nullnullHUN-理科数学数学数学数学null决胜高考专案突破名师诊断对点集训null【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考null名师诊断专案突破对点集训决胜高考null【考向预测】纵观近三年高考湖南卷,不等式与
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数导数知识的考查主要是简单 不等式的求解;线性规划应用;函数的单调性和奇偶性;函数图象的应 用;定积分应用;利用导数求切线方程、求函数解析式、确定函数单 调区间、求参数范围、求函数最值.其
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
型既有选择题、填空题,也 有解答题.预测2013年关于不等式、函数与导数的命题趋势,仍然是 难易结合,有2~4个小题,2个大题.小题以概念、图象性质及运算为 主,重点考查简单不等式求解;线性规划求最值;函数的单调性与奇偶 性;函数图象的应用;导数的几何意义;定积分应用等知识方法.大题 的函数背景是以e为底的对数函数与分式函数乘积、再与一次或二名师诊断专案突破对点集训决胜高考null次函数代数和的形式的综合型题,考查利用导数研究函数的单调性 、逆求参数取值范围或证明不等式.涉及的主要思想方法是函数方 程思想,数形结合思想和分类讨论思想.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null1.(2012年广东佛山市质检试题)下列函数中既是奇函数,又在区间(- 1,1)上是减函数的为 ( )(A)y=|x|. (B)y= .(C)y=-x3. (D)y=ex+e-x.【解析】由于y=|x|,y=ex+e-x是偶函数,排除A、D;又y= 在x=0处无定
义,故选C.【答案】C【知能诊断】名师诊断专案突破对点集训决胜高考null2.(2012年武昌区高三调研试题)函数y=f(x)的图象如图所示,给出以 下说法:①函数y=f(x)的定义域是[-1,5];②函数y=f(x)的值域是(-∞,0] ∪[2,4];③函数在定义域内是增函数;④函数y=f(x)在定义域内的导 数f'(x)>0.其中正确的是 ( )(A)①②. (B)①③. (C)②③. (D)②④.【解析】函数y=f(x)的定义域中含有x=3,∴①②正确;函数y=f(x)在定 义域内不是增函数,∴③④错误.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考null3.(2012年·全国新课标)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点 C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是 (
)(A)(1- ,2). (B)(0,2).(C)( -1,2). (D)(0,1+ ).【解析】由题意得,正三角形ABC的边长为2,所以顶点C的坐标为C .当取三角形ABC的顶点B 时,目标函数取得最大值,最大值为zmax=
2;名师诊断专案突破对点集训决胜高考null当取点C 时,目标函数有最小值,此时最小值为zmin=1- .所以目标函数的取值范围为 ,故选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考null4.(2012年·全国新课标)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .【解析】由题意得,y=x(3ln x+1)=3xln x+x⇒y'=3ln x+4,所以y'|x=1=4,由点斜式方程得y-1=4(x-1),整理得y=4x-3.【答案】y=4x-3名师诊断专案突破对点集训决胜高考null5.(2012年·浙江)设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0,则a= .【解析】此题为三次函数恒成立问题,直接化解难度大,可通过取两 个值求交集法进行求解,也可考虑x1= 有重根进行处理,即x1满足
方程x2-ax-1=0有a= 或a=0(舍去),因此a= .【答案】 名师诊断专案突破对点集训决胜高考null6.(2012年·全国新课标)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+ x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥ x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.【解析】(1)由已知得f'(x)=f'(1)ex-1-f(0)+x.所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0) =1.又f(0)=f'(1)e-1,所以f'(1)=e.从而f(x)=ex-x+ x2.由于f'(x)=ex-1+x,故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;名师诊断专案突破对点集训决胜高考null当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.从而,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由已知条件得ex-(a+1)x≥b. ①(ⅰ)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x< 时,可得ex-(a+1)x
