变分原理-5_2007

1 5 弹性动力学的变分原理 一、基本方程和定解条件 1. 几何方程 , ,( ) / 2ij i j j iu uε = + (5.1) 2. 应力应变关系 ij ijkl klcσ ε= 或 ij ijkl klsε σ= (5.2) 3. 运动方程 ,ij j i if uσ ρ+ = �� (5.3) 式中 2 2/i iu u t= ∂ ∂�� ， ρ是密度。 现在 iu ， ijε 和 ijσ 都是 x， y， z和 t的函数，仍然是 15 个未知函数，有 15 个方程，即式(5.1)－(5.3)。 4. 边界条件 i iu u= ， 在 1B上 (5.4) j ij in pσ = ， 在 2B 上 (5.5) 5. 初始条件 在 0t = 时， 0i iu u= ， 0/i i iu u t u= ∂ ∂ =� � (5.6) 式中 0iu ， 0iu� 是已知的 x， y， z的函数。 二、Laplace变换后的方程 解动力学问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的一种方法是将所有方程和边界条件对时间 t作 Laplace变换， 即 0 ˆ( , , , ) ( , , , )e dstx y z s x y z t tφ φ ∞ −= ∫ (5.7) 2 其中 1 2is σ σ= + 为复数。于是式(5.1)到(5.5)变成 , ,ˆ ˆ ˆ( ) / 2ij i j j iu uε = + (5.8) ˆˆij ijkl klcσ ε= 或 ˆ ˆij ijkl klsε σ= (5.9) 2 , 0 0 ˆˆ ˆ 0ij j i i i is u u su fσ ρ ρ ρ− + + + =� (5.10) ˆˆi iu u= ， 在 1B上 (5.11) ˆˆj ij in pσ = ， 在 2B 上 (5.12) 式(5.8)－(5.12)是一个变换后的平衡问题，应力 ˆijσ ，应变 iˆjε ，位移 ˆiu ，体积 力 2 0 0ˆ ˆi i i if s u u suρ ρ ρ= − + +� ，已知位移 ˆiu ，已知 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面力 ˆ ip 。 这个平衡问题显示出两个特点：(1) 初始条件变成附加体积力，(2) 惯性力变 为与位移成正比的体积力 2 ˆis uρ− 。 补注 1：关于函数导数的 Laplace变换 函数φ的关于时间 t的第 n阶偏导数 ( )/n n ntφ φ∂ ∂ ≡ 的 Laplace变换为 ( ) 0 ( , , , )ˆ ( , , , ) e d n n st n x y z tx y z s t t φφ ∞ −∂= ∂∫ (s-5.1) 通过分部积分可以得到 ( ) 1 2 ( 1)ˆ ˆ( , , , ) ( ) (0) (0) (0)n n n n nx y z s s s s sφ φ φ φ φ− − −′= − − − −" (s-5.2) 三、互等定理 对于变换后的平衡问题，即方程(5.8)－(5.12)，可以根据静力问题的互等定理 建立如下等式 2 1 01 01 1 2 1 2 2 2 02 02 2 1 2 1 ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) d d ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) d d i i i i i i i V B i i i i i i i V B s u u su f u V p u B s u u su f u V p u B ρ ρ ρ ρ ρ ρ − + + + + = − + + + + ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ � � (5.13) 其中最后一个下标 1表示第一组量，下标 2表示第二组量。上式可以化简为 3 01 01 1 2 1 2 02 02 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) d d ˆ ˆ ˆ ˆ( ) d d i i i i i i V B i i i i i i V B u su f u V p u B u su f u V p u B ρ ρ ρ ρ + + + = + + + ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ � � (5.14) 此即弹性体动力学中的互等定理。