一元函数微积分 (魏贵民 胡灿 著) 高等教育出版社 课后答案《一元函数微积分》习题解答3-1到3-6

1 3-13-13-13-1习题解答 1、答：不能。因为函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的值可能取正和负。正确的解释应为在 x 轴上方的曲边梯形的面积之和与在 x轴下方的曲边梯形的面积之和的差。 2、解： ∫∑ =∆= = → b a n i ii d xxFxFW )()(lim 1 0 ξ λ 。 xy 2= 3、解：（1） ∫ 1 0 2 x d x =右图三角形面积= 121 2 1 =×× ； 0 1 x （2） d xx∫ − 1 0 21 =右图四分之一单位圆的面积= 4 π ； （3） ∫− π π x d xsin =下图中两个曲边梯形的面积差额 = 021 =− AA （4） ∫− 2 2 cos π π x d x =上面右图中的两个曲边梯形的面积的和= ∫=+ 2021 cos2 π x d xAA 4、解：（1） nixxxxxx x d x iiiiiii n i i ,,2,1,,],[, 1 1 lim 1 111 20 1 0 2 ⋯=−=∆∈∆ + = + −−=→ ∑∫ ξ ξ λ 10 210 =<<<<= nxxxx ⋯ ； （2） nixxxxxxx d x iiiiiii n i i ,,2,1,,],[,sinlimsin 11 1 00 ⋯=−=∆∈∆= −− = → ∑∫ ξξ λ π π=<<<<= n xxxx ⋯2100 。 5、解：（1）因为 10 ≤≤ x ，所以 23 xx ≤ ，故 d xxd xx ∫∫ ≤ 1 0 21 0 3 ； （2）因为 21 ≤≤ x ，所以 32 xx ≤ ，故 d xxd xx ∫∫ ≤ 2 1 32 1 2 ； （3）因为 ex <≤≤ 21 ，所以 xxx ln)(ln1ln0 2 <⇒<≤ ，故 d xxd xx ∫∫ ≤ 2 1 2 1 2 ln)(ln ； （4）因为 12 −≤≤− x ，所以 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ 3 1 3 ，故 d xd x x x ∫∫ − − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ 1 2 1 2 3 1 3 ； 2 3-23-23-23-2习题解答 1、解：（1） x x d t t t x sinsin 1 = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ； （2） ( ) ( ) x e xx xed te xx x t ln2 1 ln2 1 ln lnln ln 1 22 == ′ = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ （3） 4 0 4 11 xd yy x +−= ′ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +∫ ； （4） 24 2 2 2 xx x x t ex ed te −−− −= ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ 。 2、解：（1）原式= 20)13( 4 1 4 1 443 1 4 =−=x ； （2）原式= 3662 1 arcsin 2 1 arcsinarcsin 2 1 2 1 πππ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= − x ； （3）原式= e eee x 1 1)( 01 1 0 −=−−=− −− ； （4）原式= 4 1 4 tan)1(sec 4 0 4 0 2 ππ π π −=−=−∫ xd xx ; （5）原式= αα α + = + + 1 1 1 1 1 0 1 x ； （6）原式= 8 21 3 1 3 1 83 1 3 8 14 1 12 1 2 1 1421 =+− × −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− + + +−+ xx 。 3、解：原式= 718032 2 1 31 1 21 1 2 1 2 =−+=+=+ −−∫ ∫ xxd xxx d x 。 4解：（1）原式= 1cos)cos(sinlim 1 cos lim 2 0 0 sin 2 0 −=⋅−= ′ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ →→ ∫ xx d tt x x x ； （2）原式= ( ) 2 1 )]2[arctan(2 lim 1 )(arctan lim 2 2 2 2 2 0 2 π = + = ′ + ′ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +∞→+∞→ ∫ x x x x d tt x x x 。 