0,设g(x)=ex-(a+1)x,则g'(x)=ex-(a+1).当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;名师诊断专案突破对点集训决胜高考null当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0.从而g(x)在(-∞,ln(a+1))单调递减,在(ln(a+1),+∞)单调递增.故g(x)有 最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)≥ x2+ax+b等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1). ②因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)).所以h(a)在(-1, -1)单调递增,在( -1,+∞)单调递减,故h(a)在a= -1处名师诊断专案突破对点集训决胜高考null取得最大值.从而h(a)≤ ,即(a+1)b≤ .当a= -1,b= 时,②式成立,故f(x)≥ x2+ax+b.综合得,(a+1)b的最大值为 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考null7.(南昌市2012高三模拟测试题)已知函数f(x)= (m,n∈R)在x=1处
取到极值2.(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=ln x+ ,若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[1,e],使得g(x
2)≤f(x1)+ ,求实数a的取值范围.【解析】(1)f'(x)= = .由题意,f'(1)= =0,且f
(1)= =2,解得m=4,n=1,经检验,f(x)在x=1处取得极大值2,故f(x)=
.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(2)由(1)得f'(x)= = .∵x∈(-1,1)时,f'(x)>0,∴f(x)在[-1,1]上单调递增,∴f(x)min=f(-1)=-2.∵对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+ ,∴g(x)min≤f
(x)min+ ,即g(x)min≤-2+ = .∵g(x)=ln x+ ,∴g'(x)= - = (1≤x≤e).①当a≤1时,g'(x)>0,函数g(x)在[1,e]上单调递增,g(x)min=g(1)=a≤1< ,
符合题意;②当10,∴g(x)在(1,a)上单调名师诊断专案突破对点集训决胜高考null递减,在(a,e)上单调递增,∴g(x)min=g(a)=ln a+1≤ ,解得0 ,不合题意.综上,实数a的取值范围是a≤ .【诊断参考】
分析
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和研究近三年高考湖南卷,关于不等式、函数与导数知识的考 查,充分体现了试题的设计以支撑知识的重点内容为考点来挑选合 理背景,寻找创新点,应用知识间的内在联系,进行融合,构建试题的名师诊断专案突破对点集训决胜高考null主体结构的特色,从多视角、多维度、多层次地考查不等式、函数 与导数的重点知识以及数学思维品质和思维能力.展示了不等式、 函数与导数知识的基础性、应用性和工具性作用.重点考查数学通 性通法,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等重 要数学思想方法.近三年的试题基本涵盖了不等式、函数与导数的 所要求考查的内容,选择、填空题涉及的内容:不等式的性质、基本 不等式的应用、解不等式、线性规划、函数的概念与性质(单调性 和奇偶性),分段函数、函数图象的交点与函数的零点、定积分、导 数的意义.解答题稳定在最后三题的位置,主要考查不等式与函数导 数的综合应用,如:通过导数确定原函数的单调区间、求原函数极值名师诊断专案突破对点集训决胜高考null或最值;解不等式恒成立、存在性命题;求参数取值范围或最值;证明 不等式等,此类问题一般难度较大.针对上述分析,函数的定义域蕴含于函数问题的求解中,解题时切勿 忘记;在处理分段函数的单调性时,不仅要研究每一段函数的单调性, 而且还要研究整个函数的单调性;关于函数性质的综合问题,如单调 性、奇偶性、零点、两函数图象交点、变量的取值范围等,解题时 应养成画出大致图象的习惯,增强解题中的作图意识,适时借助图象 的形象、直观,可简化求解过程,快速获得解题结果;运用不等式性质 解题时,要注意不等式性质成立的条件,运用基本不等式 ≥ 求
