快速子空间迭代法、迭代Ritz向量法与迭代Lanczos法的比较

第18卷第2期 2005年6月 振 动 工 程 学 报 JournalofVibrationEngineering V01．18No．2 Jun．2005 快速子空间迭代法、迭代Ritz向量法与 迭代Lanczos法的比较 宫玉才，周洪伟，陈 璞，袁明武 (北京大学力学与工程科学系，北京100871) 摘要：以高效的细胞稀疏直接快速解法为核心步骤，实现了快速的固有振动广义特征值问题解法。并在相同的允 许模态误差的意义下检验了三种常用的大型矩阵特征模态算法——子空间迭代法、迭代Ritz向量法和迭代Lanc— ZOS法的计算效率。迭代Ritz向量法平均最快。子空间迭代法最慢，三种解法效率相差不是太大。与ANSYS的子空 间迭代和Lanczos法相比，本文的子空间迭代比ANSYS的效率高很多，Lanczos法和ANSYS的效率差不多。大量 较大规模的例题显示，本文对特征值算法的改进是十分有效的，算法的健壮性，通用性都达到了高水平。 关键词：结构振动；特征值；子空间；迭代法 中图分类号：0327；0151．21文献标识码：A 文章编号：1004-4523(2005)02一0227—06 1振动特征值问题 在工程有限元分析中常常要求解广义代数特征 值问题 K妒一剐订P一0 (1) 的部分低阶特征值与特征向量。对于矩阵阶数超过 1000的大型问题，子空间迭代法、Ritz向量法和 Lanczos法被公认为求解部分低阶极端特征值和特 征向量的有效方法。尽管国内外的有限元软件都提 供广义代数特征值问题(1)的多种解法，但结果仍然 不能令人完全满意，漏根与多根、自由模态误判都时 有发生。 传统上，低端特征值问题求解过程极度依赖于 谱变换的线性方程组 (X—fYM)x=LDLTz=My(2) 的解法，移轴矩阵x一卢M的LDLl三角分解是计算 量最大的。在以变带宽解法为核心步骤的特征值解法 中，它常常占到特征值问题计算时间的70％～90％。 本文采用了文Ef]提出的一个效率非常高的有限元解 法——细胞稀疏直接快速解法(简称细胞解法)替换 变带宽解法，极大地提高了三角分解的效率。 如果要求不太多的特征模态，例如10个，通常 认为Ritz向量法和Lanczos法具有比子空间迭代 法更高的计算效率，Ritz向量法和Lanczos法比子 空间迭代法平均快4～10倍[2]。但是，标准的Ritz 向量法和Lanczos方法对收敛的判定是相对含糊 的，在实际工程计算中可能造成漏根或多根。 传统上，子空间迭代用特征值的两次迭代的相 对误差不等式 监丢I掣≤b (3)】(卜P1)l ＼。^ 、o7 控制收敛，而Lanczos法用其过程中的不等式 I酊1一可jl≤I成s。iI<％ (4) 控制收敛。在大量的工程计算中，发现在允许误差 e。=￡。=10叫的情形下，除最低的10多阶模态之外， 子空间迭代与Lanczos法所得到的特征向量精度都 可能不令人满意。这一现象对Lanczos方法尤为严 重，原因是采用逆迭代技术时，高阶的、密集的特征 值不易分离。 关于特征模态的收敛，不同的算法往往采用不 同的标准，相对速度的比较不是很客观。对于特征模 态的近似(瓦，磊)，在各种算法中可以统一用模态误 差(5)代替特征值误差作为收敛判据，来衡量算法 的效率。等≈锗≤％㈣ 模态误差有明显的物理意义，K像是振型毂的最大 弹性节点力，而九M豫是振型纷的最大惯性节点 力。式(5)的最左端是非平衡节点力与最大弹性节点 收稿日期：2004—08—23；修订日期：2004—12—15 基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20030001112) 万方数据 228 振 动 工 程 学 报 第18卷 力之比，中间是非平衡节点力与最大惯性力之比[3]。 大量算例 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，在模态误差的意义之下，收敛过 程平稳，三种解法效率相差不是太大。迭代Ritz向 量法平均最快，子空间迭代法最慢。 本文最后还与ANSYS8．1的子空间迭代法和 块Lanczos法进行了比较。 2算法描述 2．1子空间迭代法 子空间迭代法最初是由Clint和Jennings提 出，是反幂法的推广[4]。稍后，Bathe和Wilson在其 中加入了子空间上的Rayleigh—Ritz过程。它可以明 显地改善收敛速度[4’5]。以下是一个子空间迭代算法 的主要步骤。 I．初始化 (1)确定子空间的维数q； (2)选取初始向量矩阵x∈RⅣ×9； (3)设定每次移轴的最大迭代次数，。。。。 