网上交流问题答疑 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 wxckt@126.com
Fibonacci数列的通项公式
高中《数学》（二年级第二学期）第82页上有这样一道例题：
例７ 如果a1 = 1, a2 = 1, 且an+2 = an+1 + an (n=1,2,…)， 试写出这个数列的前6项。
这个数列的前6项依次是 1,1,2,3,5,8.
我们又从上海教育出版社出版的《高中数学学习导引》（二年级第二学期）第227～230页上看到，这个数列叫做 Fibonacci数列，作者提供了数列的通项公式，同时又声明：“从数列的递推公式求得数列的通项公式并非易事，”所以“对这个公式如何得来不加研究。”
老师在课堂上又提供了一点思路：实际上，我们在解一阶递推方程 an+1 = pan + q
时已学会将它改写成
an+1 + c = p（an + c）
的形式，仿照这一思路，二阶递推方程
an+2 = an+1 + an
也可改写为
an+2 - pan+1 = q(an+1 - pan)
的形式，这里的p与q由“特征方程”x2 = x + 1 确定，于是解得
p = (1-√5)/2 ，q = (1+√5)/2 或
p = (1+√5)/2 ，q = (1-√5)/2 .5)/2
老师在黑板上选了第一组p,q值，得
an+2 - (1-√5)/2 ·an+1 = (1+√5)/2·(an+1 - (1-√5)/2·an)
很明显，an+1 - (1-√5)/2·an 是以a2 - (1-√5)/2·a1为首项，(1+√5)/2为公比的等比数列，于是
an+1 - (1-√5)/2·an ＝ [(1+√5)/2]n ①
这样一来，二阶方程已经化成了一阶，限于时间，老师的说明戛然而止。
· 在听课时，我在草稿纸上选了第二组p,q值，得
an+2 - (1+√5)/2 ·an+1 = (1-√5)/2·(an+1 - (1+√5)/2·an)
由此得到的是
an+1 - (1+√5)/2·an ＝ [(1-√5)/2]n ②
显然①式与②式所
表
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达的是an+1与an之间的不同关系，哪个才是正确的？老师说都对。我想，既然如此，把①式与②式联立，不就解出an了吗？
得出的通项公式果然很“难看”：
an ＝ {[(1+√5)/2]n -[(1+√5)/2]n}／√5
经过这番探求，我的好奇心得到了满足。我们惊异地发现，这么一个带有根号的繁琐的式子，代入化简后居然展现出一个令人赏心悦目、完全由自然数组成的数列。此外，我还独立找出了一种解某一类二阶递推方程的一般方法。
Fibonacci数列介绍
1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的「算盘全书」。
他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题：
如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔
在牠出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，假定在
不发生死亡的情况下，由一对出生的小兔开始，50个月后会有
多少对兔子？
在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟
了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过
多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大
，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律：
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
9
13
21
34
10
21
34
55
由此可知，从第一个月开始以后每个月的兔子总数是:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…
若把上述数列继续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列。
数列中每个数便是前两个数之和，而数列的最初两个数都是1。
若设 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13...
则：当n＞1时，Fn+2 = Fn+1 + Fn，而 F0=F1=1。
下面是一个古怪的式子：
Fn 看似是无理数，但当 n ≧0 时，Fn 都是整数
利用斐波那契数列来做出一个新的数列：
方法是把数列中相邻的数字相除，以组成新的数列如下：
当 n 无限大时，数列的极限是：
这个数值称为黄金分割比，它正好是方程式 x2+x-1=0 的一个根 。
根据以上结论，伊人天使所提问题的答案为：
答：数列0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…的通项公式为：
第n+100的值是：
新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 wxckt@126.com 2003/7/9
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