《授时历》和《回回历法》中的日食时差算法

《中国科技史杂志》第28卷 第 2 J~](2007 if)：l14—122 ThP c ， JournalfortheHistory ofScience and Technology Vo1．28 No·2(2007) 《授时历》和《回回历法》中的 日食时差算法水 唐 泉 (成阳师范学院 数学系，陕西 咸阳 712000) 摘 要 El食时差算法是 El食计算中的核心算法，在 El食理论中占有重要 地位。对《授时历》和《回回历法》中的时差算法进行比较研究 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，《回回历 法》中的时差算法在 自变量的完备性、符号的选择以及精度等方面，均明显优于 《授时历》，该结论对评价中国和阿拉伯传统El食算法优劣有一定参考意义。 关键词 El食时差 《授时历》 《回回历法》 定朔 食甚 中图分类号 N092：P1—092 文献标识码 A 文章编号 1673—1441(2007)02—01 14—09 视差算法是历法家为修正月亮视差而设计的一套算法，在日食理论中占有重要地位。 中国传统视差算法包括气差、刻差和时差，合称日食三差。阿拉伯传统视差算法包括东西 差、南北差和时差。古代中国和阿拉伯视差算法中的时差具有相同的涵义，都指的是定朔 时刻和日食视食甚时刻之间的时间差。 在传统日食理论中，历法家设计日食时差的根本 目的，是为了用时差修正定朔时刻， 得到日食视食甚时刻。从这个意义上讲，一部历法中日食时差算法的优劣，可以在一定程 度上反映这部历法的日食计算水平。因此，比较不同文明的日食时差算法，对考察这些文 明的日食理论，具有一定的借鉴意义。 薮内清和曲安京等学者对中国传统日食时差算法进行过较为详细的研究 。J。唐泉 在薮内清等人的研究基础上，重新构建了日食时差算法的理论模型([3]，53—57页)。 顾观光和陈久金对《回回历法》中的时差算法进行过详细的释读与研究 j]，但未涉及时 差算法的精度。 《授时历》和《回回历法》是两部能够分别反映当时中国和阿拉伯13食计算水平的历 法。我们试图通过对这两部历法中的日食时差算法进行比较研究，来揭示中国和阿拉伯 传统13食时差算法之问的差异。 收稿日期：2006—10—12 作者简介：唐泉，1974年生，甘肃靖远人，博士，咸阳师范学院数学系讲师，tangquan74@163．corn。 基金项目：国家 自然科学基金(项 目编号：10471l11)；咸阳师范学院引进人才专项科研基金(项 目编 号： 06XSYK114) 本文是笔者在西北大学所做的博士学位论文《希腊、印度与中国传统视差理论研究》的一部分，此次发表时作 了较大幅度的调整和改写。 维普资讯 http://www.cqvip.com 2期 唐泉：《授时历》和《回回历法》中的日食时差算法 115 1 日食时差算法的天文意义及理论模型 在中国古代历法中，定朔时刻和日食视食甚时刻之间的时间差，被称为日食时差 历 法家为计算日食时差而设计的算法，称为日食时差算法。《授时历》和《回回历法》中的日 食时差算法，均以定朔时刻太阳的黄经和时角作为自变量。为便于讨论其精度，我们以定 朔时刻太阳的黄经和时角作为自变量 ，来构建时差算法的理论模型。 月亮视差对日食视食甚时刻的影响可以借 助图 1进行说明④。图 1中，D表示黄极，z表 示天顶，Q和 Q 分别表示黄道与白道和视白道 的交点， 和 分别表示定朔时刻 的真太阳 和真月亮。在定朔时刻，由于月亮视差影响，视 月亮略低于真月亮，故对地面上的观测者而言， 此时并不是视食甚时刻。只有当经过一段时间 之后 ，太阳运行至 ，月亮运行至 ，并且此时 视月亮 和真太阳 同黄经，此时才是视食甚 道 时刻 。②定朔时刻 T与视食甚时刻 之问 图1时差的天文意义 的时间差 ，亦即月亮从 运行至 或者太阳从 运行至5 的时间，就是日食时差。 