地面沉降的GM_2_1_模型预测研究_郑良飞

第 18 卷 　第 4 期 2007 年 12 月 中国地质灾害与防治学报 The Chinese Journal of Geological Hazard and Control Vol. 18 　No. 4 Dec. 2007 地面沉降的 GM( 2 ,1)模型预测研究 郑良飞 , 折学森 (长安大学 特殊地区公路工程教育部重点实验室 , 陕西 西安 　710064) 摘要 :运用灰色理论建立地面沉降的 GM(2 ,1) 模型 ,其中非等时距位移序列采用拉格朗日插值函数转变为等时距序 列。采用非等时距 GM(2 ,1)及 GM(1 ,1)模型对西安市地面沉降观测点进行安全预测。计算结果表明 ,非等时距 GM (2 ,1)模型预测地面沉降精度总体较 GM(1 ,1)模型高 ,预测结果与实际吻合较好。 关键词 :地面沉降 ;安全监测 ;灰色预测 ;非等时距 文章编号 :100328035 (2007) 042066204 中图分类号 :P642126 文献标识码 :A 收稿日期 :2006212231 ;修回日期 :2007205231 基金项目 :西安科技大学博士科研启动基金项目 (002 - A45 - 063) 作者简介 :郑良飞 (1976 —) ,男 ,博士生 ,道路与铁道工程专 业。 0 　前言 西安地铁线路大多穿过人口密集、交通繁忙、地 面建筑物林立的繁华地段。当地层变形超过一定范 围时 ,会严重危及邻近建筑物的安全 ,引起一系列岩 土工程环境问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 [1 ] 。西安市的地面沉降主要发生在 城区及近郊区。从 1959 年开始大范围的水准测量以 来 ,截至 1995 年 ,累计沉降量超过了 200mm 的面积达 14515km2 。沉降区内形成了 7 个沉降槽 ,地面沉降的 持续发展还加剧了西安地裂缝的活动[1 ] ,给西安市地 铁建设带来威胁。目前 ,关于地面沉降量计算的研 究 ,主要有水位模型法、土力学模型法、最优化计算 法。模型的建立逐步走向了沉降管理预测的实用程 序的开发[2 ] 。近几年还出现了太沙基理论、回归理论 及灰色模型等地面沉降预测理论和方法[3 - 5 ] 。而这 些模型属于显式模型 ,在影响因素较少、观测序列较 长、观测误差较小的情况下 ,可取得较好的效果 ;相 反 ,如果观测序列较短 ,观测误差较大 ,影响因素较为 复杂 ,其预测成果则具有较大的局限性并产生系统误 差。因此 ,对现有模型不断改进 ,研究出适应性较广、 精度更高、预测成果更为合理的监控模型具有重要的 理论与现实意义。本文介绍一种新的预测方法 ——— 灰色 GM(2 ,1)预测模型。 1 　灰色理论 GM( n , h)模型在地面沉降 中的应用 　　灰色模型是利用系统部分已知信息 ,建立起反映 系统发展规律的微分数学模型 ,并通过建立的灰色模 型来预测系统的发展。一般的灰色模型为 GM( n , h) 模型 ,表示 h 个变量的 n 阶微分方程[6 ,7 ] 。 考 虑 h 个 N 维 时 间 序 列 x (1) k ( i) , k = 1 ,2 , ⋯, h ; i = 1 ,2 , ⋯, N ,其相应的一 次累加时间序列数据 x (1)k ( i) ,其中累加算法定义 为 : x 1 k ( i) = ∑ i s = 1 x 0 k ( s) 相 应 的 n 次 累 减 时 间 序 列 数 据 : a ( j) x (1) k ( i) , j = 1 ,2 , ⋯, n ,其中累减算法定义为 : a ( j) x (1) k ( i) = a ( j - 1) x (1) ( i) - a ( j - 1) x (1)k ( i - 1) 　　则可建立如下形式的 GM(n ,h)模型 : d n x (1)1 d tn + a1 d n - 1 x (1)1 d tn - 1 + ⋯+ an x (1) 1 = b1 x (1) 2 + b2 x (1) 3 + ⋯+ bh - 1 x (1)h (1) 　　在 GM(n ,h)模型中 ,n、h 取不同的值可得到不同 的模型。对于地面沉降观测序列 ,取 h = 1 ,预测模型 变为 GM(n ,1)灰色预测模型 ,即 dn x (1)1 dtn + a1 dn - 1 x (1)1 dtn - 1 + ⋯+ an x (1)1 = u (2) 　　式 (2)为常系数微分方程。理论上 ,方程的阶次 越高 ,预测模型越精确 ,但高阶次方程考虑的因素较 多 ,对外界因素干扰也越敏感 ,求解也比较困难。 