秒杀数列

1 秒杀数列 第一步：整体观察，若有线性趋势则走思路 A，若没有线性趋势或线性 趋势不明显则走思路 B。 注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化 跟项数本身有直接关联（别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉） 第二步思路 A：分析趋势 1， 增幅（包括减幅）一般做加减。 基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差 数列及其变式。 例 1：-8，15，39，65，94，128，170，（） A．180 B.210 C. 225 D 256 解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差 23,24,26,29,34,42，再度形成一个 增幅很小的线性数列，再做差得出 1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是 5+8=13，因而 二级差数列的下一项是 42+13=55，因此一级数列的下一项是 170+55=225，选 C。 总结：做差不会超过三级；一些典型的数列要熟记在心 2， 增幅较大做乘除 例 2：0.25，0.25，0.5，2，16，（） A．32 B. 64 C.128 D.256 解：观察呈线性规律，从 0.25 增到 16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出 1，2，4，8，典型的等 比数列，二级数列下一项是 8*2=16，因此原数列下一项是 16*16=256 总结：做商也不会超过三级 3， 增幅很大考虑幂次数列 例 3：2，5，28，257，（） A．2006 B。1342 C。3503 D。3126 解：观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到 257 附近有 幂次数 256，同理 28 附近有 27、25，5 附近有 4、8，2 附近有 1、4。而数列的每一项必与其项数有关， 所以与原数列相关的幂次数列应是 1，4，27，256（原数列各项加 1 所得）即 1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应 该是 5^5，即 3125，所以选 D 总结：对幂次数要熟悉 第二步思路 B：寻找视觉冲击点 注：视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引 视觉冲击点 1：长数列，项数在 6 项以上。基本解题思路是分组或隔项。 例 4：1，2，7，13，49，24，343，（） A．35 B。69 C。114 D。238 2 解：观察前 6 项相对较小，第七项突然变大，不成线性规律，考虑思路 B。长数列考虑分组或隔项，尝试 隔项得两个数列 1，7，49，343；2，13，24，（）。明显各成规律，第一个支数列是等比数列，第二个 支数列是公差为 11 的等差数列，很快得出答案 A。 总结：将等差和等比数列隔项杂糅是常见的考法。 视觉冲击点 2：摇摆数列，数值忽大忽小，呈摇摆状。基本解题思路是隔项。 20 5 例 5：64，24，44，34，39，（） 10 A．20 B。32 C 36.5 D。19 解：观察数值忽小忽大，马上隔项观察，做差如上，发现差成为一个等比数列，下一项差应为 5/2=2.5，易 得出答案为 36.5 总结：隔项取数不一定各成规律，也有可能如此题一样综合形成规律。 视觉冲击点 3：双括号。一定是隔项成规律！ 例 6：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（） A．19，21 B。19，23 C。21，23 D。27，30 解：看见双括号直接隔项找规律，有 1，3，7，13，（）；3，5，9，15，（），很明显都是公差为 2 的 二级等差数列，易得答案 21，23，选 C 例 7：0，9，5，29，8，67，17，（），（） A．125，3 B。129，24 C。84，24 D。172，83 解：注意到是摇摆数列且有双括号，义无反顾地隔项找规律！有 0，5，8，17，（）；9，29，67，（）。 支数列二数值较大，规律较易显现，注意到增幅较大，考虑乘除或幂次数列，脑中闪过 8，27，64，发现 支数列二是 2^3+1，3^3+2，4^3+3 的变式，下一项应是 5^3+4=129。直接选 B。回头再看会发现支数列 一可以还原成 1-1，4+1,9-1,16+1,25-1. 总结：双括号隔项找规律一般只确定支数列其一即可，为节省时间，另一支数列可以忽略不计 视觉冲击点 4：分式。 类型（1）：整数和分数混搭，提示做乘除。 例 8：1200，200，40，（），10/3 A．10 B。20 C。30 D。5 解：整数和分数混搭，马上联想做商，很易得出答案为 10 类型（2）：全分数。