最值时,则须满足“一正、二定、三相等”;线性规划的考题一般为名师诊断专案突破对点集训决胜高考null基本题型、或以三角形、平行四边形为载体,都不含参数,属于容易 题,解题时不能只凭目测直觉判断,正确方法是准确画出可行域,找到 最优解,求出最值,但训练时应注意相应问题的变式与延伸;函数导数 的应用,一是利用导数的几何意义求切线方程时,要明确题给的已知 点是 “切点”还是“非切点”,避免错解;二是运用导数与函数的单 调性建立不等式求参数范围时,不等号中勿遗漏含等号情况,如f'(x) ≥0或f'(x)≤0,即“遇参数,含等号”;三是利用导数求参数范围,解证 不等式、求函数最值等较难问题,有时需构造函数,通过两次求导来 解决问题;有时解题中遇思路受阻时,要善于搜寻信息,发掘条件,灵 活变通.如2012年浙江高考题(即上述第5题):将条件不等式转化为①名师诊断专案突破对点集训决胜高考null 或② 后,似乎无法解下去,其实注意到条件x>0,
将其分为两个区间,在各自区间内恒正或恒负,问题便迎刃而解;有一 类常见于各级各类考试中的函数导数题型:含参数的等式或不等式 恒成立、存在性问题,其常见形式与求解方法是:给出函数f(x)、g(x) (至少有一个函数含有参数).①对任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g (x)min;②对任意x1∈[a,b]、x2∈[c,d],都有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g (x)max;名师诊断专案突破对点集训决胜高考null③对任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,等价于{f(x)的值 域}⊆{g(x)的值域};④对任意x1∈[a,b]、x2∈[c,d],都有f(x1)=g(x2)恒成立,等价于{f(x)的值 域}={g(x)的值域}. 【核心知识】一、不等式的性质名师诊断专案突破对点集训决胜高考null不等式有八个性质,考查频率较高,容易出错的有:1.a>b且c>0⇒ ac>bc ;a>b且c<0⇒ acb>0,c>d>0⇒ ac>bd . 二、不等式的解法1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解法:先求ax2+bx+c=0的根,再 由二次函数y=ax2+bx+c的图象写出解集.2.分式不等式:将右边化为零,左边通分,转化为整式不等式求解.三、线性规划1.解答线性规划的应用问题的一般步骤:(1)设:设出所求的未知数; (2)列:列出约束条件及目标函数;(3)画:画出可行域;(4)移:将目标函名师诊断专案突破对点集训决胜高考null数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数最值; (5)解:将直线交点转化为方程组的解,找到最优解,求出最值.2.求解整点最优解有两种方法:(1)平移求解法:先打网格,描整点,平 移目标函数所在的直线l,最先经过的或最后经过的整点便是最优整 点解;(2)调整优值法:先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知 识调整最优值,最后筛选出整点最优解.四、基本不等式1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null2.a,b∈R+, ≥ ,当且仅当 a=b 时,等号成立.使用基本不等式
时,要注意:“ a>0,b>0 ”.五、不等式常用结论1.不等式恒成立问题的转化方向:(1)分离参数,向函数最值或值域转 化;(2)向函数图象或Δ转化.2.已知x>0,y>0,则有:(1)若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最 小 值 2 ;(2)若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最 大 值 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考null六、函数的概念及其
表