2 　非等时距沉降序列的等时距转换 设非等时距沉降时间序列为 acer 高亮 acer 高亮 acer 高亮 acer 高亮 acer 高亮 x (0) 1 = x (0) 1 ( ti )Πti ∈ R + , i = 1 ,2 , ⋯, n 211 　计算平均时间间隔Δt0 Δt0 = 1 n - 1 ∑ n - 1 i = 1 ( ti +1 - t i ) = 1 n ( tn - t1 ) 212 　计算等时距的灰色沉降值 X (1)1 ( i) ( i = 1 ,2 , ⋯, n) 。 当 i = 1 时 　　x01 (1) = x (0)1 ( t1 ) 当 i = n 时 　　x01 ( n) = x (0)1 ( tn ) 　　当 i = 2 ,3 , ⋯, n - 1 时 ,利用 Lagrange 多项式插 值函数插值 ,则有 x (0) 1 ( i) = ( t1 + ( i - 1)Δt0 - ti ) ( t1 + ( i - 1)Δt0 - ti +1) ( ti - 1 - ti ) ( ti - 1 - ti +1) x (0) 1 ( ti - 1) + ( t1 + ( i - 1)Δt0 - ti - 1 ( t1 + ( i - 1)Δt0 - ti +1) ( ti - ti - 1) ( ti - tt +1) x (0) 1 ( ti ) + ( t1 + ( i - 1)Δt0 - ti - 1 ( t1 + ( i - 1)Δt0 - ti ) ( ti +1 - ti - 1) ( ti +1 - ti ) x (0) 1 ( ti +1) (3) 　　从而得到了等时距沉降序列 : x (0) 1 = x 0 1 ( i) , i = 1 ,2 , ⋯, n 3 　非等时距沉降 GM (2 ,1)模型建立 　　等时距沉降序列 : x (0) 1 = x (0) 1 (1) , x (0)1 (2) , x (0)1 (3) , ⋯, x (0)1 ( n) 　　累加生成序列 : x (1) 1 = x (1) 1 (1) , x (1)1 (2) , x (1)1 (3) , ⋯, x (1)1 ( n) 　　其中 : x (1) 1 ( i) = ∑ i k = 1 x (0) 1 ( k) , 　　k = 1 ,2 , ⋯, i 　　累减生成序列 : a (1) x (0) 1 = a (1) x (0) 1 (1) , a (1) x (0)1 (2) , ⋯, a (1) x (0)1 ( n) 其中 : a (1) x (0)1 ( i) = x (0)1 ( i) - x (0)1 ( i - 1) , i = 1 ,2 , ⋯, n , x (1) 1 的紧邻均值生成序列 z (1)1 = ( z (1)1 (1) , z (1)1 (2) , ⋯, z (1)1 ( n) ) , 其中 : z (1)1 ( i) = 12 ( x (1) 1 ( i) + x (1)1 ( i - 1) ) , i = 1 , 2 , ⋯, n 由 x (1)1 可建立 GM(2 ,1)白化形式的微分方程为 : d2 x (1)1 d t2 + a1 d x (1)1 d t + a2 x (1) 1 = u (4) 　　其中 :参数列 a^ = [ a1 , a2 , u ] T 的最小二乘估计 为 a^ = ( B TB ) - 1 B TyN (5) 　　式中 : B = - x (0) 1 (2) - z (1)1 (2) 1 - x (0) 1 (3) - z (1)1 (3) 1 ⋯ ⋯ ⋯ - x (0) 1 ( n) - z (1)1 ( n) 1 yN = a 1 x (0) 1 (2) a 1 x (0) 1 (3) ⋯ a 1 x (0) 1 ( n) = x (0) 1 (2) - x (0)1 (1) x (0) 1 (3) - x (0)1 (2) ⋯ x (0) 1 ( n) - x (0)1 ( n - 1) 311 　若 x (1) 31 是d2 x (1)1d t2 + a1 d x (1)1d t + a2 x (1)1 = u 方程的 特解 , x (1)1 是对应齐次方程 : d2 x (1)1 d t2 + a1 d x (1)1 d t + a 2 x (1) 1 = 0 的通解 ,则 x (1) 31 + x (1) 1 是 GM(2 ,1) 白化方程的通解。 