Ⅱ．移轴与Sturm序列校核 (1)计算移轴∥，应设法保证它不是特征值； (2)分解移轴刚度矩阵K--,uM=LDLl； (3)Sturm序列校核。 Ⅲ．迭代J。。，次，完成后转向I (1)将X进行M一正交归一化； (2)解试向量矩阵X1一(LDLT)_‘MX； (3)计算K和肘在x。上的投影， K。一X'[KXl，M。一XTMXl； (4)求解q阶广义特征值问题K。西’一 M+西。A’； (5)形成新的近似特征向量x=x，西。； (6)按模态误差判断特征值和特征向量的收敛， 移出已收敛的特征向量，并在x中加入随机向量或 减缩子空间的大小。 子空间迭代法假设q个初始向量同时进行迭 代，求得前P个特征值和特征向量。传统上，q— min(2p，户+8)，但模态数需求较多时，这种取法显 然是不现实的。经验表明，子空间维数可取q— max(√s，4)，其中S为L中一行的平均非零元个 数，由第Ⅱ与Ⅲ步计算量之比确定。 2。2迭代Ritz．向量法 Ritz向量法是由Wilson，Yuan(袁明武)和 Dickens在1982年提出的‘6|，也称为WYD—Ritz向 量法，最初用来求解地震的动力响应问题。后来，袁 明武等将其用于大型特征值问题的计算，使它成为 一种极为有效的特征值算法‘川。 引入迭代可以改善特征值与特征向量的精度， 具体步骤如下： I．初始化 (1)确定块Ritz向量法块宽q与生成步数r； (2)选取初始向量矩阵Q。∈RⅣ×9； (3)设定每次移轴的最大迭代次数J。。。。 Ⅱ．移轴 (1)计算移轴∥，应设法保证它不是特征值； (2)分解移轴刚度矩阵K--,uM-一LDLl； (3)Sturm序列校核。 11I．迭代Im．x次，完成后转向Ⅱ (1)对k=0，1，⋯，r一1解LDLT办+。=MQ^，然 后将珐+。对已收敛的特征向量以及Q。，Qz，⋯，么作 M一正交归一化，并形成9+t； (2)计算K在Q=(Q。，Q：，⋯，Q，)上的投影， K。一Q1KQ； (3)求解q×，‘阶标准特征值问题x’圣。= 面。A’。 (4)形成新的近似特征向量X—Q中’； (5)按模态误差判断特征值和特征向量的收敛， 移出已收敛的特征向量； (6)如果达到了预期的特征值个数，退出；否则 将未收敛的前q个近似向量作为初始向量进行下一 次迭代。 2．3迭代Lanczos方法 Lanczos方法是在20世纪50年代初提出的， 它用正交向量组约化对称矩阵为三对角矩阵。70年 代以前它被认为不稳定，用于实际计算不多。1972 年，Paige证明了失去了正交性的充分必要条件是 其投影矩阵的特征值收敛到原矩阵的特征值。此后， Wilkinson等建议了重正交化 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，Golub，Cullum 和Donath，Underwood等建议了块Lanczos方法， Underwood建议了迭代Canezos方法[8．9]。 本文采用一个带重正交的迭代块Lanczos方 法，向量生成步骤与上面的迭代Ritz向量法一致， 其差别是Lanczos方法利用了Ritz向量生成过程 中的正交归一化系数。迭代Lanczos方法的第1，Ⅱ 步与迭代Ritz向量法完全一致，为了节省篇幅，仅 给出第Ⅲ步中的第(1)，(2)步。 Ⅲ．迭代Ira．,次，完成后转向Ⅱ (1)对志=0，1，⋯，r解LDLT兹+。=MQ,，然后 万方数据 第2期 宫玉才，等：快速子空间迭代法、迭代Ritz向量法与迭代Lanczos法的比较 229 将么+。对已收敛的特征向量以及Q。，Q：，⋯，g作 M一正交归一化，并形成g+。。在此过程中依次形成 T。； (2)求解q×，．阶标准特征值问题r。圣。一 圣。以。。 文献上一般都将Krylov空间Span(Q，，Q2，⋯， Q，)的维数取得较大，例如为待求特征值个数的2 倍，以期一次完整的Lanezos过程得到全部想要的 模态。本文是在较小的Krylov空间上完成I．anczos 过程，然后用最好的q个近似特征向量作为下一次 Lanczos过程的初始向量。这样的方案是一个子空 间迭代与Krylov空间结合的算法，具有与子空间迭 代法同样的可靠性，在文献上还较为少见。 2．4程序实现 在程序实现中，移轴三角分解，向前消元和向后 回代采用了细胞解法[1]，它的综合效率是变带宽解 法的数倍至数百倍。在其它方面，循环展开也广泛地 应用于各种计算加速中，例如正交归一化等。算法中 需要多次计算的乘积KX采用稀疏总体刚度矩阵与 向量乘积的方案计算，它的计算量与计算时间比求 解方程(2)小一个量级以上，因而不影响整体的计算 效率。 