通采样定理两种表达方式之间的关系

!里堕窒兰鱼堕皇亘兰堂查笙坚皇三童兰竺墨星垒坌望垄墨兰查奎鎏堡奎叁 !!一 带通采样定理两种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达方式之间的关系 梁士龙 (中国航天科工集团公司二院25所，北京，100854) 摘要带通采样定理是射频／中频采样技术的理论基础，从而是数字接收技术和软件无线电 技术的理论基础之一。其基本出发点是从理论上寻找带通信号无混叠采样的最低采样率。在 科技文献中经常被引用的带通采样定理有两种表达方式。本文采用不等式方法证明了第二种 表达方式是第一种表达方式的一个特例：在此基础上，从采样后频谱分布的角度进一步分析 表明：在避免频谱泡叠的意义上，可以认为第二种表达方式是第～种表达方式的一个最佳特 例。 关键词带通采样定理数字下变频软件无线电 引言 根据奈奎斯特采样定理：一个频谱位于0～B的带限信号，其频谱不混叠的最低采样率 为2B。该采样率称为奈奎斯特率，对应于1／2奈奎斯特率的频率称为奈奎斯特频率，零到 奈奎斯特频率之间覆盖的带宽称为奈奎斯特带宽，采样信号的频谱在频域上被分割为无数个 奈奎斯特区，每个奈奎斯特区的宽度即奈奎斯特带宽的宽度。 数字接收机或软件无线电接收机要在射频或中频实现信号的数字化。射频／中频信号的 中心频率较高，覆盖范围较宽，一般在MHz～Gaz数量级之间，如果按奈奎斯特采样定理对 其进行采样，采样率显然要非常高，这既不现实，也无必要。 带通采样定理的基本出发点是从理论上寻找带通信号无混叠采样的最低采样率。带通采 样的提出可以追溯到1920s年代，由于时间的久远，很多资料已无从获取。从历史上看，似 乎是由Cauchy首先提出了带通信号采样的需求．Nyquist和Gabor间接提到了带通采样的 情况，Gaskell在他的著作中给出了带通信号无混叠采样在理论上的最低采样率⋯。在目前 查阅的文献中，带通采样定理有两种表达方式，文献[2]和[3]给出了带通采样定理的一种表 达方式．以加强不等式的形式给出无混叠采样率的可选区间。文献[4]和[53给出了另外一种 表达方式，以等式的形式给出了一个无混叠采样率．在数字接收机或软件无线电接收机的设 计过程中需要根据带通信号采样定理选择采样率，选择哪一种表达方式作为设计依据是设计 师要面对的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。本文利用不等式方法并从带通信号采样后频谱分布的角度分析了这两种表 达方式之间的关系。 二、 带通信号采样定理的一种表达方式 考察带宽为B、中心频率为fo、上限频率为岛、下限频率为fL的带通信号 s(t)=a(t)cos(2nfot+P) (1) 采样后信号的傅立叶变换为 丝 堂望墨登塞堡翌壁耋苎查苎查塑堕耋i!一 昂(，)=圭正；【彳(，一五一饥)e-s·'+A(，+五一媳)∥】(2) 其中，五为采样率a 从(2)式看出，带通信号采样后的频谱是采样前的频谱以采样率为间隔周期性地向频率轴 左右两侧延拓的结果。 3F’ 第k-1次 第k次 十 f 嚣 状十舅“飒 圈b【：：：：：：：：：：：：：：：：：：[：：：：：：：：：：=圈k么]—k}f 4u40dL 0 fL tofu 图1带通信号采样频谱示意图 参考图l，观察信号频谱的正向延拓过程，若要求在正向延拓第k-1个采样率间隔后，信号 频谱的下边带不与原频谱的上边带混叠，则必须满足， 五≥一无+(七一1)·五 (3) 若要求在正向延拓第k个采样率间隔后．信号频谱的下边带不与原频谱的上边带混叠，则必 须满足 厶≤一兀+k·五 (4) 综合(3)式和(4)式，可以得到带通信号采样定理的第一种表达方式： 中心频率为f0、上限频率为fU、下限频率为fL、带宽为B(不包括“和fL)的带通信 号，其频谱不混叠的采样率应满足： ，， ，， 兰，旦≤疋≤二，上 (5) k 。。 々一l k是一个整数，其取值范围满足下式： ， 1≤k≤fHfr上生J (6) B 其中，int(·)为取整运算。1。 