分别作过 和 的黄经圈DMS和 ，其中DM"S 和自道相交于A，作过 和 的地平经圈ZM M"B，和地平交于 。若令 、 分别表示太阳与月亮的平均视运动速度， 则日食时差 可由下式求出： MM SS MM 一SS M A ，，、 A t=— — =—— =— — ≈ — — 【l m m 一 m 一 令P 表示月亮的地平视差，z 表示视食甚时刻真月亮 的天顶距，A、6分别表示太 阳的黄经和赤纬， 表示黄赤大距， 表示观测地点的地理纬度，h和h±h(At)分别表示 定朔和视食甚时刻太阳的时角。若设星位角为 G ，赤经圈和黄道的夹角为 G，经过月亮的 地平经圈和黄道的夹角为 ，则时差 △￡可由如下联立方程组求出([3]，56页)： f “A “ ICOSZ =sin&in~十cos&os~cos(h±h(At)) ，tanC=(tan6cosA)～，0。≤G≤180。 J i G，： ，一90。≤G，≤90。 (2) I Slnz L =G—C △ ：堕 ① 我们以日食发生在下午为例 ，并且此时月亮刚刚经过升交点，在黄道上方运行。 ② 通常而言，定朔时刻和食甚时刻 ，或者视合朔与视食甚之间总有一个时间差，由于这个时问差一般都在 3分 钟左右，因此在精度要求不是特别高的情形下，我仃一般不去刻意区别定朔时刻和食甚时刻、或者视合朔与 视食甚之间的差异。 维普资讯 http://www.cqvip.com ll6 中 国 科 技 史 杂 志 28卷 在后文分析时差算法的精度时，我们的理论结果均按照方程组(2)进行计算。 2 《授时历》中的日食时差算法 中国古代历法中的日食时差算法，发端于隋代的．《大业历》和 《皇极历》。但一直 到 《宣明历》之前，历法中的时差算法，基本上都以定朔时刻月亮离开黄白道交点的 距离作为自变量，有的历法还会在此基础上，附加一些带有经验色彩的改正项。由于时 差只和太阳的黄经、时角以及当地的地理纬度有关，而和定朔时刻月亮离开黄白道交点 的距离没有关系，因此从原理上讲，《宣明历》之前的时差算法基本上不包含任何合理 因素。也就是说，《宣明历》之前的时差算法对计算日食视食甚时刻基本上起不到任何 有益的作用。《宣明历》中时差算法的实质性进步，突出表现在它首先考虑到时差与时 角及朔日昼刻有关①。《宣明历》中的时差算法被随后的一些历法所效仿，只在算法系 数上有一些变动。《崇天历》在此基础上，将时差算法改为相减相乘的形式，并抛弃了 对朔 日昼刻的考虑，但和以前诸历一样，其算法在午前午后并不统一。这种状况在 《庚午元历》中发生了根本变化，午前午后的时差算法在 《庚午元历》中统一为一个算 式，但其算式仅和时角相关，而不考虑黄经对时差的影响。([3]，80页) 《授时历》中的日食时差算法见载于 《元史 ·历志》，其术文称： 日食，视定朔分在半 日周已下，去减半周，为中前；已上，减去半周，为中 后：与半周相减，相乘，退二位，如九十六而一，为时差；中前以减，中后以加， 皆加减定朔分，为食甚定分；以中前后分各加时差，为距午定分。 依术文，《授时历》 中的时差算法可以表示如下： (日分) (3) 式 (3)中， 表示距午分，即定朔时刻距离午正的日分数，5000为 《授时历》中 日周的一半，即术文中所称的 “半日周”。为方便比较，我们将 《授时历》中的时差算 法换算成以太阳的时角为自变量的函数。由于 《授时历》中的时差函数关于午正对称， 故我们只考虑午前的情形，午后的情形可由对称性得出。 若设定朔小余为 r，当0≤r≤0．5时，式 (3)可化为： At= (_— ×1000(日) (4) 由于定朔小余 r对应的时角 h=360 X (0．5一r)，故式 (4)可化为以时角为自变 量的函数： At( ) ： × (分 0≤ 80。 (5) 从理论上讲，对某一观测地点的观测者而言，时差是以太阳的黄经和时角为自变量 的函数。但 《授时历》中的时差算法只考虑了时角，而忽视了黄经对时差的影响，因 ① 对某一确定的观测地点而言，朔 日昼刻和太阳的黄经密切相关。 