如果在正交化过程中，一个向量正交化以前的模 与正交化以后的模之比超过了某一阈值，将对此向量 实施双正交化，即对已正交化的向量再实施正交化。在 下面的数值试验中，这一阈值取为10”。 为节省计算量，Ritz向量法与Lanczos法的第 Ⅲ步在形成新的特征向量时，未计算全部Rayleigh— Ritz特征值相对应的近似特征向量。 在子空间迭代法中，投影特征值问题的解法选 用了广义Jacobi方法[3]，允许误差取为2-24。在 Lanczos方法和Ritz向量法中，求解投影特征值问 题采用了Householder变换与QI，方法的组合n0|。 根据经验，子空间迭代法中与一次移轴三角分 解相应的最大迭代次数取为 Im。。=max(O．5Ns2／(3Nq2+2Nq+lOq3)，6) 迭代Ritz向量法与迭代I．anczos法块的大小一般 取g=4，步数r一6；这相当于Krylov子空间的维数 是24。类比于子空间迭代法，与一次移轴三角分解 相应的最大迭代次数取为 I。。。=max(O．5Ns2／(3Nq2r2+2Nqr+lOq3，．3)，4) 三个算法的Sturm校核均取后验方式，移轴的 首选为下两个待收敛特征值之中点，即 户一0．5(Al+1+丸+2) 若失败，则选为 卢一九+0．98(I{+l一九) 式中凡是最后一个已收敛的特征值，≈+。，≈+。是 下两个待收敛的特征值。 3算例与讨论 大量的实际工程问题被用来检验本文的三种方 法，限于篇幅仅在表1和表2中列出一小部分，其中 PKUSTK系列在以前的研究中已多次使用[1‘11|。必 须强调，基于半带宽解法或变带宽解法的特征值算法 求解这些阶数的问题时，在时间和空间上都是十分困 难的，特别是求解数十个特征模态时。 算例与讨论的第一部分是三个解法自身的比 较，第二部分是本文的方法与WindowsNTAN— SYS8．1的速度比较。 测试平台是Window2000或WindowsXP， CPU均为PentiumIV系列，编译器选用的是Corn— paqVisualFortran6．5，编译中未对特定处理器优 化。测试程序接受Harwell—BoeingRSA矩阵交换格 式‘l2{。 3．1 三种广义特征值解法的比较 这一部分的数值试验都在一台带IDE磁盘、内 存为512MB、操作系统为中文Windows2000的 PentiumIV2．0机器上进行的。目标是在相同的精 度要求下，比较三种解法在模态误差意义下的求解 效率，即计算量与求解时间。三种方法的数据区大小 均控制在384MB，所有计算可在内存中完成。表1 给出了例题的工程背景以及大小，表2则是计算时 间、移轴次数和迭代次数。这部分试验例题是由 SAP84生成的，并间接转换成Harwell—BoeingRSA 格式‘l31。 表1试验例题以及其说明 万方数据 230 振 动 工 程 学 报 第18卷 表2计算lO个与80个特征模态所需的CPU时间(单位：s)与计算次数 10 51．14 l 6 48．52 1 3 47．67 1 3 PKUSTKll 80 945．628 145 399．327 26 330．17 6 21．62 8 145 ．32 7 2 ． 10 1．30 1 GUIZHEN 80 19．90 7 11 1．05 1 129 7．25 5 3 O．95 1 20 7．12 6 10 3．59 2 PALACE 80 39．01 7 15 2．70 1 126 19．93 7 4 3．61 2 24 19．84 7 表1中neq是方程组的大小，而lKl与lLl分别 是刚度矩阵与它的三角因子的存储量。表2中的8 个算例中，PKUSTK03，PKUSTKl3，MM—08特征 值分布密集。 计算过程中，除PKUSTK03的允许模态误差 选为％=10叫之外，其它各例题的允许模态误差均 取为岛一10～。三种算法求得的固有振动特征值的 前6位有效数字完全一致。各算例的各阶特征值最 大相对误差为2．56×10一，平均为1．56×10一。这 间接说明了三种迭代方法的可靠性。平均意义下，迭 代Ritz向量法最快，它的计算速度是子空间迭代法 的2倍左右。迭代Lanczos法比迭代Ritz向量法稍 慢一点，但仍然比子空间迭代法快。 算例PKUSTK03的对象是一个内有24个互 相连接的筒仓大方钢仓，它的固有振动特征值十分 密集。在70．49到130．82的区间内分布了79个特 征值，两个相邻特征值之间的相对差有的在10_4的 量级。如采用式(3)的特征值相对误差控制子空间迭 代的收敛，在取e-一10_8时，仍不能很好地控制收 敛。