变分原理5

1 §5 变分原理 1. 历史背景 2. 变分问题解的必要条件 3. 二次函数极值问题 4. 一维变分问题 5. 二维变分问题 6. 变分问题的近似计算 1. 历史背景 变分问题回顾: 有限维极值问题： 最优化 过程的最优化： 为 函数的泛函，称为变分问题，该问 题历史悠久。 x nRx xf ⊂Ω∈ )(min → 函数空间→∈Vu uf )(min f u 2 举例1：设 , 求连接A，B两点的 最短曲线。 解：设曲线方程为： 相应弧长为 )0,()0,0( aBA 和 0)()0(),( === affxfy 2 0 1 ' ( ) a L f x dx= +∫ dxxf a Kf ∫ +⇒ ∈ 0 2 )('1min { }0)()0(],,0[2 ==∈= affaCffK 求解策略：将无穷自由度问题转化为有限 自由度问题。 设有解 ，则 在 取最小值 f Kgfkg ∈+∈∀ ε, 2 0 min 1 ( ' ') a f g dxε ε⇒ + +∫ 0ε = 0)''(1 0 0 2 =++⇒ = ∫ ε εε dxgfd d a 3 为一直线 得证 0) '1 '(0) '1 '(0 '12 ''2 20 20 2 = + ⇒= + ⇒= + ⇒ ∫∫ f f dx dgdx f f dx ddx f gf aa 2 ' constant 1 ' f c f ⇒ = =+ 2 2 2 2 2 22 2 2 1 11 1 1' '1 11 '1 ' c c c f f cc f f − +=−−=⇒+=−⇒=+⇒ kxff =⇒ )(''为常数， f⇒ ⇒ 举例2：Beruoulli (1696)最速降线问题。设 不在同一铅直直 线上，有一重物从A到B受重力作用自由下 滑，摩擦阻力忽略不计，求重物下降最快 的路径。 ),()0,0( 11 yxBA 和 4 Bernoulli问题图示 解： 问题的数学模型为： gy dt dxygy dt dsgyvmvmgy 2122 2 1 22 =+⇒=⇒=⇒= ∫ ∫ +==⇒+= T x dxgyydtTdxgyydt 0 0 22 1 2 '1 2 '1 1 2 0 1 'min 2 x y K y dx gy∈ +∫ { }2 1 1 1[0, ], (0) 0, ( )K y y C y y y x y= ∈ = = 5 2. 变分问题解的必要条件 引理：设 且 ，有 则 。 一般变分问题： 式中： 有充分的光滑性。 { }2 20 [ , ] [ , ], ( ) ( ) 0C a b v v C a b v a v b= ∈ = = ],,[ baCu∈ 20 [ , ]v C a b∀ ∈ ∫ =ba dxxvxu 0)()( 0≡u ∫= ba dxyyxFyJ )',,()( F 容许函数集为 问题P：找一 ，使 。 研究策略： ，在较小函数集合 内考察问题的极值特性， 再用微积分知识解决问题。 { }2[ , ], ( ) , ( )a bK y y C a b y a y y b y= ∈ = = Ku∈ )(min)( vJuJ Kv∈= 2 0 [ , ]v C a b∀ ∈ 1{ ; }u v R Kε ε+ ∈ ⊂ 6 0)'',,( 0 =++ = ∫ ε εεε dxvuvuxFd d b a ∫ ∫∫ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∂ ∂+∂ ∂= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∂ ∂+∂ ∂=++ = b a b a b a dxvuux u Fvuux u F dxv v Fv u FdxvuvuxF d d ')',,( ' )',,( '(*) ' (*))'',,( 0ε εεε 0')',,( ' )',,( =⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∂ ∂+∂ ∂⇒ ∫ba dxvuuxuFvuuxuF 联合引理得： (2) 称之为Euler-Lagrange方程。 0))',,( ' ()',,( =⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∂ ∂−∂ ∂⇒ ∫ba vdxuuxuFdxduuxuF ( , , ') ( ( , , ')) 0 ' F d Fx u u x u u u dx u ∂ ∂− =∂ ∂ 7 定理（一维变分原理）：问题P之解 必满 足Euler-Lagrange方程(2)。 