维普资讯 http://www.cqvip.com 2期 唐泉：《授时历》和《回回历法》中的日食时差算法 117 此，《授时历》 中的时差算法存在着较大的缺陷。关于时差的符号， 《授时历》规定 “中前以减，中后以加”，即就是，如果日食发生在午前，则应从定朔时刻中减去时差， 得到视食甚时刻，午后的情形则刚好相反。根据时差的理论算法，时差的符号决定于日 食时太阳与黄平象限的相对位置，而跟午前午后没有必然的关系，因此 《授时历》中 以午正作为时差符号的分界点，是不严格的。 3 《回回历法》中的日食时差算法 和阿拉伯大多数传统数理天文学著作一样，《回回历法》将视差分为黄经视差和纬 度视差，前者称为东西差，后者称为南北差。东西差直接影响月亮的视黄经进而影响日 食的视食甚时刻，南北差直接影响月亮的视黄纬并进一步影响13食的食分，二者的单位 均为分。《回回历法》中的时差，是东西差除以月亮位于本轮最高处时的速度与太阳速 度的差值所得的结果，其单位为分钟④。故 《回回历法》中的东西差和时差在本质上相 同，只是单位不同而已。陈久金曾对东西差和时差之间的关系进行过详细的讨论 ， 此处不再赘述。 《回回历法》中东西差、南北差和时差分两个表格给出，其中东西差和南北差合为 一 表，称为 “经纬加减差立成”；时差单列一表，称为 “时差加减立成”。《回回历法》 在 “经纬加减差立成”的表头下，以小字注的形式说明了将时差单列一表的原因：“经 纬时三差，本合一立成，今因太密，将时差分另列一立成。”([8]，871页)为讨论方 便，我们列出 《回回历法》中的 “时差加减立成”(表 1；[8]，874—876页)： 表 1 《回回历法》中的时差加减立成 时 —— —— —— —— —— 一 —— —— 十 九 八 七 ／、 五 四 时 数 十 九 八 七 ／、 五 四 数 九宫 109 91 85 69 36 O 36 69 85 9l l0o 107 九官 卜宫 75 75 64 42 8 28 65 lO5 100 lOl l0o ll8 八官 一 宫 64 62 50 29 3 46 75 92 103 l06 l06 104 七宫 初官 64 60 47 28 l 33 69 90 103 lO7 107 105 六官 一 白， 59 61 66 6'7 58 41 15 22 57 80 98 107 107 105 103 五宫 一 青 59 62 64 68 74 74 59 29 7 39 74 93 l0o 102 100 98 96 四官 ——口 _：， ’ 104 107 lO9 91 92 85 68 40 O 40 68 85 92 9l 109 107 l04 ：古 — — 时 四 五 ／、 七 八 九 十 ——’● —— 一 —— —— —— —— 时 数 四 五 ／、 七 八 九 十 数 在《回回历法》的“时差加减立成”中，竖排为黄道十二宫序号，分别代表各宫初度，如 三宫代表黄经 90度，6宫代表黄经 180度，其余类推。横排为时数，从四到二十，以一小 时为间隔，分午前午后取值，其中十二时表示午正，其他类推。横排和竖排交叉处的数值 ① 此时月亮位于本轮的最高处，其速度为3 30 ．／小时，太阳的平均速度为2 28r，／小时，二者的差为 28 2r，／小时。 维普资讯 http://www.cqvip.com 118 中 国 科 技 史 杂 志 28卷 即为相应黄经和时角处的时差，单位为分钟。其中时差的查取方向，根据太阳在左七宫还 是右七宫决定，其术文称： 视合朔时，太阳宫在立成(经纬时加减立成)右七宫取上行时，(顺行)在左七宫 取下行时，(逆行)。([8]，756页) 考察《回回历法》“时差加减立成”中的数据，可以发现：(1)当A=90。或A=270。时， 若 h=0。(对应于午正，即为表 1中的 12时)，则 At(A，h)=0；若 h≠0。