用￡，=10_3计算时也出现了收敛到不正确特征 值与特征向量的例子，三种方法的同阶特征值计算 结果的最大相对误差达1．47X10～。在取￡，一10-4 后，三个方法的特征值结果的最后相对误差降为 1．12×10～。一般来说，取更小的￡，需更长的求解 时间。测试表明：％一10-3与％一10_4的求解时间的 相对差为10％到17％，但也有例外，MM—08的子空 间迭代法用￡，=10_4作为收敛判据的求解时间为 885．43S，而用￡，=10-3时的求解时间为1098．28 S，这可能是由于低阶模态的精度提高所引起的。 子空间迭代法的实际测试中发现，％=10_3大 致相当于旬=10_7或更小，￡，=10叫则相当于e^= 10～。 另外，本文的Lanczos方法与WYD—Ritz向量 法采用的方案基本上是一致的，所以它们的计算时 间大致相同。 3．2与ANSYS的比较 为了说明本文方法与国际先进水平的相对速 度，与WindowNTANSYS8．1的子空间迭代法和 块Lanczos方法进行了对比。表3所列的有限元模 型是在ANSYS中形成的，并通过DUMP命令导出 Harwell—BoeingRSA格式的总体刚度矩阵与聚集 总体质量矩阵。 所有的比较是在PentiumIV2．4，512MB RAM的机器上进行的，操作系统为WindowsXP。 在测试中，本文的三种算法仍采用e，=10q作为收 敛判据，ANSYS的子空间迭代法的收敛判据应为 式(3)，ej一10一。ANSYS与NASTRAN的块Lanc— ZOS法均采用了文献E143上的一个精巧方法。表3 与表4分别给出了试验例题以及计算所用的CPU 时间。 万方数据 第2期 宫玉才，等：快速子空间迭代法、迭代Ritz向量法与迭代Lanczos法的比较 231 表3 ANSYS试验例题以及它们的说明 表4 ANSYS与本文特征值计算方法的CPU时间 比较(单位：s) 算例TABT的特征值分布不密集；算例 BUAAl为一具有1个刚体自由度结构，特征值分 布较密集；算例BUAA2为一具有6个刚体自由度 结构，重根、特征值分布较密集。 除BUAA2之外，ANSYS与本文几种算法的 周期结果在6位有效数字的范围内完全一致。 BUAA2为一具有6个刚体自由度的轴对称结构， 它有多对二重根。计算中，ANSYS的Lanczos算法 未能正确识别全部6个刚体自由度。ANSYS的子 空间迭代则不能发现全部重根；在计算10个特征值 时遗漏了4个重根从而导致迭代失败，计算20个特 征值时出现不收敛的现象。 与ANSYS的子空间迭代比较，本文的子空间 迭代法不仅具有明显的速度优势，而且在计算控制 上也更胜一筹。与ANSYS的块Lanczos法相比，本 文的迭代Ritz向量法与迭代Lanczos法是相当保 守和安全的，算法上还不够精巧。本文方案的迭代次 数与三角分解次数明显多于ANSYS的，但由于采 用的细胞解法的三角分解速度以及消元回代速度比 ANSYS的相应算法快一些，才使得本文的方案在 整体上略有优势。在计算少量特征模态时，三角分解 的计算时间起控制作用，本文的方法比ANSYS快， 但求较大数量的特征值时，迭代占去较大部分的计 算时间，与ANSYS之问的差距缩小。 ANSYS的块Lanczos方法采用了多Lanczos 步的方案n引，它对特征值不密集的结构相当有效， 但当特征值密集时，本文采用的少Lanczos步骤的 方案更为有利。 ． 如只采用类似式(3)的特征值不等式控制迭代 Lanczos方法收敛，本文的方法速度可以提高30％ 到70％，但求解大量特征值时出现数个“幽灵”特征 值。 4 结 论 本文在广义特征值计算中实现了以下几个改 进： (1)用细胞解法替代了变带宽解法； (2)用模态误差替代了特征值相对误差； (3)循环展开用于特征值解法的各个环节。 本文的改进使得固有振动广义特征值计算的速 度提高1个量级以上。细胞解法的引入改变了特征 值解法中三角分解与迭代的计算量之比，多次移轴 在大中型实用计算上成为可能；模态误差收敛判据 使固有振动特征模态计算的过程变得平稳。 经验表明，模态误差比特征值误差更能反映特 征值问题计算的精度。在计算较多模态时，模态误差 应该作为首选的收敛判据。在实际工程计算中可将 式(5)与式(3)的逻辑“或”作为收敛判据，并取￡-= 10-4《。这一做法保证了绝大部分特征向量是按模 态误差收敛的。 在没有移轴的情形下，许多研究都认为Lanc— ZOS方法与Ritz向量法比子空间迭代快5～10 倍阻13]，但在允许以较小的代价实施移位时，本文的 I．anczos方法与Ritz向量法仅比子空间迭代法快2 倍左右。 