“麻彩”揭秘--数理统计方法应用案例研究

数理 医药学杂志 2005年第18卷 第6期 文章 编号 ：1004—4337(2005)06—0613—02 中图分 类号 ：0211．67 文献标识码 ：A “麻彩’’揭秘 数理统计 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 应用案例研究 周业明 钱 俊 (海军兵种指挥学院信息与决策教研室 广州510430) 摘 要： 运用数理统计方法 ．对“五人麻将”游戏问题进行数学建模 ．得到一个颇有实际意义的结论 。 关键词： 概率； 条件期望； 数学建模 1 引言 当代 社会面临诸多重大 问题 ，如人 口、能源、环境 等 。随着 某些 问题 的不 断恶 化 以及科学技 术 的不 断发展 ，医疗 卫生 事 业呈 现出欣欣 向荣 的发 展局面。无论 是在药学 ，还是在 预防 医 学 、基础 医学 以及临床 医学 的研 究与 实践 中，都 会得 到海量 、 异质 的数 据信息 ，这些 信息中蕴含着很 多潜在的数量 规律 。在 探索这些 规律过程 中，数学建模发挥着越来 越重要 的作用 。多 年来 的实践 显示 ：数学建 模是数学 知识 和应用 能力共 同提 高 的最佳 结合点 ；是 激发学 习欲望 ，培养 主动探 索 、努力进 取 学 风 的有力 措施 《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施 ；也 是启 迪创 新 意识 和创 新思 维 、锻炼 创 新 能 力、培养高层次人才的一条重要途径。与此同时，数学建模对 我们 的医 药学 人才 的数学 知 识提 出了更 高的要求 。近 现代数 学有关 知识正 在 医药学领域 中得到 越来越 广泛 、越来 越深 入 的应用 。本 研究是 利用数 理统计 的方 法找 出 医药学领 域之 外的一个实际问题中蕴涵的数量规律 ，以此抛砖引玉，呼吁医 学 工作者要善于运用所 学知识 ，对实 际问题进行 数学建模 ，发 现 其中的规律 。特别是概率统计 中有 个重要命题 ：条 件期 望 的 期 望 等 于 (无条 件)期 望 ，尽 管 比较深 刻 ，但 在实 际 中十 分有 用 ，对 我们 的 医学研 究工 作也 不例 外 ，用好 它 一定 会受 益 匪 浅 。 2 问题的提 出 如今，利用业余时间参加一些有益的娱乐健身活动，如打 牌、下棋、跳舞等，成为人们生活中不可或缺的一部分。麻将游 戏就是其中一些人的爱好，有的通过上网达到这一需求。不同 的地方打法 也不尽相同 。例 如 ，现在好 多地方 出现 了一种所 谓 的“五人麻将”：其中四人直接参与比赛，另外一人先从136张 麻将牌中随机地抽取一张牌，待一次游戏结束后翻出此牌，看 这 张牌对应 的是 哪一家 (对 应关系见 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 1)，然后按照 事先规 定 进行积分。 表1 每 张牌 与各家对应表 · 成果应用 · 注：对应东、南、西、北 家的牌 分另q有4O、32、32、32张。 这样先 抽牌 而后 积分 的方法 ，与平常大 家买 彩票 比较类 似 ．我们 姑且称它 为“麻 彩”。众 所周知 ，平 常的彩 票活动 是作 为一种公益活动而展开的，从对买彩票的人 自身意义上讲可 以说有些不“公平”，因为如果把投入的资金看作是中负彩，那 么 中彩 的期望永 远小于 0 1但是 ，对 于平时这 样 的麻 将游 戏活 动 ，我们应 尽量体 现“公 平 ”原则 。有人 曾问过 笔者 ：五人麻 将 “公平”吗?经 过认 真思 考 ，笔者 利用数 理统计 的知 识，通 过数 学 建模的方 法，给 出这一 问题 的回答 。 3 “麻 彩”数学建模 3．1 原理与方法 3．1．1 条 件期 望 的定 义 条件 分布的数 学期 望称 为条件期 望 ，即 E(X1y)一 f∑z P(X=x．mY=y)，当(x，y)为二维离散随机变量 J· 1 f + ∞ l l ly)dx，当(x，y)为二维连续随机变量 l ’ 一 ∞ 其中P(x=z ly— )为在给定 y— 下 x的条件分布，户(z l )为在 Y=y下x 的条件密度函数。 3．1．2 重要命题 条件期望 的期 望等 于(无条件 )期 望 ，即 E[E(x ly)]=E(x) 在不少场合 ，直接计算 E(x)是很困难的，而在限定变量 y(与 x有关的量)的值之后，计算条件期望 E(xl )则较为容 易。