，则 At(A，h)=At (A，一 )，即时差关于午正对称。(2)当A≠90。，且 A 270。时，时差关于午正并不对称， 但此时有下列关系成立：At(A，h)=At(180。一A，一h)。《回回历法》正是利用时差的这 一 对称性质，将“时差加减立成”编排成表 1的简洁形式。 《回回历法》在计算时差时，首先从“时差加减立成”中查取对应的数值，然后利用简 单的线性内插方法进行计算。关于时差的具体算法，其术文称： 求第一时差：以合朔太阳宫及子正至合朔时，入立成取时差，依比例法求之。 求第二时差：以合朔太阳宫，取次宫子正至合朔时时差，依比例法求之。 求合朔时差：以第一、第二两时差相减，乘太阳度分，以三十除之，依率收之，用加 减第一时差，为合朔时差。([8]，757页) 设合朔时刻距离子正的时间为 a时 b分，此时太阳的黄经为 m宫 ／7,度。根据术文， 《回回历法》中的时差算法可以概括为如下三个步骤： (1)求“第一日寸谨 ”，即对应于 m宫，距离子正时间为a时b分的时差 (m，h)，其中 不满整小时数的部分利用简单的线性内插得到： L △￡1(m， )=at(m，口)+(at(m，口+1)一at(m，口))× ，_ (6) U U 式中At(m，a)为表中对应于 m官 a时的时差，At(m，a+1)为表中对应于 m宫a+1时的 时差。 (2)求“第二时差”，即对应于 m+1宫，距离子正时间为 a时 b分的时差 △￡：(m+1， h)，其中不满整小时数的部分利用简单的线性内插得到： ^ At2(m+1，h)=At(m+1，口)+(At(，n，+1，口+1)一At(m+1，口))× ，_ (7) U U 式中at(m+1，口)为表中对应于 m+1宫 a时的时差，at(m+1，a+1)为表中对应于 m+ 1宫 a+1时的时差。 (3)求“合朔时差”，即对应于 m宫 ／7,度，距离子正时间为 a时 b分的时差 At(A，h)， 其中不满整宫数的度数用如下线性内插法得到： At(A，h)=At1(m，h)+[At2(m+1，h)一At1(m，h)]× (8) J U 考察上述三式，可以看出《回回历法》在求合朔时的时差 (A，h)时，使用了二元函 数的线性内插方法，这个二元函数的自变量就是太阳的黄经和时角①。 在叙述完利用时差立成查取时差的方法之后，《回回历法》给出了时差与定朔时刻和 ① 此处所谓的时角其实指的是合朔时刻距离子正的时间，该自变量很容易转换为现代天文学中的时角。 维普资讯 http://www.cqvip.com 2期 唐泉：《授时历》和《回回历法》中的日食时差算法 119 日食视食甚时刻之问的关系。其术文称： 求食甚定时即食甚定分：视其日合朔时，太阳度在立成经纬时加减立成左七宫， 其时差，黑字减，白字加，在右七宫，白字减，黑字加，皆加减于子正至合朔时，得数命 起子正减之，得某时初正。余通为秒，⋯⋯即食甚定时。([8]，758页) 依术文，即有： 食甚定时：合朔时刻±时差 (9) 其中“食甚定时”，指的就是日食的视食甚时刻。关于时差的符号，术文称“⋯⋯左七 宫，其时差，黑字减，白字加，在右七宫，白字减 ，黑字加”，为简单起见，我们将《回回历法》 “时差加减立成”中所称的“黑字”在表 1中用黑体表示。 根据日食时差的理论算法，在大多数情况下，食甚发生在午后时，太阳的位置通常也 位于黄平象限以西，因此时差为加；而当食甚发生在午前时，太阳的位置通常也位于黄平 象限以东，故时差为减。但有时，食甚虽然在午后，但太阳在黄平象限以东，此时时差应取 减号；有时食甚虽然在午前，但太阳在黄平象限以西，此时时差应为加号。这就是为什么 不能简单以午正作为时差正负符号分界点的原因。这一点在《回回历法》的时差立成中 也有清楚的反映，例如，在表 1中，对应于 A：0。，h=一15。的时差为 1分钟，而对应于 A = 210。，h=15。的时差为 一3分钟。 