致谢感谢美国Virginia大学的秦钧博士关于 Lanczos方法的通信以及部分源代码，作者感谢北 京航天航空大学504教研室的硕士生陈展同学提供 了ANSYS的算例BUAAl和BUAA2，并帮助进行 计算。 参考文献： [1]ChenP．ZhengD，SunSL，eta1．Highperformance sparsestaticsolverinfiniteelementanalysiswith loop—unrolling[J]．AdvancesinEngineeringSoft— 万方数据 232 振 动 工 程 学 报 第18卷 [2] [3] [4] [53 [63 [73 [8] waret2003，34：203—2l5． YuanMW，ChenP，SunSL，eta1．Fastsparsestat— ie andeigenvaluesolversforfiniteelementAnalysis [A]．袁明武。等主编．工程与科学中的计算力学．中国 计算力学大会’2001 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 集[c]．北京：北京大学出版 社，2001．101—111． BatheKJ．FiniteElementProcedure[M]．NewJer— sey：PrenticeHallInternationalIne．，1996． ClintM，JenningsA．Theevaluationofeigenvalue andeigenveetorsofrealsymmetricmatricesbysimul— taneousiteration[J]．TheComputerJournal，1970，13 (1)：76—80． BatheKJ，WilsonEL．Largeeigenvalueproblemsin dynamicanalysis[J]．ASCEJ．Energ．Meth．Div．， 1972，98：1471—1485． WilsonEL，YuanMW．DickensJM．Dynamicanal— ysisbydirectsuperpositionofRitzvectors[J]．Earth． quakeEng．Struct．Dyn．．1982，10：813—832． YuanMW，eta1．TheWYDmethodinlargeeigen— valueproblems[J]．Eng．Comput．，1989，6：9—57． GolubGH．SomeusesofLanczosalgorithminnu- mericallinearalgabra[M]．TopicsinNumericalAnal— ysis(ed．byMillerJJH)。1972，173—194． [9]u『nderwoodR．Aniterativeblocklanczosmethodfor thesolutionoflargesparsesymmetriceigenproblems [D]．StanfordUniversity．1975． [i03PressWH．TeukolskySA。VetterlingWT．eta1． NumericalRecipesinFortran90：theArtofParallel ScientificComputing[M]．2nded．Cambridge：Cam— bridgeUniversityPress，1996, + [11]陈璞。孙树立，袁明武．有限元快速解法[J]．力学学报， 2002。34(2)：216～222． [12]DuffIS，GrimesR．LewisJ．Theuser’sguideforthe Harwelt-Boeingsparsematrixcollection(ReleaseI) [R]．TechnicalReportTR／PA／92／86，CERFACS． Lyon，France，1992． [13]NguyenDT。BuntingCF，MoellerKJ，eta1．Sub- spaceandLanczossparseeigen—-solversforfiniteele—- mentstructuralandelectromagneticapplications[J]．J AdvancesinEngineeringSoftware，2000，31：599— 606． [14]GrimesRG，LewisJG，SimonHD．Ashiftedblock lanczosalgorithmforsolvingsparsesymmetricgener— alizedeigenproblems[J]．