因此，可以分两步求 E(x)：第一步借助 Y=y下 x条件分 收稿 日期 ：2005—04—30 # 华南理工大学数学科学学院在读 * 南方医科大学数学系 ·613· 维普资讯 http://www.cqvip.com Journal of Mathematical M edicine Vo1．18 NO．6 2005 布和固定的Y值计算条件期望 E(Xl )；第二步再把 Y看作 y 的取值，E( l )看作 Y— 时 取值的平均，借助 y的分布 再求一次期望，先后两次期望即得。 3．2 模 型假设 由于麻 将打法五花八 门，不便全部加 以研究 ，这里仅 考虑 其 中一种较为简单 的情形 ：必须“自摸 ”才能“糊 牌”。感兴趣 的 读者 同样可对其 他情形加 以研究 ．类似也 能得到相应 的结论 。 对 于必须“自摸 ”才能“糊牌 ”情形下 的“麻 彩”问题 ，我们作 出 如下的假设 ： ① 洗牌均匀，不考虑运气因素； ② 每个人的技术水平发挥稳定； ⑧ 谁“糊牌”谁做东家。 3．3 模型的建 立与求解 设直接参与打牌的四人为甲、乙、丙、丁，“抽彩”者为戊。 在必须“自摸 ”才能 “糊 牌 ”情 形 下规 定 ：当戊抽 中对应 于 “自 摸”方的牌时积3分(此时“自摸”方也积3分，其他三人均积一2 分)，否则 积 一 1分 (此 时“自摸 ”方 积4分 ，其 他 三人 均 积 一1 分 )。因此 “抽彩”者戊 的积 分是一个随机变量 ，记为 ，即 ， f 3， 戊抽中对应于“自摸”方的牌 【 一1， 其它 另外 ，定义随机变量 y： f 1：甲为东家 I 2：乙为东家 I 3：丙为东家 【 4：丁为东家 设事 件“甲、乙、丙 、丁 ‘自摸”’分别为 A ，A 、A。、A ，其概 率分别 为 户t，Pz，户s．户 ，则 P。+户z+P。+P =1。事件 “戊 抽 中 对应于 甲、乙、丙、丁的牌 ”分别为 B ，B ，B。，鼠 。 由事 件 AlBl、A2B2、A3B¨ A B 互 斥且 A 与 B ( =1，2， 3，4)与相互独 立可知“抽彩”者戊 积3分 的概率 为 ： 、] 、] 、] P( 一3)一P(厶 A B．)一 厶 P(A B )一厶 P(A )P(B ) 由事件 A1百1、A2百2、A3西3、A 百 互斥 且 A．与 百 ( 一1，2， 3，4)相互独立可得戊积 一1分的概率 ： ] ] 1 P(x一一1)=P(厶 A 百．)一厶 P(A．百 )一厶 P(A )P(百．) 若 已知 甲为东家 ，则戊积 3分 的概率 即为 ： P(x一3IvY----1)一 + + + )= 。 +户z。 + + 一 10户 +丢户z+丢户。+ 户． = (8+ 2p1) 积 一1分的概率为 ： P cx— 一 一P s"Iv= 136+ 象13+ 畿136+ 136 P(x一一1 1)一 +户2· +户3· +户。· 6 ·614· 24 ．26 ．26 26-v 户l十 户z十 P3-]- -vP· 玄 26—2p1) 由条件期望的定义，在已知甲为东家的条件下，戊的积分 的条件期望为 ： E(XlY一1)一3·P( 一3ly一1)+(一1)·P( 一一1lY一1) = 3· (8+2p1)一 (26—2p1) 一 责 8户l一2 同理，在已知乙为东家、丙为东家、丁为东家的条件下，戊的积 分的条件期望分别为： E( ly一2)一亩(8pz一2) J E( ly一3)一 (8ps一2) J E(XIY一4) ~-(8p-一2) 从而，由3．1．2重要命题得 E(x)一E[E(X Iy)] =E(XlY一1)·P(y一1)+E( Iy一2)·P(y一2)+E( Iy一 3)·P(y一3)+E( IY一4)·P(y一4) 一 击(8户1--2)·户t+去(8户z一2)·户 +去(8 一2)·户。+ 亩(8户 一2)‘P· 一 击[8(p}+户；+户；+户：)一2] 上式中 P(y= )一P ( 一1，2，3，4)是由假设③得出的。 3．4 结论 由于户 2TP 2T 。2TP．2≥ 一{，因此E ( )≥0。等号当且仅当Pl—Pz—P。一P 一÷时成立。 这就 是说 ，只有在 四个人技 术水平一样 的情 况下 ，“抽彩” 者积 分的数 学期望 才为0，此种情 况极 为罕见 ，绝大多数 情况 下，直接参与打牌的四个人技术水平是不一样的，这时“抽彩” 者积分的数学期望大于0。从这种意义上讲，这样的五人麻将 是不太“公平”的，它对“抽彩”者有利，对直接参与打牌的四人 中技术水平差的人不利，毕竟，“抽彩”者的积分与直接参与打 牌的 四个人的积分是息息 相关的，他们的积分和总是0。 参 考 文 献 l 景荣荣，张文祥．药物动力学模型的发展对数学教学的启示——数 学应用案例研究．数理医药学杂志，2004，17(4)：380． 维普资讯 http://www.cqvip.com