null第三章 应力和应变第三章 应力和应变§3.1 应力分析
§3.2 应变分析null§3.1 应力分析 一、应力张量及其分解(1) 一点的应力状态通过一点P 的各个面上应力状况的集合—— 称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：null(2) 应力张量一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成
一个二阶对称张量，称为应力张量。上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法定义：写法：采用张量下标记号的应力写法把坐标轴x、y、z分别
用x1、x2、x3表示，
或简记为xj (j=1,2,3),null(3) 斜截面上的应力与应力张量的关系在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。N是单位向量，其方向作弦为则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量 之间的关系采用张量下标记号，可简写成说明：i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于 这称为求和约定；ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；null(4) 应力张量的分解1.静水“压力”：在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈
服、不会产生塑性变形。应力不产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分反映静水“压力”：2.平均正应力：null3.应力张量的分解：应力张量可作如下分解：用张量符号表示：其中：或null应力球张量——单位球张量——应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力
而没有剪应力的状态。应力偏张量——应力偏张量——与单元体的体积变形有关null说明：材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的 。应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。null二、主应力和应力不变量（1）主应力1. 一点的主应力与应力主向（2）应力主向根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为 ，则它在各
坐标轴上的投影为代入（3-3）式null应有 或即 将这个行列式展开得到其中null2. 应力张量的不变量当用主应力来表示不变量时null应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值
（称为主偏应力）为：应力偏张量也有三个不变量： null其中应力偏张量的第二不变量 今后用得最多。再介绍它的其他几个表达式：说明：null三、等斜面上的应力等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴夹角相等
八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成一个八面体，如图所示。等斜面常也被叫做八面体面。
若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有null八面体面素上的正应力为
八面体面素上的剪应力为
说明：八面体面上的应力向量可分解为两个分量：null四、等效应力1.定义：—— 在塑性力学中称为应力强度或等效应力注意：这里的“强度”或“等效”都是在 意义下衡量的与空间坐标轴的选取无关；各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力
状态）时 数值不变，即与应力球张量无关；null联系到（3-17）式，不难看出 代表 空间的中的广义距离4. 等效剪应力联系到（3-19）式，可知或也可以定义 ,剪应力强度或等效剪应力:null5. 八面体剪应力、等效应力 和等效剪应力之间的换算关系为： 说明：null五、三向Mohr圆和Lode应力参数——称为主剪应力——最大剪应力1.三向Mohr圆null2.Lode应力参数[分析]由图3-4可见，若在已知应力状态上
叠加一个静水压力，其效果仅使三
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
并不改变Mohr圆的大小。[结论] 轴的位置与屈服及塑性变形无关，
决定屈服与塑性变形的只是Mohr圆
本身的大小。null若将 轴平移到 ，并使则：移轴后的三向Mohr圆正是描述应力
偏张量的三向Mohr圆，如图所示。M点是P1P2线段的中点Lode在1925年引进的参数nullLode应力参数下面三个特殊情况是常用到的：i) 单向拉伸：
ii) 纯剪切：
iii) 单向压缩：null六、应力空间和主应力空间1. 应力空间一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴
就得到假想的九维应力空间。考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构
成一个六维应力空间来描述应力状态。一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。2.主 应力空间（Haigh-Westergaard空间）null2.主 应力空间的性质L直线：主应力空间中过原点并坐标轴成等角的直线。
平面：主应力空间中过原点而与L直线垂直的平面。null主应力空间中任意一点P所确定的向量 总可以分解为：这样任意应力状态就被分解为两部分，
分别与应力球张量和应力偏张量部分
对应。小结物体内一点的应力状态用应力张量描述，它又可分解为应力
球张量和应力偏张量两个部分。塑性变形只与应力偏张量有关。三向Mohr应力圆和主应力空间为应力张量的分解提供了几何
形象和
数学
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工具。 null这样取 的目的是使 构成一个二阶对称张量， 即
应变张量。§3.2 应变分析 一、位移与应变的关系1. Cauchy公式其中 与工程剪应变相差一半，即
null张量记法:
记号约定：以下标之间的逗号表示微商如Cauchy公式的张量形式：（3-29）（3-29）式是在小变形条件建立的。null二、应变张量的分解应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即
（3-31）应变球张量——它与弹性的体积改变部分有关；其中称 为平均正应变应变偏张量——只反映变形中形状改变的那部分。null二、应变张量的不变量其中 分别是主应变和应变偏张量的主值。 null应变偏张量的分解：null三、等效应变和Lode应变参数等斜面（八面体面）上的正应变和剪应变： nullLode应变参数三个特殊情况为：i)单向拉伸： 则 =-1.
ii)纯剪切： 则 =0.
iii)单向压缩： 则 =1.在一般情况下 的变化范围是null四、应变率张量和应变增量张量应用小变形的Cauchy公式求得相应的应变：
——应变率张量这样定义的 ，不论 大小都成立，但要求是对每一瞬时
状态进行计算，而不是按初始位置计算的１.应变率张量2.应变增量张量
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