312 　齐次方程的通解有以下 3 种情况 : 当特征方程 r2 + a1 r + a2 = 0 有两个不相等实根 r1 , r2 时 , x (1)1 = c1 er1 t + c2 er2 t ; 当特征方程有重根 r 时 , x (1)1 = ert ( c1 + c2 t) ; 当特征方程有一对共轭复根 r1 = a + iβ, r2 = a - iβ时 , x (1)1 = eat ( c1 cosβt + c2 cosβt) 313 　白化方程的特解有以下 3 种情况 : 当零不是特征方程的根时 , x (1) 31 = c 当零是特征方程的单根时 , x (1) 31 = cx 当零是特征方程的重根时 , x (1) 31 = cx2 4 　模型精度检验 记 ti 时刻残差为ε(1) ( ti ) ,则 ε(1) ( ti ) = x (1)1 ( ti ) - x^ (1)1 ( ti ) (6) 　　残差均值 €ε(1) = 1 n ∑ n i = 1 (ε(1) ( ti ) ) (7) 　　残差方差 s 2 2 = 1 n - 1 ∑ n i = 1 (ε(1) ( ti ) - €ε(1) ) 2 (8) 　　€x (1) 及方差 S21 分别为€x (1)1 = 1 n ∑ n i = 1 x (1) 1 ( ti ) (9) s 2 1 = 1 n - 1 ∑ n i = 1 ( x (1)1 ( ti ) - €x (1)1 ) 2 (10) 76　第 4 期 郑良飞 ,等 :地面沉降的 GM(2 ,1)模型预测研究 　　其方差比 c = s2 s1 (11) 　　小误差概率 p 为 p = p ε(1) ( ti ) - €ε(1) < 0. 6745 s1 (12) 　　按上述两项指标 ,其精度指标见表 1。 表 1 　精度检验指标 Table 1 　Indexes for precision verification 预测精度等级 p c 好 > 0195 < 0135 合格 > 0180 < 0150 勉强 > 0170 < 0165 不合格 ≤0. 70 ≥0. 65 5 　实例计算及 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 由于地面沉降机理性质复杂 ,工程参数不易准确 测定。目前关于地面沉降的模型提出都是建立在许 多假设的基础上。理论计算结果与实测结果往往会 有一些差异。为此 ,利用实测资料推算沉降与时间的 发展关系 ,用以预测地面沉降为一种简便、实用的方 法。由 1990～2001 年西安地质技工学校各标孔监测 资料统计分析发现[8 ,9 ] ,地面沉降影响因素主要有潜 水位变化、渗水量及工程荷载增加等 (潜水位降低引 起的土层沉陷 ,强降雨凹地积水大量下渗引起的失陷 或潜蚀) 。同时也包括受相邻开采段的影响所产生的 压密沉降量。从影响因素的内在联系及对地面沉降 的影响程度分析 ,不是简单的对应与叠加关系 ,但可 认为是不确定的灰色关系。故选用灰色模型较为符 合实际。预测用的监测数据 (表 2、3) 即根据文献 [8 ,9 ]所列整理取值。 由计算结果 (表 4)可见 ,非等时距 GM(2 ,1) 模型 预测地面沉降精度总体较 GM(1 ,1) 模型高。至于更 高阶次的微分方程 ,理论上预测精度应该更高 ,通过 实际计算 ,计算工作量较大 ,且特征方程的根有时并 不小于 0 ,因而无法得到最终位移。 表 2 　西安地质技工学校各标孔监测资料统计 Table 2 　Statistics table for holes observation data in Xi′an Geologic Mechanic School 年度 层段深 0～104190 (m) 104190～187128 (m) 187128～259191 (m) 259191～367128 (m) 沉降量Πmm 占总量百分比Π% 沉降量Πmm 占总量百分比Π% 沉降量Πmm 占总量百分比Π% 沉降量Πmm 占总量百分比Π% 1995 - 10144 9160 - 51177 47160 - 27124 35110 - 19124 17170 1996 - 8129 8160 - 47143 49122 - 32130 33150 - 8134 8160 1997 - 9119 11110 - 40171 48190 - 27194 33160 - 5129 6140 1998 - 3106 4170 - 34165 53180 - 25135 39140 - 1132 2110 表 3 　西安地质技工学校地面沉降值灰色模型预测值比较 Table 3 　Compare table for ground settlement in Xi′an Geologic Mechanic School with gray models 年度 1995 1996 1997 1998 2000 2005 2010 2040 实测值Πmm 108169 96136 83113 64138 GM(1 ,1)模型预测值Πmm 108100 96111 81122 64100 63121 61114 58113 43117 GM(2 ,1)预测值Πmm 108177 83120 83189 64151 64100 62100 58199 44115 6 　结束语 611 　根据灰色理论可得到 GM(n ,h)地面沉降变形预 测模型 ,方程阶次 n 越高 ,预测模型精度越精确 ,但高 阶次方程考虑的因素较多 ,求解也越困难。 