编码原理010_n

null 纠错编码原理 通信抗干扰国家重点实验室 Tel: 13882228239 清水河校区主楼403室 纠错编码原理 通信抗干扰国家重点实验室 Tel: 13882228239 清水河校区主楼403室第十课 　 BCH、RS码 第十课 　 BCH、RS码 回 顾 回 顾非零域元素的阶|| : 其幂为单位元的最小幂指数,即:p元域本原元: 具有最大阶的有限域元素,即对本原元: 回 顾例如：F2[x]/1+x+x3={0,1,x,x+1,x2, x2+1, x2+x, x2+x+1} |0|=1, |1|=1 回 顾 回 顾共轭根定理: 若w是f(x)在GF(2m)中的一个根,则如下两结论成立: (1) 均是f(x)的根, 并称为w的共轭根 (2)共轭根的全体称为共轭根系f(w) 回 顾 回 顾x是GF(23)中本原元，有多项式f(y)=0的共轭根系 回 顾极小多项式: 给定GF(2m)中的元素w,其极小多项式 mw(x)是满足mw(w)=0的GF(2)上的 最低次数的首一多项式. 回 顾 回 顾GF(2m)中的本原多项式是本原元α的极小多项式 m α (x) ，常记为 BCH码定义(1)BCH码定义(1)循环码可以通过多项式(生成多项式或校验多项式)表述；也可以通过由生成矩阵或校验矩阵表述；还可以由生成式的根表述。 BCH码是纠正多个随机错误的循环码，可以用生成多项式g(x)的根描述。 BCH码定义(2)BCH码定义(2)BCH码定义： 给定任一有限域GF(q)及其扩域GF(qm)，其中q是素数或素数的幂，m为某一正整数。若码元取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式g(x)的 个根的集合为 则由g(x)生成的循环码称为q进制BCH码。并称GF(q) 为码元域， GF(qm)为根域 (复习)循环码构造特性: g(x)是(n,k)循环码的生成多项式,当且仅当g(x)是xn-1的因式BCH码定义(3)BCH码定义(3)BCH码的生成多项式g(x)要满足的两个 条件: (1) g(x)是xn-1的因式 (2) 个根的集合为 如何寻找满足这两个条件的生成多项式?BCH码定义(4)BCH码定义(4)GF(q) 上多项式xn-1分解为： fj(x)是既约首一多项式，若γj是fj(x)在GF(q)的扩域GF(qm)中的根， fj(γj)=0。对任意b(x) =a(x) fj(x)有b (γj) =0. GF（2m）上本原元的极小多项式必定是xn-1的因式分解中的因子（既约式）BCH码定义(5)BCH码定义(5)以g(x)为生成多项式的码就是BCH码例:BCH码定义(6)BCH码定义(6)对于本原二元BCH码，码元定于在GF（2）上，生成式g(x)的根定义于GF（2m）上码长为n=2m-1GF（2m）上本原元的极小多项式必定是xn-1的因式分解中的因子（既约式）BCH码定义(7)BCH码定义(7)二元狭义本原BCH码_例一(1)二元狭义本原BCH码_例一(1)二元狭义本原BCH码是: q=2,λ=1 GF(2m)中某个元素β，　　　　　　构造BCH码。 由码限定理，有： 生成多项式为： 有码长二元狭义本原BCH码_例一(2)二元狭义本原BCH码_例一(2)例： 构造n=15的二元狭义本原BCH码GF(24)中元素的本原元表示，阶及其极小式 二元狭义本原BCH码_例一(3)二元狭义本原BCH码_例一(3)BCH码校验矩阵(1)BCH码校验矩阵(1)BCH码校验矩阵(2)BCH码校验矩阵(2)二元狭义本原BCH码_例一(4)二元狭义本原BCH码_例一(4)二元狭义本原BCH码_例二(1)二元狭义本原BCH码_例二(1)二元狭义本原BCH码_例二(2)二元狭义本原BCH码_例二(2)最小码距此码是　　　　　　　 　　BCH码二元狭义本原BCH码_例二(3)二元狭义本原BCH码_例二(3)二元狭义本原BCH码_例二(4)二元狭义本原BCH码_例二(4)此码是　　　　　　　 　　BCH码二元狭义本原BCH码_例二(5)二元狭义本原BCH码_例二(5)二元狭义本原BCH码_例二(6)二元狭义本原BCH码_例二(6)二元狭义本原BCH码_总结(1)二元狭义本原BCH码_总结(1)二元狭义本原BCH码_总结(2)二元狭义本原BCH码_总结(2)校验矩阵非本原BCH码(1/2)非本原BCH码(1/2)例： 构造的n=15二元非本原BCH码 非本原BCH码(2/2)非本原BCH码(2/2)校验矩阵为：二元循环汉明码与戈莱码(1/6)二元循环汉明码与戈莱码(1/6)汉明码和戈莱码均可以等价为特殊的BCH码。 