SIAMJMatrixAnal．Ap— p1．．1994，15(1)：228—272． Comparisonofsubspaceiteration，iterativeRitzvectormethod anditerativeLanczosmethod GONGYu—cai，ZHOUHong—wei，CHENPu，YUANMing—wu (DepartmentofMechanicsandEngineeringScience．PekingUniversity．Beijing100871，China) Abstract：Basedonthecellsparsefastsolverandloop—unrolling，thispaperimplementsthreeefficienteigenvaluealgo- rithms--subspaceiteration，iterativeRitzmethodanditerativeLanczosmethod．Slightmodificationsaremadeforiterative RitzmethodanditerativeLanczosmethod．Theseeigenvaluealgorithmsareexaminedunderthemodeerror·i．e·theratioof out--of··balancenodalpointforcesthatisthedifferenceofmaximumelasticnodalpointforcesandmaximuminertianodalpoint forces，andthemaximumelasticnodalpoint．Averagely，iterativeRitzmethodisthemosteffcientoneamongthem．Engi— neeringprojectsareusedasexamplestoverifythemethods．Underthemodeerrorconvergencecriteriontheeigenvalueex— tractingprocessesaremorestablethaneigenvalueconvergencecriteria．ComparedwithANSYS’ssubspaceiterationandblock Lanczosapproaches，thesubspaceiterationofthispaperismuchmoreefficient，andLanczosapproachhasalmostequaleffi— ciency．Themethodsproposedareofindustrialstrengthandefficient．Largescaletestsshowthattheimprovementinterms ofCPUtimeandstoragerequestistremendous． Keywords：structuralvibration；eigenvalue；subspace；iterationmethods 作者简介：宫玉才(1980一)，男，硕士研究生。电话：(010)51605333；E—mail：gongyc@pku．edu．cn 通讯作者：陈璞(1962一)，男，博士，副教授。电话：(010)62751828；E—mail：chenpu@，pku．edn．cn 万方数据 快速子空间迭代法、迭代Ritz向量法与迭代Lanczos法的比较 作者： 宫玉才， 周洪伟， 陈璞， 袁明武， GONG Yu-cai， ZHOU Hong-Wei， CHEN Pu， YUAN Ming-wu 作者单位： 北京大学力学与工程科学系,北京,100871 刊名： 振动工程学报 英文刊名： JOURNAL OF VIBRATION ENGINEERING 年，卷(期)： 2005,18(2) 被引用次数： 13次 参考文献(14条) 1.Nguyen D T;Bunting C F;Moeller K J Subspace and Lanczos sparse eigen-solvers for finite element structural and electromagnetic applications[外文期刊] 2000 2.Duff I S;Grimes R;Lewis J The user's guide for the Harwell-Boeing sparse matrix collection (Release I) 1992 3.