5、解：当 ]1,0[∈x 时， 3 0 2 0 3 1 )()( xd ttd ttfx xx ===Φ ∫∫ ，当 ]2,1(∈x 时， 3 6 1 2 )1( 2 1 3 1 )()( 2 2 1 1 0 2 0 −=−+=+==Φ ∫∫∫ x xt d td ttd ttfx xx ，所以 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤<− ≤≤ =Φ .21, 6 1 2 ,10, 3)( 2 3 x x x x x 3-33-33-33-3习题解答 解：1、（1） cxd xx +=∫ 2 5 2 3 5 2 （2） cxd xx +−= −− ∫ 2 3 2 5 3 2 （3） ∫ ++= + cx nm m d xx m nm m n （4） 原式= Cuuu Cuuu u d u d uud uu +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−= + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +− − +− =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− +− +− − −∫ ∫ ∫ ln2 2 5 3 ln 1 2 1 1 16.0 1 33 2 1 4.0 1 2 1 16.02 1 6.0 （5）原式= ∫ += − ch g d xh g 2 2 2 1 2 1 ； （6）原式= cx +− 3)2( 3 1 ； （7）原式= ∫ +++=++ cxxxd xxx 3524 3 2 5 1 )12( ； （8）原式= Cxxxxd xxxx +−+−=−+−∫ 2 5 2 3 32 3 2 1 2 5 2 3 2 3 1 )1( ； （9）原式= c x xd xx x +−=+∫ − 34 1 ln10)3 10 ( ； （10）原式= ∫ ++−=+− cxxxd xxx x 2 5 2 3 2 3 5 2 3 4 2)2 1 ( ； （11）原式= Cxxd x x x ++= + +∫ arctan)1 1 3( 3 2 2 ； 4 （12）原式= Cxx +− arcsin2arctan3 ； （13）原式= c x e x ++ 1 ； （14）原式= ∫ ++= ca ea d ta e tt t ln1 )( ； （15）原式= Cxd x xx + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −∫ 3ln2ln 5 3 2 2] 3 2 52[ ； （16）原式= cxx +− sectan ； （17）原式= ∫ +−=− cxxd xx tan)1(sec2 ； （18）原式= C x d x x +=∫ 2 tan cos 1 2 1 2 ； （19）原式= Cxxd x x ++= + ∫ sin2 1 2 1 2 cos1 ； （20）原式= ∫ +−=− − cxxd x xx xx cossin sincos sincos 22 ； （21）原式= Cxxd x xx ++−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −∫ )tan(cotcos 1 sin 1 22 。 2、解：（1）原式= 1 1 +a ； （2）原式= 2ln 2 11 )ln 2 1 ( 2 1 23 +=+− xxx ； （3）原式= 8 21 ) 3 1 3 1 ( 2 1 33 =− −xx ； （4）原式= 6 271 ) 2 1 3 2 ( 9 4 22 3 =+ xx ； （5）原式= 1 1 0 1 −− −=− ee x ； （6）原式= 6 arctan 3 3 1 π =x ； （7）原式= 32 1 arcsin 2 1 arcsinarcsin 2 1 2 1 π =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= − x ； （8）原式= 4 1)(tan)1(sec 4 0 4 0 2 π π π −=−=−∫ ttd tt 。 5 3、解：因为 )( 2 2 )(, 2 1 222 ′===+=′= ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ c h xee e ec h xes h xes h xeee xx x xxxxxx ，所以 c h xes h xee xxx 和, 2 1 2 都是 xe2 的原函数。 4、由已知得 ∫ +==⇒=′ Cxx d xyxy 222 ，又曲线过（0，1）点，所以 1=0+C，即 C=1， 故所求曲线为 12 += xy 。 5、解：（1） )(273 3 0 33 0 2 mtd tts === ∫ ； （2）因为 3ts = 所以 3 st = ，故物体走完 360米所需时间为 )(3603 st = 。 3-43-43-43-4习题解答 1、解：（1）原式= Cetde tt +=∫ 55 5 1 )5( 5 1 ； （2）原式= Cxxdx +−−=−−− ∫ 65 )21(12 1 )21()21( 2 1 ； （3）原式= Cxxd x +−−=− − − ∫ 23ln2 1 )23( 23 1 2 1 ； （4）原式= Cxxdx +−−=−−− ∫ 2 3 )28( 3 1 )28(28 2 1 ； （5）原式= Cttdt +−=∫ cos2)(sin2 ； （6）原式= Ceede xx exe +=∫ )( ； （7） 原式= Cxa a x a xa xad a x a x a d d x xa xa +−−= − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫∫∫ 