第八章弹性体的应力和应变

369 第八章弹性体的应力和应变 8.1.1 一钢杆的横截面积为 4 25.0 10 m−× ，所受轴向外力如图所示，试计算 A、B，B、C和 C、D之间的应力. 41F 6 10 N= × ， 42F 8 10 N= × ， 43F 5 10 N= × ， 44F 3 10 N= × 。 [解 答] 建立坐标系 O-x，水平向右为正方向，作垂直于 Ox的假想截面 1 2 3s ,s ,s 于 AB间 E处， BC间 G处，CD间 H处. 4 21 2 3s s s 5.0 10 m−= = = × 以杆的全部为隔离体。受力 1 2 3 4F ,F ,F ,F v v v v 杆所受合力 1 2 3 4F=F F F F+ + +∑ v v v v v X轴上投影： 1 2 3 4F F F F 0− + − + = v v v 合力为零，杆平衡。 在以杆的 AE部为隔离体，受力 1F v ， 1s 面外侧对它的应力 1σv 根据平衡方程 811 1 F ˆ1.2 10 n s σ = − = × v v 由于 1σv 与 X轴同向， 8 21 1.2 10 (N / m )σ∴ = × 为拉应力。 在以杆的 AG部为隔离体，经过同样 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 可得： 8 2 2 0.4 10 (N / m )σ∴ = − × 为压应力 最后以杆的 AH部为隔离体，经过同样分析可得： 8 2 3 0.6 10 (N / m )σ∴ = × 为拉应力。 8.1.2 利用直径为 0.02m 的钢杆 CD 固定刚性杆 AB.若 CD 杆内的应力不得超过 7 max 16 10 Paσ = × .问 B处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）. [解 答] 以杆 AB 为隔离体。受力 F,T v v ，建立坐标系 A xy,z− 轴如图。根据刚体平衡时 M 0i =∑ v ，在 z 轴方向投影方程为： 2 2 0.81.6F 1.0 T 0 1.0 0.8 − × × =+ 得到F=0.39T 对 CD，因 7 2max 1.6 10 (N / m ),σ = × 故 2max maxT rσ π= T v y x F v A C D B1.0m 0.6m 0.8m 370 所以 4max maxF 0.39T 1.96 10 (N)= = × 8.1.3图中上半段为横截面等于 -4 24.0 10 m× 且杨氏模量为 106.9 10 Pa× 的铝制杆，下半段是横截面为 4 21.0 10 m−× 且杨氏模量为 1019.6 10 Pa× 的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为 77.8 10 Pa× ，钢杆内允许的最大 应力为 713.7 10 Pa× .不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸 长量. [解 答] 对于铅杆允许最大内力为 4 max1 max1 1F s 3.12 10 (N)σ= = × 对于钢杆允许最大内力为 4 max 2 max 2 2F s 1.37 10 (N)σ= = × 所以杆的最大承受能力是： 41.37 10 (N)× 根据胡克定律。在力 4F 1.37 10 (N)= × 的作用下铅杆伸长量为 1�l 1 1 1 1 1 1 1 1 FF Y s s Y = =�l lQ �ll 故 同理钢杆的伸长量为 22 2 2 F s Y = l�l 所以总的伸长量 31 21 2 1 1 2 2 F F 2.89 10 (m) s Y s Y −= + = + = ×l l�l �l �l 8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂.电梯质量为 500kg.最大负载极限 5.5kN.每根钢 索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的 70%，若电梯向上的最大加速度为 g/5, 求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为 86.0 10 Pa× . [解 答] 以电梯和最大负载为物体系，受力 1 2 1 2W W (m m )g+ = + v v v 由牛顿第二定律： 1 2 1 2 1 2 gF (m m )g=(m m ) 5 6gF (m m ) 5 − + + = + F v 3m 2m 371 对某根钢索，根据 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意 8 2 max 2 max max 6.0 10 (N / m ) dF ( ) 2 σ π σ = × = max 2 max 1 2 3 max 0.7F F F d( ) 0.7 2 6g(m m ) 4 5d 6.15 10 (m) 0.7 π σ πσ − = ∴ = + × = = × Q 8.1.5 (1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε .此材料的泊松 系数为µ .求证杆体积的相对改变为 0 0 V V (1 2 ). V ε µ− = − 0V 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示原来体积，V表示变形后的体积. （2）上式是否适用于压缩？ （3）低碳钢杨氏模量为 10Y 19.6 10 Pa= × ，泊松系数 0.3µ = ，受到的拉应力为 1.37Paσ = ，求杆体积的相对改变. [解 答] （1）设杆长为 0l ，横截面积的二边长为 0 0a , b 。 