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示函数f: A→B是特殊的映射,A、B都是非空数集.函数的三要素:定义 域、值域和对应法则.当两个函数定义域和对应法则相同时,它们是 同一函数.函数表示方法常用:解析法、列表法、图象法.七、函数的性质1.函数解析式的常用求法:(1)待定系数法;(2)代换(配凑)法;(3)构造方 程(组)法.2.函数定义域的常用求法:(1)依据解析式特点:偶次根式的被开方数 不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数名师诊断专案突破对点集训决胜高考null大于零且不为1、零次幂的底数不为零等;(2)实际问题中要考虑变 量的实际含义.3.函数值域(最值)的常用求法:(1)配方法(常用于二次函数);(2)换元 法;(3)有界性法;(4)单调性法;(5)数形结合法;(6)判别式法;(7)不等式 法;(8)导数法.4.函数的单调性:(1)定义法;(2)导数法;(3)在客观题中还常用数形结 合法、特殊值法;(4)复合函数的单调性“同增异减”.5.函数的奇偶性常利用定义(或其变形)或图象特征判断.6.函数的周期性:函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)(a>0),则a是函数y=f(x)的名师诊断专案突破对点集训决胜高考null一个周期;函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a≠0)(或f(x+a)= ),则y=f(x)
是周期为2|a|的周期函数.八、指、对数函数的图象与性质名师诊断专案突破对点集训决胜高考null名师诊断专案突破对点集训决胜高考null 九、函数的应用1.求解数学应用题的一般步骤:(1)审题;(2)建模;(3)解模;(4)回归.2.常见的函数模型有一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、 对数函数以及y=x+ (a≠0)等.十、导数及其应用1.函数y=f(x)在点x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处 的切线的斜率.2.设函数y=f(x)在某区间可导,如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)< 0,则f(x)为减函数.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null3.可导函数在极值点处的导数值为零且左右导数值异号(左正右负 极大值,左负右正极小值).4.可导函数在闭区间内的最值:将开区间内的极值与端点处的函数 值相比较,较大的就是最大值,较小的就是最小值.十一、定积分与微分基本定理1.定积分的几何意义:函数y=f(x)(f(x)>0)在区间[a,b]内的定积分 f(x)
dx的几何意义是函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=a与x=b所围成的曲 边梯形的面积(如图1);函数y=f(x)与y=g(x)的图象所围成的封闭图形 的面积(如图2)为 f(x)dx- g(x)dx.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null图1 图22.微积分基本定理:对于被积函数f(x),如果F'(x)=f(x),则 f(x)dx=F(x)
=F(b)-F(a).【考点突破】名师诊断专案突破对点集训决胜高考null热点一:基本不等式的应用此类试题常会与函数的最值、大小关系的比较等知识考查,主要以 选择题或填空题的形式出现,试题难度不大,试题考查不等式的基本 性质和应用为主,求解过程中注重对相关性质变形形式的理解和应 用,同时注意思维的严谨性. (1)已知x>1,则y=x+ 的最小值为 ( )名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(A)1. (B)2. (C)2 . (D)3.(2)已知正整数a、b满足4a+b=30,则使得 + 取得最小值的有序数对
(a,b)是 ( )(A)(5,10). (B)(6,6). (C)(7,2). (D)(10,5).【分析】第(1)题凑用基本不等式或“加零”变形可求最小值;第(2) 题运用“乘1”技巧方法和基本不等式可求取得最小值时的有序整 数对.【解析】(1)∵x>1,∴y=x+ =(x-1)+ +1≥3,当且仅当x=2时取等
号,即ymin=3.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(2)依题意 + = (4a+b)( + )= (4+ + +1)≥ ,当且仅当 = 且
4a+b=30,即a=5,b=10时取最小值,故所求有序整数对为(5,10),选A.【答案】(1)D (2)A【归纳拓展】本题应用变形中的“加零”、“乘1”技巧方法以及 活用基本不等式来解决求最值问题.此类问题常在“a、b(或x、y)” 的灵活拼凑、条件“一正、二定、三相等”的运用上精心设计思 考点,解题时要注意基本不等式应用中的等号成立条件.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null变式训练1 (1)设a>0,b>0.若3a·3b=3,则 + 的最小值为 ( )(A)8. (B)4. (C)1. (D) .(2)已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x、y恒成立,则正实数a