若对式(5.14)实施 Laplace逆变换 i i 1 ˆ( , , , ) ( , , , )e d 2 i c st c x y z t x y z s sφ φπ + ∞ − ∞= ∫ (5.15) 则可得到 01 2 01 2 1 2 1 2 02 1 02 1 2 1 2 1 ( * )d * d ( * )d * d i i i i i i i i V B i i i i i i i i V B u u u u f u V p u B u u u u f u V p u B ρ ρ ρ ρ + + + = + + + ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ � � � � (5.16) 式中*代表卷积，按定义有 0 ( )* ( ) ( ) ( )d t f t g t f t gτ τ τ= −∫ (5.17) 对式(5.17)实施 Laplace变换，有 0 ( )* ( )e d ( ) ( )stf t g t t F s G s ∞ − =∫ (5.18) 这就是说 ( ) ( )F s G s 的原函数是 ( ) * ( )f t g t 。 特殊情况：(a) 初始条件为零，即 0 0 0i iu u= =� 。此时式(5.14)简化为 1 2 1 2 2 1 2 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆd d d di i i i i i i i V B V B f u V p u B f u V p u B+ = +∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (5.19) 即在这一特殊情况下，位移和力的 Laplace变换满足平衡问题中的功的互等定理。 如果在物体的表面有一部分固定，而在另一部分当 0t = 时突然加上外力，且各点 处外力之间的比值保持不变，则可知 ˆ ˆ: :i i i if p f p= 这样式(5.19)可以转换到时间域： 1 2 1 2 2 1 2 1d d d di i i i i i i i V B V B f u V p u B f u V p u B+ = +∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (5.20) 这与平衡问题的功的互等定理是完全一致的。胡海昌 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 第 417－419还有更详细的 叙述。 (b) 无外荷载（自由振动）。此时体力和边界力都为零，因此式(5.14)简化为 01 01 2 02 02 1ˆ ˆ( ) d ( ) di i i i i i V V u su u V u su u Vρ ρ ρ ρ+ = +∫∫∫ ∫∫∫� � (5.21) 在时间域内，上式为 01 2 01 2 02 1 02 1( )d ( )di i i i i i i i V V u u u u V u u u u Vρ ρ ρ ρ+ = +∫∫∫ ∫∫∫� � � � (5.22) 如果在 0t = 时只有速度而无位移，那么上式简化为 01 2 02 1d di i i i V V u u V u u Vρ ρ=∫∫∫ ∫∫∫� � (5.23) 如果只有初始位移而无初始速度，那么式(5.22)简化为 4 01 2 02 1d di i i i V V u u V u u Vρ ρ=∫∫∫ ∫∫∫� � (5.24) 将此式对时间 t积分一次，得到 01 2 02 1d di i i i V V u u V u u Vρ ρ=∫∫∫ ∫∫∫ (5.25) 补注 2：一种直接推导方法 可以直接从平衡方程出发导出相应的功的互等原理的表达式。设有两组状态， 用下标 1和 2区别，分别满足 1, 1 1ij j i if uσ ρ+ = �� (s-5.3a) 2, 2 2ij j i if uσ ρ+ = �� (s-5.3b) 将式(s.-5.3a)乘以 2iu 及式(s.-5.3b)乘以 1iu 后相减，可得 1 1 2 2 2 1 1, 2 2, 1( ) ( ) ( )i i i i i i ij j i ij j if u u f u u u uρ ρ σ σ− − − = − −�� �� (s-5.4) 由于 1, 2 2, 1 1 2 2 1 , 1 2, 2 1,( ) ( )ij j i ij j i ij i ij i j ij i j ij i ju u u u u uσ σ σ σ σ σ− = − − − (s-5.5) 另考虑到应力张量的对称性，上式第二个括号项为 1 2, 2 1, 1 2 2 1 1 2 2 1 0ij i j ij i j ij ij ij ij ijkl kl ij ijkl kl iju u c cσ σ σ ε σ ε ε ε ε ε− = − = − = (s-5.6) 因此式(s-5.4)变为 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 ,( ) ( ) ( )i i i i i i ij i ij i jf u u f u u u uρ ρ σ σ− − − = − −�� �� (s-5.7) 这是所谓的局部功的互等定理（local reciprocity theorem）。