例: 二元汉明码是纠单错的二元狭义本原BCH码形式的循环码。 校验矩阵H是所有不同非零m长向量为列向量的矩阵，即 二元循环汉明码与戈莱码(2/6)二元循环汉明码与戈莱码(2/6)戈雷码有二元戈雷码和三元戈雷码两种，由M.J.E.Golay在1949年给出,戈雷码作为代数与组合编码设计的典范是编码史上的一个重要里程碑 二元戈雷码是唯一已知的二元域上纠多个错的完备码,并获得广泛的实际应用 二元戈雷码: 二元(n,k,d)=(23,12,7)码和其(n,k,d)=(24,12,8)全校验扩展码,分别记为G23和G24 二元戈雷码的重要特性:二元循环汉明码与戈莱码(3/6)二元循环汉明码与戈莱码(3/6)(1)G23是完备线性分组码 因此纠错数t=3,从而必有dmin=2t+1=2*3+1=7 (2) G24的生成矩阵具有多种等价形式,其中一种利于简单的算术译码的系统码形式为如下G24:二元循环汉明码与戈莱码(4/6)二元循环汉明码与戈莱码(4/6) (3)G23的生成矩阵可以由对G24删除任意1列获得二元循环汉明码与戈莱码(5/6)二元循环汉明码与戈莱码(5/6)(4) G24是自对偶码,即G24=(G24) (5) G23和G24的重量分布为: (6)任何二元(n,k,d)=(23,12,7)码都等价为二元戈雷码 二元循环汉明码与戈莱码(6/6)二元循环汉明码与戈莱码(6/6)二元（23，12）戈莱码是在GF(211)上构造的纠多错的二元狭义非本原BCH码 二元（23，12）戈莱码是纠多个错的二元狭义非本原BCH码 RS码(1/3)RS码(1/3)RS码或Reed-Solomon码是由I.S.Reed和G.Solomon在1960年发明的一类多进制的多项式描述的纠错码，其突出的有效纠错能力使此码获得广泛应用。 RS码(2/3)RS码(2/3)RS码的生成式为 RS码(3/3)RS码(3/3)(n, k)RS码有 (n, k)RS码是到达BCH码码限的码 有：RS码_例(1)RS码_例(1)CCSDS标准中的RS码有： (3) 生成多项式是：(1) 码元域和根域都定义在GF（28）(2) 码长： (4) 纠错个数分别为：t=8, 16循环码的变形与变型(1/4)循环码的变形与变型(1/4)循环码的应用，尤其是检错应用中，常需对码进行变形和变型，如扩展、缩短（或截短）以及交织。 循环码的扩展仍然按分组码增加总校验位扩展的方式进行扩展，扩展位是 总校验位可以置于原码字的高位，称为最高位扩展码字 总校验位也可以置于原码字的低位而成为最低位扩展码字 扩展循环码通常不再是循环码。循环码的变形与变型(2/4)循环码的变形与变型(2/4)循环码截短是对系统循环码截去高幂次的b个消息位。循环码的变形与变型(3/4)循环码的变形与变型(3/4)由上述截短 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 可得截短循环码的基本特性： （1）码率降低 （2）一般地循环码的截短码不是循环码。循环码的变形与变型(4/4)循环码的变形与变型(4/4)截短循环码的一个主要应用是构造一类特殊的截短循环码，又称为循环冗余校验（CRC）码（Cyclic Redundancy Check Codes），即CRC码 CRC码的主要特性是: （1）原循环码生成式为: 其中p(x)为本原多项式。 则可以有任意码长 CRC码，因为截短位数可任选。 （2） CRC码与构成其码的原循环码有相同的检错能力。 （3） CRC码是循环码。 循环码译码与译码 电路 模拟电路李宁答案12数字电路仿真实验电路与电子学第1章单片机复位电路图组合逻辑电路课后答案 (1/5)循环码译码与译码电路(1/5)差错多项式 ：差错图案的多项式表示 其中ei≠0仍称为错值，相应xi的称为错位。 循环码码字传输接收向量的多项式表示为接收多项式 循环码的伴随多项式定义为： 循环码译码与译码电路(2/5)循环码译码与译码电路(2/5)差错式和伴随式之间也有对应关系。循环码译码与译码电路(3/5)循环码译码与译码电路(3/5)循环码校验电路本质上成为一个模生成式的求余计算电路 循环码伴随式计算电路原理图 循环码译码与译码电路(4/5)循环码译码与译码电路(4/5)为使伴随式的除法求余电路与r级系统码编码电路兼容或具有相同的电路形式，那么相应的伴随式计算应是对接收式移位r次后的求余计算，从而修正伴随式定义为 循环码译码与译码电路(5/5)循环码译码与译码电路(5/5)修正循环码伴随式计算电路原理图 null