图2是根据(5)式和(6)式绘出的带通信号允许采样率与频带位置的关系(用信号带 宽B对采样率fs和频谱上限fU作归一化处理)。图中阴影部分表示，如果带通信号的采样率 在该区域选择，则信号频谱将造成混叠。因此，无混叠的采样率只能在空白部分选取。 图2带通信号允许采样率与频带位置的关系 中田航空学会航空百年学术论坛电子专业委员会分论坛及学术交流论文集 从带通信号采样定理和图2可以看出以下三点： ①带通信号理论上的最低无混叠采样率不必高于上限频率fU的两倍，而只需稍高于信 号带宽B的两倍既可： ②当信号上限频率凡是信号带宽B的整数倍时，理论上的展低无混叠采样率为信号带 宽8的两倍；如果选择2B作为采样率，则采样率的允许偏差裕量为零，这意味着工程上的 任何不理想因素，都将会导致频谱混叠： ③k越小，采样率越高，采样率的允许偏差裕量越大，当k=l时(图中k=l的空白区 域，表示选择大于奈奎斯特率的频率作为采样率)，任何高于奈奎斯特率的采样率都不会引 起频谱混叠：k越大，采样率越低，采样率的允许偏差裕量越小，文献[2]进一步证明：采 样率的允许偏差裕量与k2成反比。在采样率较低时，可以在信号频谱的两侧增加保护问隔， 这等效为增加了信号带宽，从而可以使k值变小，等效地，增加了采样率的允许偏差裕量。 三、带通采样定理的另一种表达方式 文献【乱和嘀]给出了带通信号采样定理的另一种表达方式： 中心频率为fo、带宽为B的带通信号．其频谱不混叠的采样率为^：盟 。 “2ⅣZ一1 ⋯ 其中，NZ是采样后中频信号在频域上落入的某一个奈奎斯特区的序号，其取值范围为：从1 到使上式采样率满足Z≥2B的最大正整数。 这种表达方式主要从用内插方法实现正交采样的思想获取的“1。重写(1)式如下， s(t)=a(t)eos(2rOeot+qo) =1(0’cos2nfot+Q(t)tsin2rcfot(8) 其中，同相分量，(f)=口(f)cos9和正交分量Q(f)=一口(f)sin伊表示基带(视频)信息。 采样后的时域信号为 J，(行瓦)=∑口(珂五)cos洋．了4f0+妒) (9) H - JS 若4五／石为奇数，当n取偶数时 n ^ sp加五)=∑(一1)ja(nTs)cos‘o=(一1)iI(nTs)(10) 74 带通采样定理两种表达方式之间的关系 当n取奇数时 n十l n+I Sp@B)=∑(-1)Ta(nTs)sin·o=(一1)丁Q(nrs)(11) 从(10)式和(11)式看出：若4五／兀为奇数，则I、Q分量在采样后的信号序列中交 替出现。则采用合适的内插算法，校正两路信号在时间上的延迟．就可以得到完整的I、O 信号。既然4兀／五取奇数值．则可以表示为 整理上式得 盟：2NZ一1 js ，一4五 Js—。。2。。。N。。。。Z。。’。-。——1 (12) (13) NZ取使得上式的采样率大于信号带宽两倍的正整数．从而得到带通信号采样定理的另外 一种表达方式。 四、 两种表达方式之间的关系 文献[6]不加证明地给出了带通信号采样定理两种表达方式之间的关系： 孚s2ⅣZ4fo—l≤¨2fL ⋯)≈ 2Ⅳ_Z—l々一1 ⋯’ 且Nz与k的物理意义相同，即NZ=k。 这里利用不等式方法给出证明如下 因为兵=丢丽4A≥2B。所以 彬。尘罢一兀ⅣZS—j=业 B B (15) 中国航空学会航空百年学术论坛电子专业委员会分论坛及学术交流论文集 75 比较(6)和(15)式，可以看出NZ与k的物理意义相同，取值范围也相同，均为[i int(鲁)]，因此可以视为同一个参量。 要：'kY-2f七u≤24女L—l，照证竿≤丽4fo七 2七一l 整理上面的不等式得到 k≤立 B 而上式始终成立，因此(14)式的左侧不等式成立。 要证盟≤丝， 2k一1k一1只要证鲁s箬 整理上面的不等式得到． 七≤丘 占 而上式始终成立，因此(14)式的右侧不等式成立。证明完毕。 (14)式表明，用第二种表达式选取的采样率是用第一种表达式获取的采样率允许空 间内的一个值，即带通信号采样定理的第二种表达式是第一种表达式的一个特例。 利用如T=p心频率fo与采样率fs之比的关系 fofs=int(ff--。,)+mod哮)j五=int哮)正+m。