一,完成以下各题
⒊计算累次积分
解
⒋求解一阶线性微分方程
解 先解
分离变量,得
令
则
代入原方程,得
即
从而方程通解为
二.(10分)求曲线积分
解
(1,1)
故积分值和路径无关,从而
(0,0) (1,0)
EMBED Equation.DSMT4
三.(10分)计算曲面积分
其中S为
上半球面
与锥面
所围区域的
表
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面,取外侧.
解 记
则有高斯公式及对称性,
EMBED Equation.DSMT4
四. (10分)求解初值问题:
解 齐次方程对应的特征方程为
特征根为
因此齐次方程的通解为
由于0不是特征方程的根,故设非齐次方程的特解为
代入原方程,比较系数,得
即原方程的通解为
由定解条件,得
初值问题的解为
五.(每小题5分,共10分)讨论下列广义积分的敛散性.
⑴
⑵
解 ⑴ 因为
而无穷积分
发散,由比较判别法, 无穷积分
发散.
⑵ 因为
故
而当
故
六. (10分)求幂级数
的收敛半径,收敛区间和收敛域,并求其和函数.
解
因此
从而
由于
收敛半径为R=2,
收敛区间为
即(－1,3).
又由于级数当x=－1收敛,当x=3时发散,故收敛区域为[－1,3).
七. (10分)吧函数
展开成
的幂级数,并求其收敛域.
解 令
则
其收敛域为
八.(6分)研究级数
的敛散性.
解 因为
而级数
发散,故
也发散,即级数
不绝对收敛.
但
又函数
单调下降,即
关于n单调下降,于是由莱布尼兹判别法,级数
收敛.因而级数
条件收敛.
九. (6分)设n是自然数,求证:方程
存在唯一正实根
且当
时,数项级数
收敛.
证 记
故由f(x)的连续性,必有
又
故根唯一.
又,由
得
当
EMBED Equation.DSMT4 收敛.证毕.
L1
L2
_1338021554.unknown
_1338033515.unknown
_1338037086.unknown
_1338039332.unknown
_1338039725.unknown
_1338040034.unknown
_1338040391.unknown
_1338040465.unknown
_1338040642.unknown
_1338040206.unknown
_1338039949.unknown
_1338039484.unknown
_1338039607.unknown
_1338039399.unknown
_1338038631.unknown
_1338038963.unknown
_1338039168.unknown
_1338038816.unknown
_1338037819.unknown
_1338038437.unknown
_1338037595.unknown
_1338034808.unknown
_1338036028.unknown
_1338036313.unknown
_1338036552.unknown
_1338036163.unknown
_1338035690.unknown
_1338035823.unknown
_1338035161.unknown
_1338034054.unknown
_1338034172.unknown
_1338034429.unknown
_1338034065.unknown
_1338033746.unknown
_1338033852.unknown
_1338033631.unknown
_1338031984.unknown
_1338033067.unknown
_1338033284.unknown
_1338033444.unknown
_1338033157.unknown
_1338032786.unknown
_1338032903.unknown
_1338032702.unknown
_1338031010.unknown
_1338031222.unknown
_1338031854.unknown
_1338031124.unknown
_1338030550.unknown
_1338030813.unknown
_1338030293.unknown
_1338020421.unknown
_1338020713.unknown
_1338021124.unknown
_1338021337.unknown
_1338021016.unknown
_1338020547.unknown
_1338020583.unknown
_1338020479.unknown
_1337271917.unknown
_1337273373.unknown
_1338020109.unknown
_1338020305.unknown
_1338020354.unknown
_1338020199.unknown
_1338019419.unknown
_1338019604.unknown
_1337273441.unknown
_1337273493.unknown
_1337272888.unknown
_1337273076.unknown
_1337273317.unknown
_1337272973.unknown
_1337272498.unknown
_1337272651.unknown
_1337272087.unknown
_1337267836.unknown
_1337271602.unknown
_1337271829.unknown
_1337267883.unknown
_1337267335.unknown
_1337267762.unknown
_1337266988.unknown
浙公网安备 33021202002483