的最小值为 .【解析】(1)∵3a·3b=3,∴a+b=1, + =(a+b)( + )=2+ + ≥2+2
=4,当且仅当 = 且a+b=1,即a=b= 时等号成立,故选B.(2)(x+y)( + )=1+a+( + )≥1+a+2 ≥9,a+2 -8≥0,∴ ≤-4(舍)
或 ≥2,∴a≥4.【答案】(1)B (2)4名师诊断专案突破对点集训决胜高考null热点二:不等式性质与解法解不等式试题形式多样,主要考查可转化为一元二次不等式解法的 题型,常与集合、简易逻辑、函数导数相结合,以选择题、填空题形 式出现,难度中等. (1)下列四个条件中,使a>b成立的必要而不充分的条件
是 ( )名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(A)a>b-1. (B)a>b+1.(C)a2>b2. (D)a3>b3.(2)已知函数f(x)= ,则不等式f(x)>0的解的区间是 ( )(A)(-1,1).(B)(0,1).(C)(-1,0)∪(0,1).(D)(-∞,-1)∪(1,+∞).【分析】第(1)题运用不等式性质和充要条件的意义进行判断;第(2)名师诊断专案突破对点集训决胜高考null题将不等式等价化为两个不等式组求解.【解析】(1)易知a>b+1⇒a>b,而a>b时,a>b+1不一定成立,故选B.(2)原不等式等价于 或 ,解得00的解的区间是(-1,0)∪(0,1).【答案】(1)B (2)C【归纳拓展】(1)解不等式问题常以求函数定义域、考查集合间关 系、直接解不等式等形式出现.求解各类不等式的关键是等价转化, 即分式不等式化为整式不等式;高次不等式分解降次(常用“穿针引 线法”,但要注意“奇过偶不过”);绝对值不等式设法“脱去”绝名师诊断专案突破对点集训决胜高考null对值符号;指、对数不等式运用函数性质化为一次、二次不等式;含 根式不等式、三角不等式利用函数图象数形结合求解.(2)解形如“ax2+bx+c>0”的不等式的一般步骤是“一看(看二次项 系数的符号)、二算(分解因式或计算方程的根)、三写(写出不等式 的解集)”,若二次项系数含参数时,应注意讨论二次项系数为零的情 况.(3)解含参数不等式时,应注意对参数进行分类讨论,讨论时要做到 “不重、不漏、最简”的三原则;也可与函数导数知识结合,将解不 等式问题转化为对函数图象的研究,运用数形结合的思想方法求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null变式训练2 (1)设函数f(x)=-x2+4x在[m,n]上的值域是[-5,4],则m+n的 取值组成的集合为 ( )(A)[-1,1]. (B)[0,6].(C)[1,5]. (D)[1,7].(2)函数y= +log2(x+2)的定义域为 ( )(A)(-∞,-1)∪(3,+∞).(B)(-∞,-1]∪[3,+∞).(C)(-2,-1]∪[3,+∞).名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(D)(-2,-1].【解析】(1)由-x2+4x=4得x=2,由-x2+4x=-5得x=5或x=-1.结合二次函数的图象知-1≤m≤2,2≤n≤5,故-1+2≤m+n≤2+5,即1 ≤m+n≤7.(2)由 ,得定义域为(-2,-1]∪[3,+∞).【答案】(1)D (2)C名师诊断专案突破对点集训决胜高考null热点三:简单的线性规划应用线性规划判断平面区域,求目标函数的最值,常见于选择或填空 题,线性规划解决实际应用问题常见于解答题,都是以中档题为主,解 决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想,准确确定可行域和最 优解. 已知变量x、y满足的约束条件为 ,则目标函
数z=3x+y的最大值为 ( )名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(A)10. (B)12. (C)14. (D)15.【分析】先作出线性约束条件的可行域,然后确定最优解,求出目标 函数的最大值.【解析】作出线性约束条件的可行域,如图所示,得最优解为(3,1),故 z的最大值为zmax=3×3+1=10.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考null【归纳拓展】(1)本题主要考查线性规划问题.准确画出可行域,尽量 将图形作准确,借助图形找出目标函数的最优解的位置极为重要,是 解题的关键.(2)在选用线性规划知识求解最优解的实际应用问题时,应首先依据 实际数据利用已给的限制条件得到约束条件,将实际问题转化为数 学问题;其次注意变量的范围,变量范围既要满足数学问题的限制条 件,也要符合实际意义.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null变式训练3 (衡水中学2012届高三下学期第三次模拟题)若实数x,y 满足 则在平面直角坐标系中,此不等式组表示的平面