2222 22 222 arcsin )( 2 1 1 ； （8）原式= Cxxd +=∫ )ln(lnln)])(ln[ln(ln ； （9）原式= Cxxx d +=∫ 1110 tan11 1 )(tantan ； （10）原式= Cx x xd d x x x +== ∫∫ tanlntan )(tan tan sec2 ； （11）原式= Ce e ed x x x += +∫ arctan1 )( 2 ； （12）原式= Cxxdx +=∫ )sin(2 1 )()cos( 2 1 222 ； 6 （13）原式= C x x x d d x x x += ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∫∫ 2arctan6 1 2 1 2 6 1 2 1 4 1 3 23 3 23 2 ； （14）原式= Cxxdx ++=++∫ 2 3 333 )1( 9 2 )1(1 3 1 ； （15）原式= C d x x x += − ∫ )2arcsin(2ln 1 )2(1 )2( 2ln 1 2 ； （16） Ceee e ed e ed d x e e e e xxx x x x x x x x x ++−++= + + − + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = ∫∫∫ 22 2 2 22 2 2 1)1ln( 1 )1( 2 1 )(1 )( 11 原式 ； （17）原式= Cxxxdxx +−=−− ∫ 5724 cos5 1 cos 7 1 )(cos)cos1(cos ； （18）原式= Cx x xd ++−= + + − ∫ )cos1ln(2 1 cos1 )cos1( 2 1 2 2 2 ； （19）原式= Cxx x d x x xd d x xx x +−−−= − − − − −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ∫∫∫ arcsin12 11 )1( 1 1 1 2 2 22 2 22 ； （20）原式= ( ) ( ) Cxx x xd x xd x x xd x x ++−= + + −= + −+ = + ∫∫∫ 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 9ln 2 9 29 9 2 9 2 )( 9 99 2 1 )( 92 1 ； （21）原式= C x x x d x xd +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ++ ∫∫ 2 1 arctan 4 1 1 2 1 2 1 4 1 4)1( )( 2 1 2 22 2 22 2 ； （22）原式= C x x Cxxd x xx + − + =+−−+=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + −∫ 2 2 ln 4 1 ]2ln2[ln 4 1 2 1 2 1 4 1 ； （23）原式= C x x d x xx + + − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − −∫ 12 12 ln 22 1 12 1 12 1 2 1 ； （24）原式= C x x d x xx + + − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − −∫ 1 2 ln 3 1 1 1 2 1 3 1 ； （25）原式= Cxxxdxxx d +−=−= ∫∫ 322 sin3 1 sin)(sin)sin1()(sincos ； 7 （26） C tt tdttd t t + + += +++= ++ = ∫∫ ω ϕω ϕωϕω ω ϕω 4 )(2sin 2 )](2[)(2cos 4 1 2 1 2 )(2cos1 原式 ； （27）原式= Cxxxdxd xxxx +−=−= ∫∫ secsec3 1 )(sec)1(sec)tan(sectan 322 ； （28）原式= Cxd xx +−=− ∫ arccos2arccos2 1010ln2 1 )arccos2(10 2 1 ； （29）原式= Cxxd xxx +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +=+∫ 2sin8sin4 1 4 1 )]2cos()8[cos( 2 1 ； （30）原式= C x xdx +−=∫ − arcsin 1 )(arcsin)(arcsin 2 ； （31）令 t d tad xtax cossin == 则 ,所以, C a xax a xa Ctt a d t t a ta t d tta + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −= +−= − == ∫∫ 2 222 2 2 23 arcsin 2 )2sin 2 1 ( 22 2cos1 cos cossin 原式 ； 注:本题解答中假设了 ) 2 ,0(,0 π ∈> ta . （32）原式= C x x x d x x d x += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= − ∫∫ 1 arccos 1 1 