整体的形式可以通过对 式(s-5.7)积分得到 [ ]1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 , 1 2 2 1 ( ) ( ) d ( ) d ( ) d i i i i i i ij i ij i j V V ij i ij i j S f u u f u u V u u V u u n S ρ ρ σ σ σ σ − − − = − − = − − ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ �� �� (s-5.8) 对于稳态响应，随时间变化有公因子 ie tω ，因此上式中对时间的两次导数可相互消 去，得到 1 2 2 1 1 2 2 1( )d ( ) d 0i i i i ij i ij i j V S f u f u V u u n Sσ σ− + − =∫∫∫ ∫∫ (s-5.9) 这与静力学是一致的。 5 四、最小转换能原理 对于变换后的平衡问题，即方程(5.8)－(5.12)，也有一个最小势能原理（首先 由 Benthien－Gurtin得到），称为最小转换能原理（Principle of minimum transformed energy）。 应变能密度 1 ˆ ˆ 2 ijkl ij kl c ε εΦ = (5.26) 总势能（转换能） 2 2 0 0 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ{ ( ) }d d 2L i i i i i i i iV B s u u u su f u V p u Bρ ρ ρΠ = Φ + − + + −∫∫∫ ∫∫� (5.27) 最小转换能原理：在所有满足连续条件(5.8)和(5.11)以及应力应变关系(5.9)的 可能状态中，精确解使转换能 LΠ 取最小值。 【此定理 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 可以见胡海昌的书（第 420－421 页），自己仿照前面的证明一 样可行。】 因此精确解使 0LδΠ = (5.28) 最小转换能原理是最小值原理，在研究近似解的收敛性方面有独特的优越性。 【G Benthien, ME Gurtin. (1970) A principles of minimum transformed energy in elastodynamics. Journal of Applied Mechanics, 31(4): 1147-1149.】 五、Gurtin变分原理 如果将式(5.28)恢复到原函数，则为 0δΛ = (5.29) 式中 2 0 1 * * d * d 2 i i i i i i i iV B u u u u f u V p u Bφ ρ ρ⎛ ⎞Λ = + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫� � � (5.30) 而 1 * 2 ijkl ij kl cφ ε ε= (5.31) Gurtin 变分原理：在各种可能运动状态中，精确解使式(5.29)成立。即在式 (5.1)，(5.2)，(5.4)和(5.6)都成立的前提下，变分式(5.29)相当于式(5.3)和(5.5)。 【可能运动状态指满足式(5.1)，(5.2)，(5.4)和(5.6)】 Gurtin变分原理中的泛函Λ只取驻值，它不是极值性原理。 6 注意到 0ˆi isu u− 的原函数是 iu� ，又注意到式(5.27)中的 2 0 0 0 0 0 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( ) 2 2 2i i i i i i i i i i s u u su u su u su u u uρ ρ ρ ρ= − − + − (5.32) 于是式(5.27)中 2 0 0 0 0 0 0 0 1 ˆˆ ˆ ˆ( ) 2 1 1ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )( ) 2 2 i i i i i i ii i i i i i i i i i s u u u su f u su u su u u u f u u u ρ ρ ρ ρ ρ ρ − + + = − − − − − � � (5.33) 最后一项 1 0 02 i iu uρ 对变分无用，可略去。这样从式(5.27)反变换到式(5.30)便推 导完毕。 【ME Gurtin. (1964) Variational principles for linear elastodynamics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 16(1): 34-50.】 六、Hamilton变分原理 如果将初始条件(5.6)用时间边值条件来替换，即 在 0t = 时： 0i iu u= ， 在 1t t= 时： 1i iu u= (5.34) 而其他方程(5.1)-(5.5)均保持不变。 Hamilton变分原理：在所有可能运动状态中，精确解使 1 0 ( )d 0 t T tδ Π − =∫ (5.35) 式中 2 1 d d 2 ijkl ij kl i i i iV B c f u V p u Bε ε⎛ ⎞Π = − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫ (5.36) 1 d 2 i iV T u u Vρ= ∫∫∫ � � (5.37) 这里的可能运动状态是指满足式(5.1)，(5.2)，(5.4)和(5.34)。 