或
三角级数:
。上的积分=
在任意两个不同项的乘积正交性:
。,,,其中,
0
],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1
cossin
)sincos(
2
)sin()(
00
1
0
1
0
ππ
ωϕϕ
ϕω
−
====
++=++= ∑∑ ∞
=
∞
=
LL nxnxxxxx
xtAbAaaAa
nxbnxaatnAAtf
nnnnnn
n
nn
n
nn
傅立叶级数:
- 12 -
是偶函数 ,余弦级数:
是奇函数 ,正弦级数:
(相减)
(相加)
其中
,周期
∑∫
∑∫
∫
∫
∑
+====
====
=+−+−
=++++
=+++
=+++
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
=++=
−
−
∞
=
nxaaxfnnxdxxfab
nxbxfnxdxxfba
nnxdxxfb
nnxdxxfa
nxbnxaaxf
nnn
nnn
n
n
n
nn
cos
2
)(2,1,0cos)(20
sin)(3,2,1nsin)(20
124
1
3
1
2
11
64
1
3
1
2
11
246
1
4
1
2
1
85
1
3
11
)3,2,1(sin)(1
)2,1,0(cos)(1
2)sincos(
2
)(
0
0
0
2
222
2
222
2
222
2
22
1
0
L
L
L
L
L
L
L
L
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
周期为 l2 的周期函数的傅立叶级数:
- 13 -
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
=++=
∫
∫
∑
−
−
∞
=
l
l
n
l
l
n
n
nn
ndx
l
xnxf
l
b
ndx
l
xnxf
l
a
l
l
xnb
l
xnaaxf
)3,2,1(sin)(1
)2,1,0(cos)(1
2)sincos(
2
)(
1
0
L
L
其中
,周期
π
π
ππ
微分方程的相关概念:
即得齐次方程通解。
,代替分离变量,积分后将,,,则设
的函数,解法:,即写成程可以写成齐次方程:一阶微分方
称为隐式通解。 得:
的形式,解法:为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程
或 一阶微分方程:
u
x
y
uu
du
x
dxu
dx
duu
dx
duxu
dx
dy
x
yu
x
yyxyxf
dx
dy
CxFyGdxxfdyyg
dxxfdyyg
dyyxQdxyxPyxfy
−=∴=++==
==
+==
=
=+=′
∫∫
)(
)(
),(),(
)()()()(
)()(
0),(),(),(
ϕϕ
ϕ
一阶线性微分方程:
)1,0()()(2
))((0)(
,0)(
)()(1
)()(
)(
≠=+
∫+∫=≠
∫==
=+
∫ −
−
nyxQyxP
dx
dy
eCdxexQyxQ
CeyxQ
xQyxP
dx
dy
n
dxxPdxxP
dxxP
,、贝努力方程:
时,为非齐次方程,当
为齐次方程,时当
、一阶线性微分方程:
全微分方程:
通解。应该是该全微分方程的
,,其中:
分方程,即:中左端是某函数的全微如果
Cyxu
yxQ
y
uyxP
x
udyyxQdxyxPyxdu
dyyxQdxyxP
=∴
=∂
∂=∂
∂=+=
=+
),(
),(),(0),(),(),(
0),(),(
二阶微分方程:
时为非齐次
时为齐次,
0)(
0)(
)()()(2
2
≠
≡=++
xf
xf
xfyxQ
dx
dyxP
dx
yd
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
21
22
,)(2
,,(*)0)(1
,0(*)
rr
yyyrrqprr
qpqyypy
式的两个根、求出
的系数;式中的系数及常数项恰好是,,其中、写出特征方程:
求解步骤:
为常数;,其中
Δ
′′′=++Δ
=+′+′′
- 14 -
式的通解:出的不同情况,按下表写、根据 (*),3 21 rr
的形式, 21 rr
(*)式的通解
两个不相等实根 )04( 2 >− qp xrxr ececy 21 21 +=
两个相等实根 )04( 2 =− qp xrexccy 1)( 21 +=
一对共轭复根 )04( 2 <− qp
2
4
2
2
21
pqp
irir
−=−=
−=+=
βα
βαβα
,
,
)sincos( 21 xcxcey
x ββα +=
二阶常系数非齐次线性微分方程
型
为常数;型,
为常数,
]sin)(cos)([)(
)()(
,)(
xxPxxPexf
xPexf
qpxfqyypy
nl
x
m
x
ωω
λ
λ
λ
+=
=
=+′+′′
概率公式整理
1.随机事件及其概率
吸收律:
AABA
AA
A
=∪
=∅∪
Ω=Ω∪
)(
ABAA
A
AA
=∪∩
∅=∅∩
=Ω∩
)(
)(ABABABA −==−
反演律: BABA =∪ BAAB ∪=
IU
n
i
i
n
i
i AA
11 ==
= UI
n
i
i
n
i
i AA
11 ==
=
2.概率的定义及其计算
)(1)( APAP −=
若 BA⊂ )()()( APBPABP −=−⇒
- 15 -
对任意两个事件 A, B, 有 )()()( ABPBPABP −=−
加法公式:对任意两个事件 A, B, 有
)()()()( ABPBPAPBAP −+=∪
)()()( BPAPBAP +≤∪
)()1()()()()( 21
1
1111
n
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
n
i
i AAAPAAAPAAPAPAP LLU −
≤<<≤≤<≤==
−+++−= ∑∑∑
3.条件概率
( )=ABP
)(
)(
AP
ABP
乘法公式
( ) )0)(()()( >= APABPAPABP
( ) ( )
)0)((
)()(
121
12112121
>
=
−
−
n
nnn
AAAP
AAAAPAAPAPAAAP
L
LLL
全概率公式
∑
=
=
n
i
iABPAP
1
)()( )()(
1
i
n
i
i BAPBP ⋅= ∑
=
Bayes 公式
)( ABP k )(
)(
AP
ABP k=
∑
=
= n
i
ii
kk
BAPBP
BAPBP
1
)()(
)()(
4.随机变量及其分布
分布函数计算
)()(
)()()(
aFbF
aXPbXPbXaP
−=
≤−≤=≤<
5.离散型随机变量
- 16 -
(1) 0 – 1 分布
1,0,)1()( 1 =−== − kppkXP kk
(2) 二项分布 ),( pnB
若 P ( A ) = p
nkppCkXP knkkn ,,1,0,)1()( L=−== −
* Possion 定理
0lim >=∞→ λnn np
有
L,2,1,0
!