1 1 1 2 2 2 ；注:本题用了“倒代换”的解法. （33）令 t d td xtx 2sectan == 则 ，所以， 原式= C x x Ctt d t t t d t + + =+== ∫∫ 23 2 1 sincos sec sec ； （34）令 t d ttd xtx tansec3,sec3 == 则 ，所以 原式= C x xCttt d tt d tt t t +−−=+−== ∫∫ 3 arccos39)(tan3tan3tansec3 sec3 tan3 22 ； （35）令 t d td xtx == 则,2 ，所以，原式= CxxCttd t t t ++−=++−= +∫ )21ln(21ln1 ； （36）令 t d td xtx cossin == 则 所以 8 C x x x C t t t d t t t d t d t t t d t + −+ −= +−=−= + −= + = ∫ ∫ ∫∫ 2 2 11 arcsin 2 tan 2 cos2cos1cos1 cos 原式 ； 注： x x x x x xx cos1 cos1 sin cos1 cos1 sin 2 tan + − ±= − = + = 2、解：（1）原式= Cxx xx xxd +−+= −+ −+ ∫ 103ln103 )103( 2 2 2 ； （2） Cxxxx xx d x xxx xxd x xxx xx ++−−−+++= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − −+++= +− −+ = ∫∫ 1ln41ln3ln8 23 1 4 1 38 1 )1)(1( 8)1( 23 2 4 原式 （3） C x xxx x d x xxx d x xx x xd x xx x x + − ++−−+= +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ++−−+= +− −− −+=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− − − + = ∫ ∫∫ 3 12 arctan3)1ln( 2 1 1ln 4 3 2 12 3 )1ln( 2 1 1ln 1 2 3 )12( 2 1 1ln 1 2 1 1 2 2 2 22 原式 （4）因为 )0236,1345,0( 3 2/3 2 2 1 2/1 )3)(2)(1( =++=++=++ + − + + + + − = +++ CBACBACBA xxxxxx x 所以，原式= C xx x x d x x d x x d x + ++ + = + − + + + − ∫ ∫ ∫ 3 4 )3)(1( )2( ln 2 1 32 3 2 2 12 1 （5）令 1,02,1, 1)1(1)1()1( 1 22 2 =+−−=+=+ − + + + + = −+ + CBACBCA x C x B x A xx x 得 ，所 以，原式= Cx xx d x x d x x d x +−+ + = − + + − + ∫∫ ∫ 1ln2 1 1 1 12 1 )1(12 1 2 2 （6）令 0,1,10,0,1, 1)1( 1 22 =−==⇒==+= + + += + CBACBAA x CB x x A xx 得 ，所以 原式= C x x x xd x x x d x x d x + + = + + −= + − ∫∫ ∫ 1ln2 1 1 )1( 2 1 ln 1 2 2 2 2 2 9 （7）令 1, 2 1 , 11))(1( 1 222 =−=== + ++ + + = ++ CDBA x D x C x BA x xxx 得 ，所以 Cxxxx x d x x xd xx x d x x d xx x d x +−+−+−= + − + + −+−= + − + + −= ∫∫ ∫∫ ∫ arctan 2 1 )1ln( 4 1 1ln 2 1 ln 12 1 1 )1( 4 1 1ln 2 1 ln 12 1 1 )1( 2 1 2 22 2 2 原式 （8）因为 12 2 1 4 2 12 2 1 4 2 )12)(12( 1 1 1 22224 +− +− + ++ + = +−++ = + xx x xx x xxxx x ，所以， Cxx xx xx x xd x xd xx xx xx d x xx d x xx xxd xx xxd xx x d x xx x +−+++ +− ++ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + +− ++ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− + ++ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− +− − ++ ++ = +− −− − ++ ++ = ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ )12arctan( 4 2 )12arctan( 4 2 12 12 ln 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 12 12 ln 8 2 12124 1 12 )12( 12 )12( 8 2 12 2 2 )22( 2 1 4 2 12 2 2 )22( 2 1 4 2 2 2 22222 2 222 2 2 2 22 原式 （9）因为 1 1 2 1 1 1 4 1 1 1 4 1 )1)(1)(1( 1 1 1 224 + ⋅− + ⋅− − ⋅= ++− = − xxxxxxx ，所以， 原式= Cx x x +− + − arctan 2 1 1 1 ln 4 1 （10）原式= Cxxxd x xx xxxx xx x d x +++= + −++ = +∫ ∫ )cossinln(2 1 cossin sincoscossin 2 1 cossin cos 注：可使用“万能替换”公式求解。 （11）用“万能替换”，令 22 2 2 1 2 sin, 1 1 cos, 1 2 , 2 tan t t x t t x t d t d x x t + = + − = + == 则 所以原式= ∫∫ ++=++=+=+⋅ + − + + + C x Ct t d t d t t t t t t 2 tan1ln1ln 11 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 10 （12）令 d ttd xtxxt 233 3,11 =−=⇒+= ，所以， Cxxx Cttt t d t d tt t d tt +++++−+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +−= + = ∫ ∫∫ 333 2 2 2 11ln313)1( 2 3 1ln 2 1 3 1 )1(3 1 3 原式 （13）原式= ∫ ++−=+− Cxxxd xxx 2 3 22 3 2 2 1 ]1)[( （14）令 t d td xtxxt 2,11 2 =−=⇒+= ，所以， Ctttd ttd td tt d t t tt d t t tt t d t t t +++−+=++−+= + −+−+ = + −+−+ = + − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − 1ln46)1(])1(23)1([2 1 2)1(3)1( 2 1 ]1)1][(2)1[( 22 1 1 1 2 原式 CxxxCxxx +++++−=+++++−++= )11ln(414)11ln(416)11( 1 2 （15）令 d ttd xtxxt 344 4, ==⇒= ，所以， CxxxCttt t d tt tt d tt +++−=+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++−= + = + = ∫∫ )1ln(4421ln2 1 4 1 4 4 442 2 2 3 原式 （16）参看 1题的（7）题。 （17）因为 ∫ ∫ + = + x x x d x d x xx 1)1( 1 ，令 222 )1( 2 , 1 11 − − = − =⇒ + = t t d t d x t x x x t ，所以 CxxxCxxx C x x x x C t t d t tt t d t ++++=++++= + − + + + =+ − + =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − −= − − = ∫∫ )1( 2 1 ln)1(212ln 1 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 1 1 1 2 1 112 原式 （18）因为 ∫ ++ = 1)1( 2xx d x 原式 ，令 txt d td xtx sec1)1(,sectan1 22 =++=⇒=+ ，所以 11 [ ] Cxxxx C tt tt tt Ctt t td t d t tt d t t t d t xx d x +++++−= + − + − − = +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = − = − = ++ = ∫ ∫∫∫∫ )2442ln(ln 2 1 cossin sincos cossin 2 ln 2 1 4 cot 4 cscln 2 1 4 sin 4 2 1 ) 4 sin(2cossin1tan sec 1)1( 2 2 ππ π π π 原式 3、解：（1）原式= 512 51 )116( 10 1 )511( 10 1 )511( )511( 5 1 21 2 21 2 3 =−−=+−= + + − − − −∫ x x xd （2）原式= 244 )1arctan( )1(1 )1( 0 2 0 2 2 πππ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−=+= ++ + −−∫ x x xd （3）原式 ) 3 2 ln1(2])1ln([2 1 11 2 1 2 2 1 2 1 2 1 +=+−= + −+ = + ∫∫= = ttd t t t t t d t xt （4）原式= 2arctan 2 1 )2(arctan 2 1 )2(1 )2( 2 1 tan21 )(tan tansec sec 1 0 1 0 2 tan 4 0 2 4 0 22 2 == ++ = + ∫=∫∫ = t t td x xd xx x d x xt ππ （5）原式= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += + ∫ 