解题思路为：能约分的先约分；能划一的先划一；突破口在于不宜变化的分数，称作 基准数；分子或分母跟项数必有关系。 例 9：3/15，1/3，3/7，1/2，（） A．5/8 B。4/9 C。15/27 D。-3 解：能约分的先约分 3/15=1/5；分母的公倍数比较大，不适合划一；突破口为 3/7，因为分母较大，不宜 再做乘积，因此以其作为基准数，其他分数围绕它变化；再找项数的关系 3/7 的分子正好是它的项数，1/5 的分子也正好它的项数，于是很快发现分数列可以转化为 1/5，2/6，3/7，4/8，下一项是 5/9，即 15/27 例 10：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9 3 A．7/3 B 10/9 C -5/18 D -2 解：没有可约分的；但是分母可以划一，取出分子数列有-4，10，12，7，1，后项减前项得 14，2，-5，-6，（-3.5），（-0.5） 与分子数列比较可知下一项应是 7/（-2）=-3.5，所以分子数列下一 项是 1+（-3.5）= -2.5。因此（-2.5）/9= -5/18 视觉冲击点 5：正负交叠。基本思路是做商。 例 11:8/9, -2/3, 1/2, -3/8,（） A 9/32 B 5/72 C 8/32 D 9/23 解：正负交叠，立马做商，发现是一个等比数列，易得出 A 视觉冲击点 6：根式。 类型（1）数列中出现根数和整数混搭，基本思路是将整数化为根数，将根号外数字移进根号内 例 12：0 3 1 6 √2 12 ( ) ( ) 2 48 A. √3 24 B．√3 36 C．2 24 D．2 36 解：双括号先隔项有 0，1，√2，（），2；3，6，12，（），48.支数列一即是根数和整数混搭类型，以√2 为基准数，其他数围绕它变形，将整数划一为根数有√0 √1 √2 （）√4，易知应填入√3；支数列二是明显的 公比为 2 的等比数列，因此答案为 A 类型（2）根数的加减式，基本思路是运用平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b) 例 13：√2-1，1/(√3+1),1/3,() A(√5-1)/4 B 2 C 1/(√5-1) D √3 解：形式划一：√2-1=（√2-1）（√2+1）/(√2+1)=(2-1)/ (√2+1)=1/(√2+1),这是根式加减式的基本变形形式， 要考就这么考。同时，1/3=1/(1+2)=1/(1+√4),因此，易知下一项是 1/(√5+1)=( √5-1)/[( √5)^2-1]= (√5-1)/4. 视觉冲击点 7：首一项或首两项较小且接近，第二项或第三项突然数值变大。基本思路是分组递推，用首 一项或首两项进行五则运算（包括乘方）得到下一个数。 例 14：2，3，13，175，（） A．30625 B。30651 C。30759 D。30952 解：观察，2，3 很接近，13 突然变大，考虑用 2，3 计算得出 13 有 2*5+3=3，也有 3^2+2*2=13 等等， 为使 3，13，175 也成规律，显然为 13^2+3*2=175,所以下一项是 175^2+13*2=30651 总结：有时递推运算规则很难找，但不要动摇，一般这类题目的规律就是如此。 视觉冲击点 8：纯小数数列，即数列各项都是小数。基本思路是将整数部分和小数部分分开考虑，或者各 成单独的数列或者共同成规律。 例 15：1.01，1.02，2.03，3.05，5.08，（） A．8.13 B。 8.013 C。7.12 D 7.012 解：将整数部分抽取出来有 1，1，2，3，5，（），是一个明显的和递推数列，下一项是 8，排除 C、D； 将小数部分抽取出来有 1，2，3，5，8，（）又是一个和递推数列，下一项是 13，所以选 A。 总结：该题属于整数、小数部分各成独立规律 例 16：0.1，1.2，3.5，8.13，( ) A 21.34 B 21.17 C 11.34 D 11.17 解：仍然是将整数部分与小数部分拆分开来考虑，但在观察数列整体特征的时候，发现数字非常像一个典 4 型的和递推数列，于是考虑将整数和小树部分综合起来考虑，发现有新数列 0，1，1，2，3，5，8，13， （），（），显然下两个数是 8+13=21，13+21=34，选 A 总结：该题属于整数和小数部分共同成规律 视觉冲击点 9：很像连续自然数列而又不连贯的数列，考虑质数或合数列。 例 17：1，5，11，19，28，（），50 A．29 B。38 C。47 D。49 解：观察数值逐渐增大呈线性，且增幅一般，考虑作差得 4，6，8，9，……，很像连续自然数列而又缺少 5、7，联想和数列，接下来应该是 10、12，代入求证 28+10=38，38+12=50，正好契合，说明思路正确， 答案为 38. 视觉冲击点 10：大自然数，数列中出现 3 位以上的自然数。因为数列题运算强度不大，不太可能用大自然 数做运算，因而这类题目一般都是考察微观数字结构。 