区域的面积是 .【解析】作出不等式组 表示的平面区域如图阴影部
分,其面积为S=( )2- π·( )2=2- .【答案】2- 名师诊断专案突破对点集训决胜高考null热点四:函数的概念与性质函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等是函数的核心所在,也是 高考必考内容.高考试题主要考查三类性质的判定及其应用.在具体 问题中要加强这三类性质的整合,充分挖掘有效信息,如图象的趋势 走向、对称性、过定点、最值、渐近线等,切实提高分析问题与灵 活处理问题的能力. (1)函数f(x)=ln(sin 2x)+ 的定义域为 ( )名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(A)[- ,0)∪( ,2]. (B)[-2, ).(C)[-2,- )∪(0, ). (D)(- ,2].(2)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B( ,5)、C(1,0),
则函数y=xf(x)(0≤x≤1)的最大值为 .(3)若y=loga(2-ax)在[0,3]上是x的增函数,则a的取值范围是 .(4)已知f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果f(ax+1)≤f(x-2) 在x∈[ ,1]上恒成立,则实数a的取值范围是 ( )(A)[-2,1]. (B)[-5,0].名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(C)[-5,1]. (D)[-2,0].【分析】第(1)题依据条件列出不等式组,解此不等式组即求函数的 定义域;第(2)题将函数分为两段,结合每段函数的单调性进行判断, 直接求函数的最大值;第(3)题由对数函数的单调性及复合函数单调 性的综合应用,结合恒成立问题的解法可使本题获解;第(4)题可综合 应用函数的奇偶性、单调性、绝对值不等式解法,结合恒成立条件 求解.【解析】(1)由 得f(x)的定义域为[-2,- )∪
(0, ).名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(2)据题意得,f(x)= ∴y=xf(x)= 当0≤x≤ 时,函数y=xf(x)递增;当 0在[0,3]上 恒成立,即a< 在[0,3]上恒成立,∴a<( )min.又y= 在[0,3]上的最小值
为 ,∴a< ,∴01,log52= < ,z= = ∈( ,1),∴y0),则函数y=f(x) ( )名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(A)在区间(0,1),(1,2)内均有零点.(B)在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点.(C)在区间(0,1),(1,2)内均无零点.(D)在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点.(2)(山东省曲阜师大附中2012届高三考试题)如图是函数Q(x)的图象 的一部分,设函数f(x)=sin x,g(x)= ,则Q(x)= ( )(A) .(B)f(x)g(x).(C)f(x)-g(x).(D)f(x)+g(x).名师诊断专案突破对点集训决胜高考null【分析】(1)函数y=f(x)的零点即使方程f(x)=0有解时x的值,利用函数 图象或依据连续函数在区间端点函数值异号(即零点存在性定理)可 作出判断.(2)观察已给函数的解析式与图象,借助函数奇偶性的图象特征、零 点及函数值的变化特点进行判断或用排除法求解.【解析】(1)画出y1=ln x,y2= x2-1(x>0)草图如右,明显两图象有两个
交点,其中一个交点横坐标x1∈(0,1),排除C,D.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null又∵f'(x)= -x= ,∴x>1时,f'(x)<0,函数y=f(x)递减,且f(1)= >0,f(2)=