4 3 32 1 2sin 2 1 2 1 2 2cos1 2 6 2 6 π π π π π uud u u （6）原式 15 4 5 1 3 1 2)(2)2()1( 1 0 531 0 420 1 2 1 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=−=−−= ∫∫ −= uud uuuu d uuu xu （7） 2)2(arcsin 2 1 1 2 28 128 2 124 2 2 0 2 2 2 0 2 22 0 2 +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∫=∫ = πuu u d uud y y y u 原式 注：用了 171页的例 13的结论。 (8) 162 4cos1 44 2sin cossincoscossin 4 2 0 4 2 0 2 4 2 0 2242 0 22 sin a d t ta d t t a t d ttat d tt at aa tax π ππ ππ = − == = ∫∫ ∫∫= = 原式 （9）原式 ( ) 4 1 4 1 2 )cot(1csc sin cos 2 4 2 4 22 4 2 2sin πππ π π π π π π −=++−=−−=−= ∫∫= = ttd ttd t t t tx （10）原式 3 2 2)(sin sin cos sectan sec 3 4 13 4 2 3 4 2 2tan −=−== − = ∫∫= π π π π π π t t t d t tt t d t tx 12 （11）原式 3 2 arctan2 )1( 2 3 0 3 0 2 π == +∫= = t tt t d t xt （12）原式= axa xa xad a a )13(3 3 )3( 2 1 2 0 222 0 22 22 −=−−= − − − ∫ （13）原式= 2 1 1 0 2 1 0 2 2 1) 2 ( 22 −−− −=−=−− ∫ ee t de tt （14）原式= )13(2ln12 ln1 )ln1( 22 11 −=+= + + ∫ e e x x xd （15）原式= 3 2 3 1 1sin3sin 3 1 )cos3(cos 2 0 2 0 =−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+∫ π π xxd xxx （16）原式= 3 4 )(cos 3 4 )(coscos2sincos2 2 0 2 3 2 0 2 0 =−=−= ∫∫ π ππ xxdxx d xx （17） 22sin2sin2 )cos(2cos2cos2 2 2 0 2 2 00 =−= −+== ∫∫∫ π π π π π π π xx d xxx d xd xx原式 （18）原式= e exd x e ee x x xx + +=+−= + −+ ∫ 1 2 ln1)]1ln([ 1 1 1 0 1 0 4、解：（1）原式=0； （2）原式= 2 3 22 1 4 3 8cos42 2 0 4 ππ θθ π ==∫ d 注：用了 183页例 11的 结论。（3）原式= 324 )(arcsin 3 2 )(arcsin)(arcsin2 3 2 1 0 32 1 0 2 π==∫ xxdx ； （4）原式=0。 5证明： )0()( 2 1 )( 2 1 )()( 2 1 )( 222 000 222 0 23 >== ∫∫=∫∫ = ad xxx fd uuu fxdxfxd xxfx aa xu aa 。 6、证明： ∫∫∫=∫ −− −−= − −=−=−− b b b b b b tx b b d xxfd ttfd ttfd xxf )()())(()( 。 7、证明： ∫∫∫=∫ −=−=−− −= aa a xat a d xxafd ttaftadtafd xxf 00 0 0 )()()()()( 13 8、证明： )0( 1111 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 21 1 2 1 1 2 > + = + = + − −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫∫∫∫=∫ = x x d x t d t t d t t t t d x d x xtt t x t x 注：本题改为 )0( 11 1 1 2 1 2 > + = + ∫∫ ax d x x d x a a 可能更好一些。 9、证明： ∫∫∫=∫ −=−=−−− −= 1 0 1 0 0 1 11 0 )1()1()1()1()1( d xxxd ttttdttd xxx mnnmnm xt nm 。 10、证明： ∫∫∫ += π π π π 2 2 00 sinsinsin x d xx d xx d x nnn （1） 又 ∫∫∫=∫ ==−− −= 2 0 2 0 0 22 sinsin)()(sinsin ππ π π π π ππ x d xt d ttdtx d x nnn tx n （2） （2）代入（1）得 ∫∫ = 200 sin2sin π π x d xx d x nn 。 11、证明一：令 ∫ + − = la la d xxfaF )()( ， 则 0)()()2()()()()( =+−+=+−−+=−−+=′ laflafllaflaflaflafaF 所以 =)( aF 常数，即 )( aF 与 a无关。 