例 18：763951，59367，7695，967，（） A．5936 B。69 C。769 D。76 解：发现出现大自然数，进行运算不太现实，微观地考察数字结构，发现后项分别比前项都少一位数，且 少的是 1，3，5，下一个缺省的数应该是 7；另外缺省一位数后，数字顺序也进行颠倒，所以 967 去除 7 以后再颠倒应该是 69，选 B。 例 19：1807，2716，3625，（） A．5149 B。4534 C。4231 D。5847 解：四位大自然数，直接微观地看各数字关系，发现每个四位数的首两位和为 9，后两位和为 7，观察选项， 很快得出选 B。 第三步：另辟蹊径。 一般来说完成了上两步，大多数类型的题目都能找到思路了，可是也不排除有些规律不容易直接找出来， 此时若把原数列稍微变化一下形式，可能更易看出规律。 变形一：约去公因数。数列各项数值较大，且有公约数，可先约去公约数，转化成一个新数列，找到规律 后再还原回去。 例 20：0，6，24，60，120，（） A．186 B。210 C。220 D。226 解：该数列因各项数值较大，因而拿不准增幅是大是小，但发现有公约数 6，约去后得 0，1，4，10，20， 易发现增幅一般，考虑做加减，很容易发现是一个二级等差数列，下一项应是 20+10+5=35，还原乘以 6 得 210。 变形二：因式分解法。数列各项并没有共同的约数，但相邻项有共同的约数，此时将原数列各数因式分解， 可帮助找到规律。 例 21：2，12，36，80，（） A．100 B。125 C 150 D。175 解：因式分解各项有 1*2，2*2*3，2*2*3*3，2*2*2*2*5,稍加变化把形式统一一下易得 1*1*2，2*2*3，3*3*4， 4*4*5，下一项应该是 5*5*6=150，选 C。 5 变形三：通分法。适用于分数列各项的分母有不大的最小公倍数。 例 22：1/6,2/3,3/2,8/3,() A.10/3 B.25/6 C.5 D.35/6 解：发现分母通分简单，马上通分去掉分母得到一个单独的分子数列 1，4，9，16，（）。增幅一般，先 做差的 3，5，7，下一项应该是 16+9=25。还原成分母为 6 的分数即为 B。 第四步：蒙猜法，不是办法的办法。 有些题目就是百思不得其解，有的时候就剩那么一两分钟，那么是不是放弃呢？当然不能！一分万金啊， 有的放矢地蒙猜往往可以救急，正确率也不低。下面介绍几种我自己琢磨的蒙猜法。 第一蒙：选项里有整数也有小数，小数多半是答案。 见例 5：64，24，44，34，39，（） A．20 B。32 C 36.5 D。19 直接猜 C！ 例 23：2，2，6，12，27，（） A．42 B 50 C 58.5 D 63.5 猜：发现选项有整数有小数，直接在 C、D 里选择，出现“.5”的小数说明运算中可能有乘除关系，观察数列 中后项除以前项不超过 3 倍，猜 C 正解：做差得 0，4，6，15。（0+4）*1.5=6 (2+6)*1.5=12 (4+6)*1.5=15 (6+15)*1.5=31.5，所以原数列下 一项是 27+31.5=58.5 第二蒙：数列中出现负数，选项中又出现负数，负数多半是答案。 例 24：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9,( ) A．7/3 B.10/9 C -5/18 D.-2 猜：数列中出现负数，选项中也出现负数，在 C/D 两个里面猜，而观察原数列，分母应该与 9 有关，猜 C。 第三蒙：猜最接近值。有时候貌似找到点规律，算出来的答案却不在选项中，但又跟某一选项很接近，别 再浪费时间另找规律了，直接猜那个最接近的项，八九不离十！ 例 25：1，2，6，16，44，（） A．66 B。84 C。88 D。120 猜：增幅一般，下意识地做了差有 1，4，10，28。再做差 3，6，18，下一项或许是（6+18）*2=42，或 许是 6*18=108，不论是哪个，原数列的下一项都大于 100，直接猜 D。 例 26：0.，0，1，5，23，（） A．119 B。79 C 63 D 47 猜：首两项一样，明显是一个递推数列，而从 1，5 递推到 25 必然要用乘法，而 5*23=115，猜最接近的 选项 119 第四蒙：利用选项之间的关系蒙。 例 27：0，9，5，29，8，67，17，（），（） A．125，3 B129，24 C 84，24 D172 83 猜：首先注意到 B，C 选项中有共同的数值 24，立马会心一笑，知道这是阴险的出题人故意设置的障碍， 6 而又恰恰是给我们的线索，第二个括号一定是 24！而根据之前总结的规律，双括号一定是隔项成规律，我 们发现偶数项 9，29，67，（）后项都是前项的两倍左右，所以猜 129，选 B 例 28：0，3，1，6，√2，12，（），（），2，48 A．√3，24 B。√3，36 C 2，24 D√2，36 猜：同上题理，第一个括号肯定是√3！而双括号隔项成规律，3，6，12，易知第二个括号是 24，很快选 出 A