33.有限元方法

null有限元有限元研究生专业课2013年3月第三章 有限元 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 第三章 有限元方法两点边值问题的有限元方法 用Ritz法建立有限元方程 用Galerkin法建立有限元方程 二维边值问题的有限元方法 三角剖分与分片插值 单元分析与总体合成 积分计算 有限元方程的求解本章内容安排本章内容安排第9次： §3.1 两点边值问题的有限元方法 ——用Ritz法建立有限元方程 第10次：§3.1 两点边值问题的有限元方法 ——用Galerkin法建立有限元方程 第11次：§3.2 二维边值问题的有限元方法 ——三角剖分与分片插值 ——单元分析与总体合成 第12次：§3.2 二维边值问题的有限元方法 ——积分计算 ——有限元方程求解null 有限元法是在Ritz方法和Galerkin方法的基础上作进一步改进而得到的近似法，其特点是应用样条函数提供了一种选取“局部基函数”或“分片多项式空间”的新技巧，克服了Ritz-Galerkin方法选取基函数的困难。有限元法和差分法并列，成为一种有效的求解微分方程定解问题的数值方法。 有限元的求解步骤： (1).将边值问题转化为变分问题，一般转化为Galerkin形式：求uV，使得 A(u,v)=F(v), v V如果如果A(u,v)对称，可采用Ritz形式：求uV，使得null (2).对求解区间I或者区域作剖分，使I或者为有限个单元的和。 (3).构造基函数或单元形状函数{i}。 (4).形成有限元方程： (5).提供有限元方程的有效解法，得到有限元解 (6).进行误差分析。§3.1 两点边值问题的有限元方法§3.1 两点边值问题的有限元方法 考虑两点边值问题：其中 p(x)p0 >0 , q(x)>0, p(x)C1( I ), q(x), f(x) C( I), I=(a, b), >0已知, 已知。3.1.1 用Ritz法建立有限元方程3.1.1 用Ritz法建立有限元方程1. 变分问题 令 V={v|vH1(I),v(a)=0} (3.1.4)(3.1.5)则边值问题P的Ritz广义解为：求uV, 使得(3.1.6)定义V上的二次泛函null2. 有限元近似（1）构造广义解空间V的有限维子空间 Vh 对区间 I 作网格剖分，得分点x0x1…xi-1xi…xn并称小区间ei=[ xi-1 , xi ]为单元。令单元长度hi=xi-xi-1 ，并记null 这里V的有限维子空间Vh以这种方式构成：它是由在每一个单元上为自变量的多项式，在整个区间[a,b]上连续，在x=a取值为零的全体函数构成，并称其为试探函数空间。 最简单的情形是Vh的每一个函数在单元 ei 上均为线性函数，目标是：求uhVh , 使得(3.1.7)（2）线性函数的构造 设uh(x) 在节点x0 , x1 , …,xi-1 , xi , …, xn-1, xn 处的取值为 u0 , u1 , …,ui-1 , ui , …, un-1, un ,则可以求得ei上的线性函数：null即null将 uh 带入下式得到null为简化计算，作仿射变换则e=[0,1]，且令 N0()=1-  , N1()= , [0,1]则在 e=[0,1]上这时 x=xi-1+hi , 代入下式nullnull令则可知J(uh)是关于u0,u1,…,un的二次函数。null根据极值原理，在J(uh)的极小点处有由得令并规定则有：null即：这是一个线性方程组，引入向量、矩阵得到线性方程组：其中K是对称三对角矩阵, 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术上称其为总刚度矩阵，称F为总荷载向量。null（3）有限元方程的求解求解线性方程组：得到u1 , u2 , … , un ,进而得到边值问题(P)的广义近似解uhVh ，且满足 uh(xi)=ui, i=1,2,… , n ，结构如下：null（4）总刚度矩阵和总荷载向量的形成 从以上的讨论可知，利用有限元方法求解边值问题P时， (i) 先把(P)化为相应的变分问题; (ii) 然后通过剖分插值的方法构造广义解空间V的有限维子空间Vh ; (iii)在Vh上求泛函的极值，得到一个线性方程组Ku=F，解出向量u就求出了边值问题的近似解uhVh 。 因此，如何形成总刚度矩阵K和总荷载向量F就成为有限元方法的关键之一。 下面就来介绍单元“贡献”和线性叠加的方法，以利于在计算机上实现。这种方法分为单元分析和总体合成两步。