证明二： ∫∫∫∫ + − + − ++= la l l la la la d xxfd xxfd xxfd xxf 2 2 0 0 )()()()( （1） 又 ∫∫=∫ − −+=+ −=+ 0 0 2 2 )()2()( la la tlx la l d ttfd ttlfd xxf （2） （2）代入（1）得 ∫∫ = + − lla la d xxfd xxf 2 0 )()( ，即 ∫ + − la la d xxf )( 的值与 a无关。 12、证明：（2）令 ∫= x d ttfxG 0 )()( ,则 )()()()()()()( 0000 xGd ttfd uufudufd ttfxG xxx tu x −=−=−=−−=− ∫∫∫=∫ −=− 所以 ∫= x d ttfxG 0 )()( 是奇函数； （1）同样可证。 3333—5555习题解答 1、解：（1）原式= ( )∫ ∫ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++=−= Cm x m m xx m m x d xm xx m m xx d m cos 1 sin 1 sinsin 1 )(sin 1 （2）原式= Cet ed tet eet d ttttt +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−=−−=− −−−−− ∫∫ 22222 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 14 （3） Cttt t td tt t t d t tttt dtt +−+= − − += − −=−= ∫∫ ∫ 2 2 2 2 1arcsin 1 )1( 2 1 arcsin 1 arcsin)(arcsinarcsin原式 （4）原式= Cxxxxxd x x x xxxdx +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −−−−−=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −−=− ∫∫ )1ln(2 1 )1ln( 2 1 1 )1ln( 2 1 )()1ln( 2 1 22 2 22 （5） Cx xx d xx xx xdxxxxx d +−=−=−== ∫∫∫ 3 3 2 3 333 9 1 3 ln 3 1 3 ln ))(lnln( 3 1 )(ln 3 1 原式 (6) Cxx xx xd x x xx d x x x xxxx d +++−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −+ −= + −== ∫ ∫∫ )1ln( 6 1 6 1 3 arctan )( 1 11 2 1 arctan 3 1 ) 1 arctan( 3 1 )(arctan 22 3 2 2 2 3 2 3 33原式 （7） Cx x xx x d xxxxx d xxx dd xxx ++−= −−=−=−= ∫∫ ∫∫ cosln 2 tan tan 2 1 tan)(tan)1(sec 2 22原式 （8） Cxxxxxx d xxxxx xx dxxx d xxxxxdx +−+=−+= +=−== ∫ ∫ ∫ ∫ sin2cos2sincos2cos2sin )(cos2sinsin2sin)(sin 22 222原式 （9） [ ] Cxxxxx d xxxxxx d xxxxx dxx ++−= +−=−=−= ∫∫∫ 2ln2)(ln 2ln2)(lnln2)(ln)(ln)(ln 2 2222原式 （10） C x x x x xx d x x x xd xx x xx d + − + − = − − − = − − − =−= ∫ ∫∫ − 1 ln 1 ln )1(1 ln )(ln 1 1 1 ln ])1[(ln 1原式 （11） Cx x xxCxxxxx x d xx x x x xx dx x xx d xx xdx ++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−=+++−−= −+−−=+−−= −+ − −=−−= ∫∫ ∫∫ 2sin 2 2cos 2 3 2 1 2cos 4 1 2sin 2 1 2cos)1( 2 1 2sin 2 1 2sin 2 )1( 2 2cos )2(sin 2 1 )1( 2 2cos )1(2cos 2 1 2 2cos)1( )2(cos)1( 2 1 22 22 2 2 2原式 （12） Cxx x x d xx x xx dx d xx ++−= +−=−== ∫ ∫ ∫ 2sin 8 1 2cos 4 2cos 4 1 2cos 4 )2(cos 4 1 2sin 2 1 原式 15 （13） Cxx x C xx x x x x d x x x x x d x x x x x xdx +++−=+−−−= +−−=+−=−= ∫∫∫ − )2ln2(ln 12ln2)(ln 2 ln2)(lnln 2 )(ln )()(ln 2 2 2 2 2 2 12原式 （14） C xxe d x x e d x x e xxe x de xexe ed xxe d x x e x e x de x eed x d x x e