4 《授时历》和《回回历法》中时差算法的精度 为了讨论 《授时历》和 《回回历法》中时差算法的精度，我们选取二分二至四个特 殊节气，时角以午正为中心，午前午后各以 1小时为问隔，将理论值和历法值进行比较。 《授时历》中的时差值按照其中的时差算法进行计算，理论值按照理论算法进行计 算，其中地理纬度取北京地区的地理纬度值 =40。，黄赤交角 =23。．60，地平视差 P。：57 ，我们将所得结果列为表2。《回回历法》中的时差值直接取自 《回回历法》的 “时差加减立成”，理论值按照理论算法计算，其中地理纬度取南京的地理纬度 ：32。， 黄赤交角为 =23 0．6，地平视差 P。：57 ，我们将所得结果列于表 3。根据表2和表 3 中的数据，可以分别画出相应的时差曲线 (图2、图3，其中横坐标为时角，单位为度， 纵坐标为时差，单位为分钟)。 表2 《授时历》中时差算法精度 黄 经 时 角 一 6o 一45 —30 —15 0 15 30 45 60 0 历法值 一83 —70 —52 —29 o 29 52 70 83 理论值 —65 —44 —23 5 50 76 95 1o8 ll2 历法一理论 一l8 —26 —29 —34 —50 —47 —43 —38 —29 90 历法值 —83 —70 —52 —29 0 29 52 70 83 理论值 —85 —78 —6l 一34 o 34 61 78 85 历法一理论 2 8 9 5 o 一5 —9 —8 —2 维普资讯 http://www.cqvip.com 中 国 科 技 史 杂 志 28卷 续表 2 黄 经 时 角 一 60 —45 —30 —15 0 15 30 45 60 180 历法值 一83 —70 —52 —29 0 29 52 70 83 理论值 —108 —104 —93 —75 —48 —17 12 33 45 历法一理论 25 34 41 46 48 46 40 37 38 270 历法值 —70 —52 —29 0 29 52 70 理论值 ——78 —-61 ——34 0 34 61 78 历法一理论 8 9 5 0 —．5 —-9 —．8 表3 《回回历法》中时差算法精度 黄 经 时 角 — — 60 ——45 —-30 —-15 0 15 30 45 60 0 历法值 ——60 ——47 ——28 1 33 69 90 103 107 理论值 ——78 ——55 ——33 ——8 44 73 95 108 111 历法一理论 18 8 5 9 ——11 —．4 —．5 ——5 —．4 90 历法值 —92 —85 —68 —40 0 40 68 85 92 理论值 ～95 —88 —70 —40 0 40 70 88 95 历法～理论 3 3 2 0 0 0 —．2 —3 —．3 180 历法值 ——107 ——103 ——90 ——69 ——33 —．1 28 47 60 理论值 ——111 ——107 ——96 ——76 ——45 —．9 25 48 60 历法一理论 4 4 6 7 12 8 3 —1 0 270 历法值 —85 —69 —36 0 36 69 85 论值 —88 —70 —40 0 40 70 88 历法一理论 3 1 4 0 ——4 —．1 — 3 一 — 一 — 一 ／ ／ 蹲 一 “ I I l l l I Jl， I 。／ _ l _ ． _ ． 一 一一一 二— ：：= + 历法值 一 一春分(理论) 夏至 (理论) 秋分(婵沦) + 冬至(理论) 图2 《授时历》时差精度 根据表2和表 3中的数据，可以计算出《授时历》和《回回历法》中时差的绝对误差的 平均值分别为22．4分钟和4．3分钟。从图2可以看出，《授时历》中的时差曲线只有一 如 0 铷 维普资讯 http://www.cqvip.com 2期 唐泉：《授时历》和《回回历法》中的[j食时差算法 l2l 15O 100 50 0 - 50 — 1OO 一 15O ，／ 二 ， ， ． ， ． ， ， ． ． 