ln 2-1<0,∴f(x)在(1,2)上必有零点,故选A. (2)由于函数f(x)、g(x)在各自的定义域上都是奇函数,又根据所给图 象知函数Q(x)也是奇函数,结合奇函数的性质结论“奇函数与奇函 数的和、差函数在公共定义域上仍是奇函数”可排除A、B;又x→0 +,Q(x)→+∞,∴选D.【答案】(1)A (2)D【归纳拓展】(1)函数零点的判定方法:①解方程直接求解;②零点存名师诊断专案突破对点集训决胜高考null在性定理;③利用图象的交点.(2)结合函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断方程根的 存在性及根的个数;根据具体函数的图象,正确得出相应方程根所在 的区间.(3)函数图象有两大题型,一是已给函数解析式,用描点法或图象变换 法,作出它的图象.对于复合函数,可分解为若干基本初等函数,利用 初等函数图象的变换规律作出图象,也可依据解析式探寻函数的性 质(如:奇偶性、单调性、周期性、特殊点)综合得出图象;二是给出 函数图象研究函数性质,主要考查识图、用图、数形结合与灵活变 通能力,巧妙运用函数图象解题,形象直观,简洁明快,能简化运算.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null变式训练5 (1)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是 (
)(A)y=x2- . (B)y=-x3.(C)y=2x-1. (D)y=lo x.(2)设函数y=x3与y=( )x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是
( )(A)(0,1). (B)(1,2).(C)(2,3). (D)(3,4).名师诊断专案突破对点集训决胜高考null【解析】(1)函数y=2x-1在R上单调递增,∴函数y=2x-1在(-1,1)内单调 递增.又当2x-1=0时,x=0∈(-1,1),故选C.(2)如图所示,当x=1时,x3=1,( )x-2=2,名师诊断专案突破对点集训决胜高考null∴( )x-2>x3;当x=2时,x3=8,( )x-2=1,∴( )x-20⇔x>0,d'(x)<0⇔x<0,∴d(x)min=d(0)= ,即|PQ|min= ,选B.【答案】(1)A (2)C (3)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考null【归纳拓展】(1)定积分的概念与基本公式、微积分基本定理以及 定积分的性质(如 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx)是求定积分的基础,定积
分的主要应用是计算曲边梯形的面积,因此,要熟记有关公式.(2)利用导数公式求函数的导数,利用导数的几何意义计算切线的斜 率、进而求切线方程是导数应用的基本问题,也是高考的常考点.求 切线时,要注意区分切线是过某点(不一定是切点)的切线还是在某 点(一定是切点)处的切线.同时明确曲线在某点处的切线若有则只 有一条;曲线过某点的切线往往不只一条,曲线与切线的公共点也不 一定只有一个.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null变式训练6 (1)若 (2x-2)dx=3,则k= .(2)曲线y=x2+bx+c在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0, ],
则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为 ( )(A)[0,1]. (B)[0, ].(C)[0, ]. (D)[0, ].【解析】(1) (2x-2)dx=(x2-2x+c) =k2-2k=3,解得k=3或k=-1(舍去).(2)∵y'=2x+b,∴0≤2x0+b≤1,得- ≤x0≤ .名师诊断专案突破对点集训决胜高考null又y=x2+bx+c的对称轴为x=- ,∴点P到该曲线对称轴距离为|x0+ |.又- ≤x0≤ ,∴- + ≤x0+ ≤ + ,即0≤|x0+ |≤ ,选B.【答案】(1)3 (2)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考null热点七:二次函数二次函数是中学数学重要的函数模型之一,与一元二次方程、一元 二次不等式具有密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许 多内容的工具,高考中有很多数学试题与三个“二次”有关,既有选 择题、填空题,也有解答题,常涉及函数与方程、数形结合、分类讨 论、化归与转化思想方法. 已知x∈[-1,1]时,f(x)=x2-ax+ >0恒成立,则实数a的取值
范围是 ( )名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(A)(0,2). (B)(2,+∞).(C)(0,+∞). (D)(0,4).【分析】抓住问题中的区间两端点与对称轴的位置关系,进行分类 讨论,结合图象和函数的单调性及恒成立条件建立关于a的不等式求 解.【解析】二次函数图象开口向上,对称轴为x= ,又x∈[-1,1]时,f(x)=x2