612 　非等时距 GM(2 ,1)灰色模型预测地面沉降变形 精度较高 ,其中非等时距沉降序列可采用拉格朗日插 值函数转变为等时距沉降序列。对于更高阶次的微 分方程 ,通过实际计算 ,计算工作量大 ,且特征方程并 不小于 0 ,因而得不到最终位移。 613 　本文提出的 GM (2 , 1)地面沉降变形预测模型 , 计算简单 ,与原始数据的升降凹凸性保持一致。与传 统 GM (1 , 1) 模型相比 ,其计算精度较高 ,较好的反 映了地面沉降的变形趋势 ,具有很好的实用价值。 86 中国地质灾害与防治学报 ZHONGGUO DIZHIZAIHAI YU FANGZHI XUEBAO 2007 年 　 acer 高亮 acer 高亮 acer 高亮 表 4 　各年份实测值、预测值及精度检验 Table 4 　Observation value , forecast value and precision verification in every year 年度 灰色模型 沉降量Πmm 精度检验 评价 1995 1997 1998 GM(1 ,1) 模型 GM(2 ,1) 模型 GM(1 ,1) 模型 GM(2 ,1) 模型 GM(1 ,1) 模型 GM(2 ,1) 模型 实测值Πmm 108169 预测值Πmm 108100 ε(1) ( t i) - 819 实测值Πmm 108169 预测值Πmm 108177 ε(1) ( t i) - 217 实测值Πmm 83113 预测值Πmm 81122 ε(1) ( t i) 717 实测值Πmm 83113 预测值Πmm 83189 ε(1) ( t i) - 110 实测值Πmm 64138 预测值Πmm 64100 ε(1) ( t i) 1717 实测值Πmm 64138 预测值Πmm 64151 ε(1) ( t i) 119 s1 = 7199 ; s2 = 5123c = 0165 ; p = 018 勉强s1 = 7199 ; s2 = 2139c = 0130 ; p = 110 好s1 = 9190 ; s2 = 3133c = 0144 ; p = 110 合格s1 = 9190 ; s2 = 3117c = 0132 ; p = 110 好s1 = 7169 ; s2 = 7115c = 0193 ; p = 018 不合格s1 = 7169 ; s2 = 2152c = 0133 ; p = 110 好 　　注 : s1 — 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差 ; s2 —残差标准差 ; c —方差比 ; P —小误差概率 ;ε ( t i) —沉降第 i 时刻的残差 参考文献 : [1 ] 　西安市地铁一号线工程可行性研究 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 [ R] . 2001. 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This model is used to ground subsidence observation points in Xi’an , and the result shows that the GM(2 , 1) model has higher forecast precision than GM(1 , 1) ,and this model agrees with the actual situation. Key words :ground subsidence ; safety monitoring ; gray forecast ; anisochronous [重大工程信息 ] 广州工地涌水致 300m2 地面塌陷 　　2007 年 10 月 5 日凌晨 3 时 ,正在进行暗挖施工的如意坊一工地 ,突然有股巨大不明涌水涌出 ,致命名地表塌隐 ,呈一个深约 5～6m面积约 300m2 的大坑 ,一座面积 80m2 的餐厅当场被埋进了泥水当中。幸好未造成人员伤亡。 工程单位表示 ,这是一宗一般的因地质引起的工程事故。施工地点临近珠江 ,区域地质条件非常复杂 ,地下富含水淤泥、沙 层厚度达十几米。5 日凌晨 3 时 ,正在进行蝉挖施工的如意坊工地在隧道初期支护完成后 ,突然发现掌子面有巨大不明涌水涌 出。施工单位立即组织工人撤离现场。不久 ,地表出现塌隐 ,未造成人员伤亡。 工程单位表示 ,实际塌方的仅是地表露出的一小部分而已。塌方面积看着大 ,实际上都是工程本来所挖出来的正常通道 ,并 没有人们想象中的那么严重。 96　第 4 期 郑良飞 ,等 :地面沉降的 GM(2 ,1)模型预测研究 acer 高亮 acer 高亮