x x x x x xx x x xx xxxx +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ⇒−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−= −−=+−= +−=−= − − − − − −− − − −− −−−− ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ 2 cos 4 1 2 (sin 17 8 2 sin 2 sin 16 1 2 cos 4 1 2 sin 2 2 cos 8 1 2 cos 82 sin 2 )( 2 cos 8 1 2 sin 22 cos 4 1 2 sin 2 1 ) 2 (sin 2 1 2 sin 2 1 )( 2 sin 2 1 2 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2222 所以 因为 (15) ( ) Cn x a n n x na a e n x d xe n x d xe a n n x a n n x a e n xde a n n x a n e n x a e en x d a n n x a e n x d xe a n n xe a n xde a xne a en x d a n x d xe a x a x a x a x a x a xa x a x a x a xa x a xa xa xa x +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⇒−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= +−= −=−= −== ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ cos(sinsin sincossin coscossin )(cossincossin 1 )(sin 1 sin 1 )(sin 1 sin 22 2 2 22 2 所以 因为 (16) CexCetd tet et d te xtttt xt +−−=+−=−= − −= ∫∫= 12 12 )112()1(原式 (17) ∫ ∫∫ ∫ +++=−+= +=+= + = Cxxx x x d xxx x xx d x x d xx x d x x x 2cos 8 1 )2sin( 4 2sin 4 1 )2sin( 4 )2(sin 4 1 4 2cos 2 1 42 2cos1 22 原式 (18) Cxxxxxxx dxx d x x xxxx +−−+=−+= − ⋅−= ∫ ∫ 2arcsin12)(arcsin)1(arcsin2)(arcsin 1 1 arcsin2)(arcsin 222 2 2原式 (19) Cxxd x x xxxdx +−++= + −++=++= ∫∫ ]2)1[ln(121 1 2)1ln(12)1()1ln(2原式 16 (20) ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ +−+−+= +−+=+−+=+ d xxaad xxaxaxx d xaxad xaxd xaxaaxd xaxx 2222222 3 22 2222 3 2222222222 3)( )()( 原式= ∫ +−+ d xxaaxax 2222 3 22 4 1 )( 4 1 …………(1) 令 t d tad xtax 2sec,tan == ， 得 ∫ ∫ ∫∫ ==+ t d tt dt d tt d tad xxa tansecsec,sec 33222 ∫−= t d tttt sectantansec 2 ∫ ∫+−= t d tt d ttt secsectansec 3 所以 ∫ ++++ + = cxax a xax t d t )ln( 2 1 2 sec 22 2 22 3 代入（1）式得： ∫ +++−+ + =+ cxax a xax xa d xxax )ln( 88 2 22 4 22 22 222 (21)原式 ∫ ∫ +−=−= xdx x xxxx dxx 1 arctan)(arctanarctan CxxxCxd x xd xx +−+=+− + += ∫∫ arctan)1()()(1 )( arctan 2 2、解：（1）原式 )1( 4 1 4 1 22 1 ln 2 1 2 1 2 2 11 2 +=−=−= ∫ ex e x d xxx e e e （2） 2 3 ln 2 1 9 3 4 1 )ln(sin 49 3 sin cos cot)(cot 3 4 3 4 3 4 3 4 +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=++−=+−=−= ∫∫ π ππ π π π π π π π π xd x x x xxxx d原式 （3） 46 2cos 4 1 2cos 4 1 6 2sin 2 1 2sin 4 1 6 2cos 2 1 2 1 2 2cos1 3 00 3 00 2 3 0 2 0 2 0 2 πππ π π π π π πππ −=+−= +−=−= − = ∫ ∫∫∫∫ x d xxx x d xxxxx d xxd xxd x x x原式 （4） 3 2ln )1ln2(ln 3 1 2ln 1