一一 一 一 一 一 一 i ：：： ：：： =； “ 。 ’ ” 十 春分 (历法) 叫 ～ 春分 (理论) 夏至(历法) 一 夏至 (理论) — 一 秋分 (历法) + 秋分 (理论) ⋯} 冬至(历法) 一 冬至 (理论) 图3 《回回历法》时差精度 条，该曲线对任何黄经都适用，而且很明显，《授时历》中的时差曲线和二至时时差的理论 曲线吻合程度很好，但和二分的曲线相比则误差很大。从图3可以看出，《回回历法》中 的时差曲线与相应的理论曲线在二分和二至均吻合得相当好，特别是和二至时的理论曲 线，可谓密合。比较图2和图3，容易看出，《回回历法》中时差算法的精度确实要比《授时 历》中时差算法的精度高。 5 分析及结论 通过前面的讨论，可以看出《回回历法》中的时差算法总体上要优于《授时历》中的时 差算法，这主要体现在如下三个方面： (1)从自变量的完备性方面来考虑，《回回历法》明显优于《授时历》。从理论上讲， 对于某一观测地点而言，时差是一个关于太阳黄经和时角的二元函数。但《授时历》中的 时差算法只和时角相关，完全忽视了黄经的影响，这使得其中的时差曲线和理论曲线在二 至时吻合得相当好，但是距离二至越远，误差越大；而《回回历法》中的时差算法同时考虑 到时角和黄经的影响，其中的时差曲线和理论曲线吻合得相当好。 (2)从时差函数符号的选择来看，《回回历法》优于《授时历》。从理论上讲，时差的 符号，决定于日食视食甚时刻通过太阳的地平经圈和黄道的夹角，而和午前午后没有必然 的联系，尽管在大多数情况下，时差在午前为负，午后为正。《授时历》中时差的符号，采 用“午前以减 、午后以加”，这和实际情况并不完全相符。而《回回历法》中时差的符号决 定于日食视食甚时刻通过太阳的地平经圈和黄道的夹角，因此其符号法则比较科学。 (3)从时差算法的精度来看，《回回历法》优于《授时历》。《授时历》中时差的绝对误 差的平均值为 22．4分钟，而《回回历法》中时差的平均绝对误差只有 4．3分钟，这一点也 可以从两部历法中的时差曲线分别和理论曲线的吻合程度看出。 《回回历法》中的时差算法之所以会达到比较高的精度，无疑是和《回回历法》使用了 合理的几何模型分不开的。《回回历法》中的视差算法所依赖的几何模型，始自托勒玫的 《至大论》，希腊天文学传人阿拉伯后，该模型也被阿拉伯天文学家所采纳，一直到《回回 历法》，基本上没有大的变化。中国传统数理天文学中的时差算法，始自隋唐的《大业历》 和《皇极历》，此后不断完善，到《庚午元历》才基本定型，《授时历》中的时差算法代表了 维普资讯 http://www.cqvip.com l22 中 国 科 技 史 杂 志 28卷 中国传统历法中时差算法的最高水平。从前面的讨论可知，《回回历法》中的时差算法， 总体上确实优于《授时历》和《大统历》。但是在《回回历法》和《大统历》参用的将近300 年的时间里，中国的天文学家为什么没有吸收《回回历法》中较为科学的日食时差算法来 用于日食计算?是因为中国的天文学家没有认识到二者的优劣，还是因为中国的天文学 传统过于强大，以至于对外来的天文学传统有一种潜在的抵制呢?这些都是值得我们进 一 步思考的问题。 参 考 文 献 薮内清．隋唐历法史研究[M]．东京：三省堂，1944． 曲安京，唐泉．中国古代的日食时差算法[J]．石河子大学学报(自然科学版)，2005，23(4)：416—421． 唐泉．希腊、印度与中国传统视差理论研究[D]．西北大学博士论文，2006． 顾观光．武陵山人遗书 ·回回历解[A]．薄树人．中国科学技术典籍通 ·天文卷(二)[z]．郑州：河南教育出版 社，1993．852--864． 陈久金．回历 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责任编辑：范戈阳 1 2 3 4 5 6 7 8 维普资讯 http://www.cqvip.com