null已知：令A(i)、b(i)的元素都是ei上的积分，于是下面将A(i)扩充为n阶方阵：nullb(i)扩充为n维向量并记null于是令?null则即(3.1.9)于是，当泛函J在uhVh达到极小时必有：(3.1.10)几点 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 null 1）总刚度矩阵与荷载向量的计算步骤 （i）单元分析：在单元ei(1in)上计算积分，得到A(i)和b(i)。 （ii）总体合成：把算出的A(i)和b(i)作叠加,形成A和b。 2）由P(x)p0>0, q(x)>0可以证明K是一个正定矩阵，因而方程组(3.1.10)有唯一解。 3）引入双线性形式和线性泛函则有本节内容完 可以证明A(u,v)、F(v)满足Lax-Milgram定理，这时A(u,v)的正定性通过矩阵K 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出来(可以证明K是正定的)，因此应用有限限元法得到的离散化问题仍然保持了原问题的良好性质，这正是用有限元法求解椭圆型方程的一个优点。本节内容完习题 3-1-1习题 3-1-1 一、有限元方法的有限维子空间是如何构造的？ 二、刚度矩阵和荷载向量是如何形成的？ 三、有限元方法计算边值问题的近似解有什么优点？ 四、如果椭圆方程的第一类边界条件是非齐次的，应如何处理？ 五、试证明刚度矩阵K是正定的。 null3.1.2 用Galerkin法建立有限元方程 给定两点边值问题：其中 p(x)p0 >0 , q(x)>0, p(x)C1( I ), q(x), f(x) C( I), I=(a, b), >0已知, 已知。 在这里我们从Galerkin意义的广义解出发建立有限元方程。null设 V={ v | v H1(I), v(a)=0}，任取v V，乘以(3.1.1)两端并在I=(a,b)上积分：由得到null令得到变分方程：求 u V，使得A(u,v)=F(v) ， v V (3.1.11) 下面构造V的有限维子空间Vh，使得Vh=span{1(x)，2(x)，…， n(x)}子空间Vh的形成按以下步骤进行： 1）剖分区间 I=[a,b]null 2）构造基函数（这里构造简单的山形函数）null易知：i） i(xj)=ij， i , j= 1 , 2 ，… , n，由此可证得 {i(x)}是线性无关的。 ii） i(a)=0 ，i=1，2，…，n。说明 Vh=span{1(x)，2(x)，…， n(x)}V。 假设在xi处u(x)的值为ui(未知)，则在Vh中u V的近似解为 (3.1.12)从而得到近似变分方程：求uh(x) Vh , 使得 A(uh,v)=F(v) ， v Vh (3.1.13) 将(3.1.12)代入上式并取v= i(x) , j=1，2，…，n，得到null(3.1.14)null(3.1.14)要求解此方程组，首先需要计算出系数矩阵K和常数向量F . 而根据 1(x)，2(x)，…， n(x) 的结构，可知而且当|i-j|>1时， i(x)  j(x) 0，x [a,b]。null这时方程组的系数矩阵null系数矩阵称为三对角矩阵，此时只需要计算 A(i-1 , i)、A(i , i)、A(i+1 , i+1) 当i=2, 3 ,…, n-1 时，由得到作仿射变换null可将 e1,e2,…,en 变成标准单元e=[0,1]。引入函数null由得i=2,3,…,n-1i=1,2,…,n-1nulli=1,2,…,n-1再根据得到null代入下式得到相应的线性方程组(3.1.14) 可以看到，从Galerkin方法推导出的有限元方程与从Ritz方法出发推导出的有限元方程是一样的。不过,当A(u,v)不对称时,无法从Ritz方法求解边值问题，因此，Galerkin方法比Ritz方法更有普遍性。null 1) 按照以上构造子空间的方式，V的有限维子空间Vh为Vh=span{ 1(x)，2(x)，…， n(x) } （3.1.15） 与前面Ritz方法建立的空间Vh是同一个空间，当时只是没有明确给出Vh的基 { i(x) } 。几点说明： 我们称Vh为有限元空间，或者有限元解uh(x)的试探函数空间。 如果用(3.1.15)形式表示的Vh通过Ritz方法建立有限有限元方程，则所得的结果是前后一致的。null 2）虽然基函数{ 1(x)，2(x)，…， n(x) }张成有限元空间，而且有了它们之后通过 A(i , j)可以计算总刚度矩阵K和总荷载向量F。 但是，{i}的表达式一般比较复杂，因此，在实际计算时采用单元的形状函数N0()和N1()。 一则可以通过它们构造基函数；二则可直接用它作单元分析以合成总刚度矩阵。总之，只要构造出单元的形状函数，就等于给出了有限元空间Vh。习题 3-1-2习题 3-1-2 一、如何将一维边值问题通过Galerkin方法转化为变分方程？ 二、如何构造V的具有线性基函数的有限维子空间 Vh=span{ 1(x)，2(x)，…， n(x) } ？ 