陈璞;孙树立;袁明武 有限元快速解法[期刊论文]-力学学报 2002(02) 4.BATHE K J Finite Element Procedure 1996 5.袁明武 工程与科学中的计算力学 2001 6.Grimes R G;Lewis J G;Simon H D A shifted block lanczos algorithm for solving sparse symmetric generalized eigenproblems 1994(01) 7.Underwood R An iterative block lanczos method for the solution of large sparse symmetric eigenproblems 1975 8.Golub G H Some uses of Lanczos algorithm in numerical linear algabra 1972 9.Yuan M W The WYD method in large eigenvalue problems 1989 10.Wilson E L;Yuan M W;Dickens J M Dynamic analysis by direct superposition of Ritz vectors 1982 11.BATHE K J;Wilson E L Large eigenvalue problems in dynamic analysis 1972 12.CLINT M;Jennings A The evaluation of eigenvalue and eigenvectors of real symmetric matrices by simultaneous iteration[外文期刊] 1970 13.Press w H;Teukolsky S A;Vetterling W T Numerical Recipes in Fortran 90:the Art of Parallel Scientific Computing 1996 14.Chen P;Zheng D;Sun S L High performance sparse static solver in finite element analysis with loop-unrolling 2003 本文读者也读过(3条) 1. 宫玉才.陈璞.袁明武 子空间迭代法、迭代Ritz向量法与迭代Lanczos法的比较[会议论文]-2003 2. 陈璞.孙树立.袁明武 有限元分析快速解法[期刊论文]-力学学报2002,34(2) 3. 宫玉才.周洪伟.陈璞.袁明武 三种常用固有振动特征值解法的比较[会议论文]-2005 引证文献(13条) 1.周自维.吕健.冯娜.吴飞 基于ABAQUS的无心外圆磨床砂轮架模态分析[期刊论文]-现代机械 2012(3) 2.张静.刘明辉.郑钢铁 Lanczos-QR方法在大型非比例阻尼结构复模态计算中的应用[期刊论文]-振动与冲击 2011(5) 3.胡迎春.朱慧 基于分块法的人工髋关节模态分析[期刊论文]-广西工学院学报 2011(2) 4.张安平.陈国平 一种新的有限元模型移频动力缩聚法[期刊论文]-计算力学学报 2011(2) 5.李长松.黄方林 基于Matlab的连续梁桥动力响应分析[期刊论文]-铁道科学与工程学报 2010(1) 6.水平地震力作用下钢板桩围堰体系动力响应数值分析[期刊论文]-沈阳建筑大学学报（自然科学版） 2009(6) 7.李秀梅.吴锋.黄哲华 PCG法的理论解释及在结构分析中的应用[期刊论文]-广西大学学报（自然科学版） 2009(4) 8.许益明.赵现朝.高峰.张建政 一种新型六维加速度传感器的结构 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 与分析[期刊论文]-机械设计与研究 2009(1) 9.王玉娥.于晓岩.龚昕 短程线型单层球面网壳的自振特性分析[期刊论文]-山西建筑 2008(12) 10.郭瑞林.吴培培.晏杰芳 肋环型单层球面网壳结构的频谱特性分析[期刊论文]-江西科学 2007(4) 11.赵美田 使用地震响应谱对桥梁进行动力学有限元分析[学位论文]硕士 2007 12.宫玉才 子空间迭代法几种加速方案的评价和一种新的改进方案[学位论文]硕士 2006 13.彭文波 子空间迭代法求解广义特征值问题的改进[学位论文]硕士 2005 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdgcxb200502019.aspx