)1(lim
=
=− −−∞→
k
k
eppC
k
kn
n
k
n
k
nn
λλ
(3) Poisson 分布 )(λP
L,2,1,0,
!
)( === − k
k
ekXP
kλλ
6.连续型随机变量
(1) 均匀分布 ),( baU
⎪⎩
⎪⎨
⎧ <<−=
其他,0
,1
)(
bxa
abxf
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−=
1
,
,0
)(
ab
axxF
(2) 指数分布 )(λE
⎪⎩
⎪⎨
⎧ >=
−
其他,0
0,
)(
xe
xf
xλλ
- 17 -
⎩⎨
⎧
≥−
<= − 0,1
0,0
)(
xe
x
xF xλ
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞<<∞−=
−−
xexf
x
2
2
2
)(
2
1)( σ
μ
σπ
∫ ∞−
−−= x
t
texF d
2
1)( 2
2
2
)(
σ
μ
σπ
* N (0,1) — 标准正态分布
+∞<<∞−= − xex
x
2
2
2
1)( πϕ
+∞<<∞−=Φ ∫ ∞− − xtex x
t
d
2
1)( 2
2
π
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
∫ ∫∞− ∞−= x y dvduvufyxF ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数
∫ ∫∞− +∞∞−= xX dvduvufxF ),()(
∫+∞∞−= dvvxfxf X ),()(
∫ ∫∞− +∞∞−= yY dudvvufyF ),()(
∫+∞∞−= duyufyfY ),()(
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域 G 上的均匀分布,U ( G )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ∈=
其他,0
),(,1),( GyxAyxf
(2) 二维正态分布
- 18 -
+∞<<−∞+∞<<∞−
×
−
= ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+−−−−−−
yx
eyxf
yyxx
,
12
1),(
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
)())((
2
)(
)1(2
1
2
21
σ
μ
σσ
μμρσ
μ
ρ
ρσπσ
9. 二维随机变量的 条件分布
0)()()(),( >= xfxyfxfyxf XXYX
0)()()( >= yfyxfyf YYXY
∫∫ +∞∞−+∞∞− == dyyfyxfdyyxfxf YYXX )()(),()(
∫∫ +∞∞−+∞∞− == dxxfxyfdxyxfyf XXYY )()(),()(
)( yxf YX )(
),(
yf
yxf
Y
=
)(
)()(
yf
xfxyf
Y
XXY=
)( xyf XY )(
),(
xf
yxf
X
=
)(
)()(
xf
yfyxf
X
YYX=
10. 随机变量的数字特征
数学期望
∑+∞
=
=
1
)(
k
kk pxXE
∫+∞∞−= dxxxfXE )()(
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩
)( kXE
X 的 k 阶绝对原点矩
)|(| kXE
- 19 -
X 的 k 阶中心矩
)))((( kXEXE −
X 的 方差
)()))((( 2 XDXEXE =−
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
)( lkYXE
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
( )lk YEYXEXE ))(())(( −−
X ,Y 的 二阶混合原点矩
)(XYE
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
( )))())((( YEYXEXE −−
X ,Y 的相关系数
XYYDXD
YEYXEXE ρ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−
)()(
))())(((
X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X))2)
)()()( 22 XEXEXD −=
协方差
( )))())(((),cov( YEYXEXEYX −−=
)()()( YEXEXYE −=
( ))()()(
2
1 YDXDYXD −−±±=
相关系数
)()(
),cov(
YDXD
YX
XY =ρ
- 20 -
线性代数部分
梳理:条理化,给出一个系统的,有内在有机结构的理论体系。
沟通:突出各部分内容间的联系。
充实提高:围绕考试要求,介绍一些一般教材上没有的结果,教给大家常见问题的实用而简捷
的方法。
大家要有这样的思想准备:发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同,有的方法是你不
知道的。但是我相信,只要你对它们了解了,掌握了,会提高你的解题能力的。
基本运算
① ABBA +=+
② ( ) ( )CBACBA ++=++
③ ( ) cBcABAc +=+ ( ) dAcAAdc +=+
④ ( ) ( )AcddAc =
⑤ 00 =⇔= ccA 或 0=A 。
( ) AA TT =
( ) TTT BABA ±=±
( ) ( )TT AccA = 。
( ) TTT ABAB =
( )( ) ( )
2
1211 2 −==− nnCnn nLτ
nn AaAaAaD 2222222121 +++= L
转置值不变 AAT =
逆值变
A
A 11 =−
AccA n=
γβαγβαγββα ,,,,,, 2121 +=+
( )321 ,, ααα=A ,3 阶矩阵
( )321 ,, βββ=B
- 21 -
BABA +≠+
( )332211 ,, βαβαβα +++=+ BA
332211 ,, βαβαβα +++=+ BA
BA
B
A
B
A =∗=
∗ 0
0
( )( ) 1, =cjiE
有关乘法的基本运算
njinjijiij bababaC +++= L2211
线性性质 ( ) BABABAA 2121 +=+ ,
( ) 2121 ABABBBA +=+
( ) ( ) ( )cBAABcBcA ==
结合律 ( ) ( )BCACAB =
( ) TTT ABAB =
BAAB =
lklk AAA +=
( ) kllk AA =
( ) kkk BAAB = 不一定成立!