定理（守恒定律）：如果 ，则问 题P之解满足守恒律： (3) u ( , ')F F u u= '' ( , ') ( , ') constantuu F u u F u uΔ = − = 证明：问题P之解 必满足Euler-Lagrange 方程(2)。另一方面， u ' ' ' ' ' ( ' ) '' ' '' '{ } 0 u u u u u u u d d d d duu F F u F u F F F u dx dx dx dx dx du F F dx Δ = − = + − − = − = 8 举例2的求解：此时 不显含 ，由守恒定律有 简单计算有 (4) 21 '( , ') 2 uF u u gu += x '' ( , ') ( , ') constuu F u u F u u c− = = 2[1 ( ') ]u u c+ = 令 ，则 ，( ) '( ) tanp x u x φ= = 21 ( )cu p x= + 2 2 / 1 ) du pdp dxp c dx −= = 2（＋p 2 2 12 (1 ) dx c dp p = − + 9 而 ， 故得 积分得 式中令 。 2 1 cos dp dφφ= 2 2 2 1 12 2 cos (1 ) cos dx c d c dφ φ φφ= − = −2＋p 2 1 12 cos [ sin ]2 cx c d c t t cφ φ= − + = + +∫ 2t φ= − 再令 ，上两式为 由 时 得 时， ，故 ，最后有 该曲线为旋轮线。 2 2 1 coscos 1 2 c tu c c p φ += = =+ t π θ= + 1( sin )2 (1 cos ) 2 cx c cy θ θ θ ⎧ = − +⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ 0x = 0y = 0x = 0θ = 1 0c = ( sin ) (1 cos ) x a y a θ θ θ = −⎧⎨ = −⎩ 10 物理做法： A1 A2 H � H � C 光学中的Snell折射定律： 1 2 1 2 sin sin v v α α= A B x y c Hk+1 Hk 11 如图建坐标系，若用与x 轴平行的直线将 AB 分割成小段, 考虑在第k层与k+1层质 点在曲线上的下滑，依能量守恒律，可 近似认为质点在每层内的速度不变，于 是依辅助结论知 1 1 sin sink k k kv v α α + + = 由于上式对任何k成立，故导出 令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲 线上任何一点 sin constantk k c v α = = sin constantc v α = = 12 其中 为该点切线与铅垂线的夹角。由 于 ， 于是得到最速降线的方程： α 2v gy= 2 1cot , sin 1 y y α α′ = ⇒ = ′+ 2 2 1 (1 ) (1 ) c y y c y y ′= ⇒ + =′+ 3.二次函数极值问题 目的： 深入考察如何求解线性方程组 其中Ａ为对称正定阵，ｂ为列向量。 (*)Ax b= 13 定理：以下三命题等价 １） 为（*）之解： ； ２） 为以下问题之解： ； ３） 是以下问题之解：记 ， 。 0x 0x 0x bAx =0 nRyybyAx ∈∀= ),(),( 0 ),(),( 2 1)( ybyAyyJ −= )(min)( 0 yJxJ nRJ∈= 说明：以连续的角度对同一问题的不同描 述，导致的相应的数值求解是不同 的。 证明： 显然。 只须证明 ，成立 记 ，直接计算有 )2()1( ⇔ (1) (3)⇒ nRx∈∀ 10 xxx += 0( ) ( )J x J x≥ 14 )(),( 2 1),()( ),( 2 1),(),(),(),( 2 1 ),(),(),( 2 1),( 2 1),( 2 1),( 2 1 ),()),(( 2 1)( 011100 11110000 1011011000 101010 xJxAxxbAxxJ xAxbxxAxbxxAx bxbxxAxxAxxAxxAx bxxxxxxAxJ ≥+−+= +−+−= −−+++= +−++= 可用多元函数求极值的方法，也可用 上节讲的变分法技巧来处理。 设 为最优解，考察范围 ， 是 中 任一向量， 为参数， 则 由 的任意性， 。 )1()3( → 0x xx ε+ x nR ε ),(),(0)( 0 0 0 xbxAxxxJd d =⇒=+ =ε εε x bAx =0 15 物理背景： 1）称为由牛顿第二定律得到的求解模式； 2）称为由虚位移原理得到的求解模式； 3）称为由最小位能原理得到的求解模式。 举例：弹簧的弹性系数为 ，在外力 作 用下 伸长，达到平衡。 １）Hooke定律： ; ２）能量角度，最小位能原理： ; ３）虚位移原理：外力在平衡位置处在虚 位移作用下做功为０， k F x 0=+− Fkx } 2 1{min 2 Fxkx x − 0)( =− xkxF δ 16 4. 一维变分问题 （*） 设 ， 目的：找（*）的等价表达式。 解决办法：类比节２。 ( ( ) ) ( ) ( , ) ( ) 0 ( ) 0 d duLu p x q x u f x a b dx dx duu a b dx ⎧ = − + = ∈⎪⎪⎨⎪ = =⎪⎩ 自然边界条件 0)(,0)( 0 ≥>≥ xqpxp ２） 在引入可行函数空间Ｖ时，齐次Dirichlet 条件应放入，其他条件省略。 ⇒= ),(),( vfvLu ∫∫ =⎭⎬⎫⎩⎨⎧ +− b a b a dxxvxfvdxuxq dx duxp dx d )()()())(( { }0)(],,[1 =∈∂=∈ avbaCvvVv 17 （**） （**）有解？ Vvdxxvxfdxuvxq dx dv dx duxp dxxvxfuvdxxqv dx duxpdx dx dv dx duxp dxxvxfuvdxxqvdx dx duxp dx d b a b a b a b a b a b a b a b a b a ∈∀=+⇒ =+−⇒ =+−⇒ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ )()(})()({ )()()(])([)( )()()())(( ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈= ∈ ⇒ ∫ VvfvdxvuD Vu b a ,),( 问题：如若 是（**）之解，问题是否满 足(*)？ 分部积分 u ∫∫ =+ baba fvdxdxquvdxdvdxdup )( Vvfvdxbvb x ubpvdxqu dx dup dx d fvdxquvdx dx duvpvdx dx dup dx d b a b a b a b a b a b a ∈∀=∂ ∂++−⇒ =++−⇒ ∫∫ ∫∫∫ )()()())(( ][)( 18 特别地，取 上亦应成立。VSv ⊂∈ 10 { }0)()(],[110 ==∈= bvavbaCvvS fqu dx dup dx d Svfvdxdxvqu dx dup dx d b a b a =+−⇒ ∈∀=+− ∫∫ )( ))(( 10 代入右式知： 特别地取 使 ， Vvbvb dx dubp ∈∀= 0)()()( Vv∈ 1)( =bv 0)(0)()( =⇒=⇒ b dx dub dx dubp 19 3) 中的对应物，即（*）的变分形式是什 么？ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ − ∈ ),(),( 2 1min yfyAy nRy Vvfvdxdxqv dx dvp fvdxvdxqv dx dvp dx dvfvLvvJ b a b a b a b a ∈−−⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ += −+−=−=⇒ ∫∫ ∫∫ 22)( 2 1 )(( 2 1),(),( 2 1)( 则 （***） 问题：如满足（***）， 是否满足（*）？ 相应变形形式解的存在性没有得证。 总结：试探函数空间的选取，第一类边界 条件插入其他条件放弃。 核心：试验函数空间的选取＋分部积分 )(min)( vJuJ Vv∈= u 20 5. 二维变分问题 式中： 为适当光滑的有界区域。 Step 1 找考察空间： Step 2 找等价形式 in , 0 u f u ∂Ω −Δ = Ω⎧⎪⎨ =⎪⎩ Ω { }0),(: 110 =Ω∈= Ω∂vCvvS ),(),( vfvu =Δ− 分部积分： ∫ ∫ Ω Ω ∂+∂−=Δ−=Δ− vdxdyuuuvdxdyvu yyxx )(),( ∫∫∫ Ω∂ΩΩ +∂∂−=∂⇒ dsnvuvdxdyuuvdxdy xxxxxx 1 ∫∫∫ Ω∂ΩΩ +∂∂−=∂ dsnvuvdxdyuuvdxdy yyyyyy 2 ( , ) uu v u vdxdy v ds nΩ ∂Ω ∂⇒ −Δ = ∇ ∇ − ∂∫ ∫ 21 原问题的一个新的形式为： 式中： 。 