1 εµ ε= ，（ 1ε 为横向应变，ε 为长应变） 拉伸时ε 〉0， 1ε 〈 0 故 1ε µε= − 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 v v ( 1) ( 1)a ( 1)b a b v a b ε ε ε− + + + −= l ll 2 1 2 2 2 ( 1)( 1) 1 ( 1)(1 2 ) 1( 2 (1 2 ) ε ε ε µ ε µε ε ε µε ε µ = + + − = + + − − = − = − 展开略去 项) （2）压缩时 1 10, 0,ε ε ε µε< > = −仍有 所以上式对压缩时亦适用 （3）根据胡克定律 Yσ ε= 所以 Y σε = O x F v 372 故 120V V (1 2 ) 2.8 10 V Y σ µ −− = − = × 8.1.6 （1）杆受轴向拉力 F，其横截面为 S，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ ， 试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为 F( ) S x xσ γ= + （2）杆内应力如上式，实证明杆的总伸长量等于 2F SY 2Y γ= +l l�l [解 答] （1）建立坐标系 o—x如图，在 x处 作垂直于 ox 轴假想截面 s,以 x 0 x=x= 到 的一段杆为隔离体， ˆF, W=-rsxi, r r受拉力 重力 s面外侧内力 ( ) ( ) ˆˆP sn six xσ σ= =v 由平衡方程 F W P 0 + + =v v v ( )F r s s 0x xσ− − + = 则 F( ) r s x xσ = + （2）根据胡克定律: n 0 F(x) Y , Y s σ ε= = �ll 则 (x) Y x σ = �l� → d (x) dx Y σ=l 所以 2 0 (x) F rd dx Y sY 2Y σ= = +∫ ∫ l l ll （ l为杆长） 8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为 2S 90cm= 。 二刀口间的垂直距离为d 0.5cm= 。当剪切力为 5F 7 10 N= × 时，求 （1）钢板中的切应力， （2）钢板的切应变， （3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切模量 10N 8 10 Pa= × 。 [解 答] （1） 2S 90cm= ， 剪切力 5F 7 10 N= × 。根据切应力定义： 373 钢板中的切应力为 7 2F 7.78 10 (N / m ) s τ = = × （2）根据剪的胡克定律 Nτ ψ= 钢板的切应变 49.7 10 (rad) N τψ −= = × （3）根据剪切应变的定义 d ψ = �l ，则 6d 4.9 10 (m)ψ −= = ×�l 8.3.1 一铝管直径为 4cm，壁厚 1mm，长 10m，一端固定，而另一端作用一力矩50N m⋅ ， 求铝管的扭转角θ。对同样尺寸的钢管在计算一遍。已知铝的剪切模量 10N 2.65 10 Pa= × ， 钢的剪切模量为 10N 8.0 10 Pa= × [解 答] 设管直径为 D，壁厚为 d，管长为 l，外力矩为M。 根据切应力的定义，注意到D d� 有： 切应力 2 M 1 2M D / 2 Dd D d τ π π= ⋅ = 根据剪切的胡克定律 2 2M N N D d τψ π= = 则扭转角 3 4 4 M D / 2 D dN θ π= = l l （1）对于铝管取 10N 2.65 10= × 得： 3 4 M 0.376(rad) D dN θ π= = l （2）对于钢管取 10N 8 10= × 得： 3 4 M 0.124(rad) D dN θ π= = l 8.3.2 矩形横截面长宽比为 2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲。各以横截面的长和宽作 为梁的高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。 [解 答] 设梁横截面长为 0a 2d,= 宽 0b 3d= 。根据公式 31 12Mk= R Ybh= 有 3 1 Y3d(2d)R 12M = 3 2 Y2d(3d)R 12M = ， 374 所以 1 2 R 4 R 9 = 8.3.3 某梁发生纯弯曲，两长度为 L，宽度为 b，厚度为 h，弯曲后曲率半径为 R，材料杨 氏模量为 N，求其总形变势能。 [解 答] 建立坐标系 O—z，竖直向下为 z轴正方向，原点 O位于中性层内。因压缩拉伸弹性 势能密度 0 2P 1E Y 2 ε= 。 所以对于 zd 一层： (R z) R zθ θ θ= + − =�l ，原长L=Rθ 则 z z L R R θε θ= = = �l 故 2P 1 zdE Y( ) Lbdz 2 R = 因此总形变势能为： 3h/2 h/2 2 P P 2-h/2 -h/2 1 z YLbhE = dE Y( ) Lbdz 2 R 24R = =∫ ∫ 基本训练 填空 1， 若杆长为 0ι ，绝对伸长为 ι∆ ，且各部分长变均匀，则长应变的表达式为 （ 0ι ι∆=ε ），若杆结构均匀，所受张力均匀分布在横截面上，则正应力的 表达式为（ S N S F==σ ），在比例限度内，正应力与长应变的关系为 （ εΥ=σ ），长变的弹性势能为（ V2 1E 2p εΥ= ），势能密度为（ U= 2 2 1 εΥ ）。 2， 通过弹性体内某一个面元的切向内力与该面元的面积之比称为（ 切应力 ）， 当内力在上下底面上分布均匀时，则切应力可以表示为（ S/FS N==τ ）， 在一定的限度内，切应力与切应变的关系为（ α=τ G ），式中α为（ 切 375 应变 ）。切变的势能为（ VG2 1E 2p α= ），切变的势能密度为（U= 2G2 1 α ）。 3， 扭转角与母线的倾斜角之间的关系为（ ια=θa ）；扭转角与与扭转力矩的 关系式为（ L Ga 2 4π ι=θ ），最大切应力表达式为（ 3max a L2 π=τ ）。 4， 梁的弯曲程度，常用中点下降的距离 y表示，y被称为（挠度 ），若梁的横 截面积为矩形，宽度为 b高度为 h，二支承点之间的距离为ι，则挠度可表 示为（ 3 3 bh4 Qy Υ ι= ）。 5， 在长变中的胡克定律可表述为（ 在比例限度内，正应力和长应变成正比 ）， 其表达式为（ εΥ=σ ），式中σ表示的是（ 正应力 ），式中ε表示的是（ 长 应变 ），式中Υ表示的是（ 杨氏模量 ）。 6， 切变的胡克定律可表述为（ 切应力与切应变成正比 ），其表达式为 （ α=τ G ），式中τ表示的是（ 切应力 ），式中 G表示的是（ 切变模量 ）， 式中α表示的是（ 切应变 ）。