三、如何通过基函数求出总刚度矩阵K和总荷载向量F? 四、完成习题P421第一题。 §3.2 二维边值问题的有限元方法§3.2 二维边值问题的有限元方法 前面我们用有限元方法求解两点边值问题，用到了变分原理、剖分插值构造有限元子空间、通过单元分析和总体合成形成总刚度矩阵和总荷载向量，但却没有把有限元方法对于复杂区域的适应性表示出来，因此下面介绍的二维椭圆型边值问题将体现这一优点。 所给的边值问题为：其中是R2上有界区域，边界充分光滑，且0  1=， 系数a(x,y)a0 >0 , c(x,y) 0, f(x,y) ,(x,y)足够光滑。null引入Sobolev空间 H1()的子空间：（3.2.4）双线性泛函：线性泛函：则边值问题P的Ritz意义下的广义解为：求uV，使得(3.2.5)其中边值问题P的Galerkin意义下的广义解为：求uV,使得(3.2.6)下面从Galerkin方法出发求变分方程(3.2.6)的近似解。3.2.1 三角剖分与分片插值3.2.1 三角剖分与分片插值1. 区域剖分从Galerkin方法出发求变分方程(3.2.6)的近似解，需要构造V的有限维子空间Vh，然后求： uVh，使得(3.2.7)下面就通过单元剖分，构造插值函数建立有限维空间Vh 。 将二维区域剖分成一系列子区域时可以有多种多样的形式，如矩形、四边形、三角形等。由于三角形单元简单，对区域的适应性强，本节将重点介绍三角剖分。null 设的边界充分光滑，且不是由折线段组成，则采用裁弯取直的方法，以某条适当的折线h逼近 。设h围成的区域是h，则用h接近用接近 ， h逼近且记 h(0) ： h上对应的部分0 h(1) ： h上对应的部分1 。 现用三角剖分将h剖分成三角形的并集，顶点称为节点，记作 pi :(xi，yi)，i=1，2，…, Np， 三角形称为单元，记作 ek： i=1，2，…, Np，于是null 关于三角剖分，一般应遵照以下原则进行：(1) 三角形没有重叠的内部，即 (2) 每一个单元的顶点，或者是边界h上的点，或者是相邻单元的公共顶点。 (3) 在剖分中使每个三角形的最小内角尽量大，即避免太尖太扁的三角形出现。null2. 有限元空间的构造 作完区域h的三角剖分，再通过分片插值构造有限元空间，为说明问题简单起见，这里仅以线性插值为例进行构造，使得Vh={vC(h),v在每个单元上是线性函数，v|h(0) =0}在ek上 u(x,y)=ax+by+c （3.2.8）其中a,b,c可以通过u(x,y)在ek的三个顶点的值来确定。下面在中任取一个单元e=pipjpm ,三点顺序按逆时针排序，如下图：null这时，对于uVh ，它是单元e上的线性函数 u(x,y)=ax+by+c （3.2.8）将三点pi 、pj 、pm 坐标代入上式得到方程组：记单元e的面积为：（3.2.9）（3.2.10）null（3.2.9）解上面的方程组得到null带入函数 u(x,y)=ax+by+c 并进行合并，得到：nullnull令：则有：null由易知 可见Ni(x,y)是通过三个点(xi ,yi ,1)、 (xj ,yj ,0)、 (xm ,ym ,0)的插值函数。 Nj(x,y)和Nm(x,y)也是同样定义的，并称Ni(x,y)、Nj(x,y)、Nm(x,y)为单元e=pipjpm 的线性插值基函数，也称作形状函数。null 于是只要给出每个顶点所对应的基函数，就可以将函数u(x,y)Vh表示出来，且对于vhVh，有（3.2.11）分片插值3.2.2 单元分析与总体合成3.2.2 单元分析与总体合成 从Galerkin方法出发，对变分方程(3.2.6)作离散。求uhVh ，使得(3.2.7)也就是求uh(x,y)Vh ，使得null把在上的积分化为在单元上的积分再求和：其中n=en h (1)表示单元e的边界en与h (1)的交集，若en与h(1)的不相交，则线积分为零。 下面计算在每一个单元上的积分，即单元分析。null 在单元e=pipjpm 上：已知nullnull令则有再令则null在中代入上式得到null令三阶矩阵三维列向量这里为何没有转置？null令则其中A(e)、b(e)是e上的二重积分,A0(e)、b0(e)是n上的线积分。（3.2.12） 为方便计算，需要将三阶方阵和三维向量扩充：记Np是对h作三角剖分时节点的个数，在具体计算时需要对各节点进行编号，由于e=pipjpm 的三个顶点编号不一定相邻，所以扩充后的矩阵起非零元素位置要根据单元e的三个顶点编号而定。如下图所示：null123547681091211131416171518192021记 设e=pipjpm 中三个顶点的编号i 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 的形式提交