d舞)工(-6) 其中int(·)为取整运算，mod(·)为取余数运算(模运算)。 把(2)式的采样后带通信号的频谱函数各项按k展开，得到如下展开式 胤去㈨，一fo)e-j_'+A(，+矗矿】 膏爿，击【名(厂一工一五弦-JP+A(／+五一石)P如】 1 k=-l,索[彳(，一fo+石)g咖+A(f+．to+五)8”】 带通采样定理两种表达方式之间的关系 ≈=叫妻)，击{彳If～2五+m。d(妻)^F押+彳盯+m咧妻)正】扩) 拈_int(套)，争{爿L厂一mod(套)兀矿”+彳L厂十2兀一mod(鼻)矗]e”) ⋯⋯ (17) 从展开式看出，当k=+int(A／A)时，频谱分量分布于±五／2之间．即：当 k=一int(fo／fs)时，上边带位于频率轴上mod(L／五)办处；当七=+int(fo／4)时，下 边带位于一mod(fo／fs)五处。图3给出了采样后在零频附近一个采样率间隔内的信号频 谱。 S(f) -fo 0 f0 ’ 图3带通采样信号的频谱分布 若采样率满足带通采样定理的第二种表达方式，即五=4fo／(2NZ一1)，则信号中心 频率与采样率的比值为fo／A=2NZ一1／4，当NZ为奇数时，mod(foIA)=1／4，信号频 谱上边带落入第一奈奎斯特区·其中心频率位置为mod(fo／五)兀=兀／4，如图4a所示 当Nz为偶数时，mod(fo／A)=3／4，信号频谱上边带落入第二奈奎斯特区，其中心频率位 置为mod(fs)五=3A／4，如图4b所示。 从图4可以看出，当采样率的选取满足带通信号采样定理的第二种表达方式时，信号 频谱的中心频率正好落在奈奎斯特区的中心位置。可以最大限度地保证采样后的频谱最不容 易发生混叠·因此，从避免频谱混叠的意义上看，可以认为：带通信号采样定理的第二种表 达方式是第～种表达方式的一个最佳特例。 !璺堕窒兰叁堕皇亘兰兰苎堕堡皇三羔些墨墨叁坌丝堡墨兰垄奎墨塑兰苎—————————————：!一 五、结论 S(f) S(f) aNz为奇数 bNZ为偶数 图4满足(7)式对的带通信号采样后的频谱分布 在科技文献中经常被引用的带通采样定理有两种表达方式。在数字接收机或软件无线电 接收机的设计过程中需要根据带通信号采样定理选择采样率，选择哪一种表达方式作为设计 依据是设计师要面对的问题。本文采用不等式方法证明：第二种表达方式是第一种表达方式 的一个特倒：从采样后频谱分布的角度进一步分析表明：在避免频谱混叠的意义上，可以认 为第二种表达方式是第一种表达方式的一个最佳特例． 这个结果表明：在设计数字中顿接收机时，采用中额采样定理的两种表达方式都是有效 的；不同之处在于，如果采用第一种表达方式选择采样率．需要进一步分析所选采样率在无 混叠采样率可选空问中的位置，以便确定无混叠采样率的工程裕置。如果采用第二种表达方 式，则所选的采样率保证无混叠采样率的工程裕量最大。 参考文献 n]J．D．Gaskell．LinearSystams,FourierTransfoz口s,and印tics．Ne*York：Wiley，1978 [2]RodneyG．Vau曲∞．NeilhScott．D．Rod胁ite．TheTheoryofBandpassSampling．IEEETrans． OnSignalProcessing．1991．39(9)：1973’1984 ￡3]徐佩段黄胜华编著。曩暇耀蔗厦j醴中置科学技术大学出版社．1989 [4]杨小牛楼才义徐建良著．靳群盂鳍嗜箭彦与应羁电子工业出版社．2001 [5]HighSpeedDesignTechniques：Section4：HighSpeedSamlllingandHighSpeed^Dcs．ADI， 1996． Is]马晓岩向家彬编著．番选售号处{基湖南科学技术出版社．1999 带通采样定理两种表达方式之间的关系 作者： 梁士龙 作者单位： 中国航天科工集团公司二院25所(北京) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Conference_5200840.aspx 下载时间：2009年9月25日