泛函 1 0 ( ) d t T tΠ −∫ 不是正定泛函，因此对精确解只取驻值而不是最小值。 Hamilton 变分原理的 1 0 ( )d 0 t T tδ Π − =∫ 也是相当于运动方程(5.3)和边界条件 (5.5)，这点与 Gurtin变分原理完全相同。但是 Hamilton变分原理与 Gurtin变分原 理之间有不全相同的可能运动状态。 7 Hamilton 变分原理主要用于推导运动方程和其它理论方面的应用，Gurtin 变 分原理对应初值问题，实际应用的前景可能会更好。 七、关于固有频率的变分原理 1. 位移形式的变分原理 在没有外力作用情况下作自由振动的线弹性体的运动方程可表示成 2 , 0ij j iuσ ρω+ = (5.38) 其中 ijσ ， iu 是应力和位移的振幅，相应的应变的振幅则为 ijε 。边界条件为 0iu = ， 在 1B上 (5.39) 0j ijn σ = ， 在 2B 上 (5.40) 在振动过程中，物体的最大应变能和动能分别为 1 1 d 2 ijkl ij klV c Vε εΠ = ∫∫∫ (5.41) 2 2 21 d 2 iV T u Vω ω ρ= ∫∫∫ (5.42) 由能量守恒定理，可以得到 2 1 T ω Π= (5.43) 此即瑞利商（Rayleigh quotient）。从而可以得到变分式 2 1st. T ω Π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (5.44) 固有频率的变分原理一：满足方程(5.1)和(5.2)以及边界条件(5.39)的可能运动 状态中，精确解使式(5.43)的瑞利商取驻值，即变分式(5.44)等价于运动方程(5.38) 和力的边界条件(5.40)。 【若 /P a b= ，则 2( ) / ( ) /P b a a b b a P b bδ δ δ δ δ== − = − ，所以 0Pδ = 意味 0a P bδ δ− = 】 从固有频率的变分式(5.44)出发，可以推导出固有振型的两个正交关系式，还 可以证明任意函数对固有振型的展开。 对 1Π 也可以作进一步的推广，得到二类变量广义势能 2Π 1 2 , 1 d d 2ij i j ijkl ij kl j ij iV B u s V n u Bσ σ σ σ⎛ ⎞Π = − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫ (5.45) 8 从而可以得到新的变分式 2 2st. T ω Π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (5.46) 此时， iu 和 ijσ 是相互独立的自变函数，事先不必满足任何条件。 还可以作更进一步的推广，得到三类变量广义势能 1 1 3 , ,2 1 [ ( )] d d 2 ijkl ij kl ij ij i j j i j ij iV B c u u V n u Bε ε σ ε σ⎧ ⎫Π = − − + −⎨ ⎬⎩ ⎭∫∫∫ ∫∫ (5.47) 对应的变分式为 2 3st. T ω Π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (5.48) 此时， iu 、 ijε 和 ijσ 都是相互独立的自变函数。 2. 加速度形式的变分原理 若以加速度 iu��为未知函数，则由于 2 i iu uω= −�� (5.49) 因此微分方程和边界条件为 , 0ij j iuσ ρ− =�� (5.50) 0iu =�� ， 在 1B上 (5.51) 0j ijn σ = ， 在 2B 上 (5.52) 同时广义虎克定律可表示为 2 , , 1 ( ) 2 i j j i ijkl kl u u sω σ− + =�� �� (5.53) 需要注意的是，当 0ω ≠ 时，新的用加速度表示的方程和原方程是完全等价的，但 当 0ω = 时，就与原问题有所不同。 若把 iu��和 ijσ 看作是相互独立的，则相应的变分式是： 2 2st. Tω ⎛ ⎞= ⎜ ⎟Γ⎝ ⎠ (5.54) 其中 1 d 2 ijkl ij klV s Vσ σΓ = ∫∫∫ (5.55) 9 2 2 , 1 d d 2ij j i i i j ij iV B T u u u V n u Bσ ρ σ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫�� �� �� �� (5.56) 式(5.54)的证明见胡海昌先生的书（第 429页）。 固有频率的变分原理二：满足式(5.50)-(5.53)的精确解使式(5.54)的瑞利商取驻 值，即变分式(5.54)等价于方程(5.50)-(5.53)。 若函数 iu��和 ijσ 事先满足平衡方程(5.50)和力的边界条件(5.52)，则泛函 2T 简化 为 1 1 d 2 i iV T u u Vρ= ∫∫∫ �� �� (5.57) 相应的变分式为 2 1st. Tω ⎛ ⎞= ⎜ ⎟Γ⎝ ⎠ (5.58) 上式等价于加速度－应力关系(5.53)和位移边界条件(5.51)。