反过来，以上问题的解是否满足原来方 程？答案，是。 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ∈ ∈= 1 0 1 0)(),( Su SvvFvuD ∫ ∫ Ω Ω =∇∇= fvdxdyvFvdxdyuvuD )(,),( 同理，原来问题和一下变分问题等价 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ∈ ∈ )(min)( 1 0 1 0 vJuJ Su Sv ∫ ∫ Ω Ω −∇= fvdxdydxdyvvJ 2 2 1)( 22 Step 1 找空间 。 Step 2 找等价形式： in 0(Neumann ) u u f u n ∂Ω −Δ + = Ω⎧⎪∂⎨ =⎪∂⎩ 条件 { })(: 11 Ω∈= CvvS 对 ，将其和方程两边相乘积分： 其次对高次求导项分部积分， 1Sv∈∀ ∫ ∫Ω Ω=+Δ− fvdxdyvdxdyuu )( uuvdxdy u vddxdy v ds u vddxdy nΩ Ω ∂Ω Ω ∂− Δ = ∇ ∇ − = ∇ ∇∂∫ ∫ ∫ ∫i i 23 因此： 设 满足以上形式，即 ， 1( )u v uv dxdy fvdxdy v S Ω Ω ∇ ∇ + = ∀ ∈∫ ∫i ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ∈= ∈ 1 1 )(),( SvvFvuD Su u 1Su∈ 由 进行分部积分知： 1( )u v uv dxdy fvdxdy v S Ω Ω ∇ ∇ + = ∀ ∈∫ ∫i ∫ ∫ ∫ Ω Ω∂ Ω ∈=∂ ∂++Δ− 1)( Svfvdxdyds n uvvdxdyuu 24 特取 ， 则 因此知 { }0),(110 =Ω∈=∈ Ω∂vCvvSv 1)( Svvdxdyfvdxdyuu ∈∀=+Δ−∫ ∫ Ω Ω fuu =+Δ−⇒ ∫ Ω∂ ∈∀=∂ ∂ 10 Svds n uv 0=∂ ∂⇒ n u 所以满足新形式的解必满足微分方程。 另一形式： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ∈ ∈ )(min)( 1 1 vJuJ Su Sv ∫ ∫ Ω Ω −+∇=−= fvdxdydxdyvvvFvvDvJ )( 2 1)(),( 2 1)( 22 25 6．变分问题的近似计算 着眼点：一个微分方程可以转化为更有物 理意义的等价形式。因此关于微分方程 的数值求解的策略的形成，可以从这些 等价形式着手，以获得更为有意义的近 似求解方法。 两种等价形式： ａ． ｂ． ⎩⎨ ⎧ ∈= ∈ VvvFvuD Vu )(),( ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −== ∈ ∈ )(),(2 1)()(min)( vFvvDvJvJuJ Vu Vv 26 核心思想： 找无限维空间Ｖ的近似有限维空间将 原来的等价形式约束到上来研究，从而构 造了一系列近似求解方法。 ａ．Ritz方法 设 为 的近似空间，求 使 。 设 { }nn spanV φφ ,...,1= hh Vu ∈ ( ) min ( ) h h h hv V J u J v∈= 1 1 , n n h i i h i i i i v v u uφ φ = = = =∑ ∑ V 27 一般 是对称正定的，优化问题解满足 ，转化为线性方程组的求解。 1 1 1 1 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 2 1 1( , ) ( ) 2 2 1 ( , ) ( , ) 2 n n n h h h h i i i i i i i i i i j i j i i ij i j i i J v D v v F v D v v F v D v v v F a v v v b Av v b v φ φ φ φ φ φ = = = = − = − = − = − = − ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ bAu =A ｂ．Galerkin方法 ( , ) ( ) h h h h h h h u V D u v F v v V ∈⎧⎨ = ∈⎩