-ax+ >0恒成立.①当 ≤-1,即a≤-2时,则f(-1)=1+a+ >0,解得a>- ,与a≤-2矛盾;名师诊断专案突破对点集训决胜高考null②当 ≥1,即a≥2时,则f(1)=1-a+ >0,解得a<2,与a≥2矛盾;③当-1< <1,即-2 ),
当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,求a的值.(2)(山东省潍坊市2012年高三模拟训练题)已知函数f(x)= +aln x-2(a
>0).【分析】第(1)题利用函数的奇函数性质、函数导数的应用—确定 函数单调性找到最值,建立含a的等式解之;第(2)题中的第①问应用 导数知识可求函数单调区间;第②问则运用处理恒成立问题的方法 建立含a的不等式来求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null【解析】(1)∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2) 时,f'(x)= -a,令f'(x)=0,得x= .又a> ,∴0< <2.令f'(x)>0,得00)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=- + ,直
线y=x+2的斜率为1,∴f'(1)=- + =-1,得a=1.∴f(x)= +ln x-2,f'(x)=- +
= .由f'(x)>0,得x>2;由f'(x)<0,得00,得x> ;由f'(x)<0,得02(a-1)成立,∴2(a-
1) ,即a>e+1时,f(x)max=h(1)=f(0)=1-a.综上可知,a≤e+1时,f(x)max=e2-ae;a>e+1时,f(x)max=1-a.(2)g(x)=( +x-2- )[e2x-f(x)]=( +x-2- )(e2x-e2x+aex)=(x2+ax-2a-3)ex.要x∈[0,1]时,函数g(x)的图象恒在直线y=e上方,即x∈[0,1]时,g(x)min> e成立.∵g'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-2a-3)ex=(x+a+3)(x-1)ex,名师诊断专案突破对点集训决胜高考null令g'(x)=0,得x=-a-3或x=1.①当-a-3≤0,即a≥-3时,得x∈[0,1]时,g'(x)≤0,故g(x)在区间[0,1]上单 调递减.此时g(x)min=g(1)=(-2-a)e>e,得a<-3,与a≥-3矛盾;②当0<-a-3<1,即-4e⇔g(0)>e且g(1)>e.又g(0)=-2a-3>e,得a< ,g(1)=(-2-a)e>e,得
a<-3,综合得-4e,得a< ,∴a≤-4满足题意.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null综上可知,a<-3时,函数g(x)的图象恒在直线y=e上方.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null热点九:不等式与函数导数综合题近几年,不等式、函数与导数的综合题,一直是高考解答题中的较难 题,它把不等式、方程、函数与导数融为一体,有机结合,是对数学知 识综合性、能力综合性的考查,体现了不等式、函数的基础性、工 具性和重要性. (安徽省六校联考试题)已知函数f(x)=6ln x+x2-8x,g(x)=
+x2(p≤2).(1)求函数f(x)的单调区间;名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(2)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值 范围. 【分析】第(1)问利用函数导数知识,方法确定函数的单调区间;第 (2)问综合运用导数、方程与不等式等知识与合理分类,列出关于含 参数p的不等式,通过解不等式求出p的取值范围.【解析】(1)∵f'(x)= +2x-8= = ,∴x∈(1,3)时,f'(x)<
0,x∈(0,1)或x∈(3,+∞)时, f'(x)>0,∴f(x)在[1,3]上单调递减,在(0,1]和 [3,+∞)上单调递增.(2)令h(x)=f(x)-g(x)=6ln x-8x- ,则h'(x)= -8+ = ,令-8x2+6x+
p=0,知Δ=36+32p.名师诊断专案突破对点集训决胜高考null(i)当36+32p≤0,即p≤- 时,Δ≤0,此时h'(x)≤0,∴h(x)在[1,e]上单调递
减,∴h(x)max=h(1)=-8-p>0,得p<-8.(ii)当- 0,方程-8x2+6x+p=0有两根x1= <1,x2=
≤ =1.∴x∈[1,e],h'(x)<0,∴h(x)在[1,e]上单调递减,h(x)max=h(1)=-8-p>0,得p<- 8,与- g(x0).【归纳拓展】(1)近几年高考中,对导数的考查,常把导数与函数、方名师诊断专案突破对点集训决胜高考null程、不等式综合考查
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