AAE = , AEA =
( ) kAkEA = , ( ) kAAkE =
EBAEAB =⇔=
与数的乘法的不同之处
( ) kkk BAAB = 不一定成立!
无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵 A的每个多项式可以因式分解,例如
( )( )EAEAEAA +−=−− 3322
无消去律(矩阵和矩阵相乘)
当 0=AB 时 0=⇒/ A 或 0=B
由 0≠A 和 00 =⇒/= BAB
- 22 -
由 0≠A 时 CBACAB =⇒/= (无左消去律)
特别的 设 A可逆,则 A有消去律。
左消去律: CBACAB =⇒= 。
右消去律: CBCABA =⇒= 。
如果 A列满秩,则 A有左消去律,即
① 00 =⇒= BAB
② CBACAB =⇒=
可逆矩阵的性质
i)当 A可逆时,
TA 也可逆,且 ( ) ( )TT AA 11 −− = 。
kA 也可逆,且 ( ) ( )kk AA 11 −− = 。
数 0≠c , cA也可逆, ( ) 11 1 −− = A
c
cA 。
ii) A, B 是两个 n 阶可逆矩阵 AB⇔ 也可逆,且 ( ) 111 −−− = ABAB 。
推论:设 A, B 是两个 n 阶矩阵,则 EBAEAB =⇔=
命题:初等矩阵都可逆,且
( )( ) ( )jiEjiE ,, 1 =−
( )( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
c
iEciE 11
( )( )( ) ( )( )cjiEcjiE −=− ,, 1
命题:准对角矩阵
kkA
A
A
A
000
000
000
000
22
11
O= 可逆⇔每个 iiA 都可逆,记
1
1
22
1
11
1
000
000
000
000
−
−
−
− =
kkA
A
A
A
O
伴随矩阵的基本性质:
- 23 -
EAAAAA == **
当 A可逆时, E
A
AA =* 得
A
AA *1 =− , (求逆矩阵的伴随矩阵法)
且得: ( ) ( )∗== −− 11* A
A
AA ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ == −−−−
A
AAAA 1111 *
伴随矩阵的其他性质
① 1* −= nAA , 1* −= AAA
② ( ) ( ) ,** TT AA =
③ ( ) ** 1 AccA n−= ,
④ ( ) *,** ABAB =
⑤ ( ) ( )kk AA ** = ,
⑥ ( ) AAA n 2** −= 。 2=n 时, ( ) AA =** ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=
dc
ba
A*
关于矩阵右上肩记号:T, k , 1− ,*
i) 任何两个的次序可交换,
如 ( ) ( )TT AA ** = ,
( ) ( )** 11 −− = AA 等
ii) ( ) ( ) 111 , −−− == ABABABAB TTT ,
( ) *** ABAB =
但 ( ) kkk ABAB = 不一定成立!
线性表示
sααα ,,,0 21 L→
si αααα ,,, 21 L→
βααααααβ =+++⇔→ sss xxx LL 221121 ,,, 有解
( ) βααα =⇔ xs,,, 21 L 有解 ( )( )Tsxxx ,,1 L=
- 24 -
β=Ax 有解,即 β 可用 A 的列向量组表示
( )srrrCAB ,,, 21 L== , ( )nA ααα ,,, 21 L= ,
则 nsrrr ααα ,,,,,, 2121 LL → 。
st αααβββ ,,,,,, 2121 LL → ,
则存在矩阵C ,使得 ( ) ( )Cst αααβββ ,,,,,, 2121 LL =
线性表示关系有传递性 当 pst rrr ,,,,,,,,, 212121 LLL →→ αααβββ ,
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