量子自旋

石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 第七讲 自旋 1.求 . x x y y zn n n zn        的本征态和本征值，其中 x y z  、 、 为泡利矩阵，n为单位矢量。 （中科大 2003.4(30 分)）  解法一：在 z 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 象中： 1 0,1 0 0 0 1x y z i i                 0 0 1= = , =  设方位角为 ( , )  ，即： (sin cos ,sin sin ,cos )n      则 cos sin. sin cos i i e n e              本征方程： .n    ， a b       本征方程可以写为： cos sin 0 sin cos i i ae be                    由非零解条件： 2 2 2 2cos sin cos sin 1 0 sin cos i i e e                    得本证值： 1   1   代入本征方程得： cossin 2 1 cos sin 2 i ia e e b         将 考虑到归一化条件 得： * * 1a a b b  2cos 2 i ia e  e   ， 2sin 2 i ib e  e  1   的本征函数 2 2 cos 2 sin 2 i i i e e e             即对应于 1   的本征函数 2 2 sin 2 cos 2 i i i e e e             同理对应于 x 本征态： 0 00 , 90   1 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 y 本征态： 0 090 , 90   z 本征态： 0 00 , 0   解法二： . x x y y zn n n zn        1 0 . 1 0 0 0 1 z x y z x y z n n ini n n n n in ni                             x 0 0 1=n + y 设 .n 的本证值为，对应本证态为  。 本征方程： .n    ， a b       0z x y x y z n n in a n in n b               ， 由非零解条件： 0z x y x y z n n in n in n        得本证值： 1   （利用 ） 2 2 2 1y zn n 2 xn =n + 将 1   代入本征方程得： 1 2 31 n ina b n   考虑到归一化条件 得： * * 1a a b b  1 2 33 1 12(1 ) n ina nb n            同理对应于 1   的本征函数： 3 1 23 11 ( )2(1 ) na n inb n             2．自旋为 2 h 的粒子的自旋波函数在泡利表象中为： 1 2 cos sin i i e e                ……………….（1） 求出自旋所指方向的极角 ( , )  ，在这个方向上自旋投影为 2 h 。 解法一：设极角 ( , )  的方向为 方向，由题意知波函数为n .S n 的本征函数，相应本征值为 2 h 。 本征方程： 1 2 22 nS 1              ……………（2） 2 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 cos sin sin cos i n i e S e            ……………..(3) (1)(3)代入（2）： cos sin cos cos sin cos sin sin i i i i i i e e e e e e                            cos cos sin sin cosi i i ie e e e         sin cos cos sin sini i i ie e e e         即： ( )cos cos sin sin cosi ie e         …………….(4) ( )sin cos cos sin sini ie e          …………….(5) 比较（4）（5）两边实部与虚部可得：     ，2  所以自旋所指方向极角： 2  ，    解法二：自旋极化方向为 ( , )  ，其极化矢量为： sin cos sin sin cosP i j k          按定义： x y zP i j       k    在所给状态中：  * 0 1 coscos sin cos( )sin 21 0 sin i i i x i e e e e                   同理： sin( )sin 2y     cos 2z  故有： sin 2 cos( ) sin 2 sin( ) cos 2P i j k              比较可得： 2  ，    3 设 ( )x y z    为泡利自旋矩阵， 为空间某给定空间单位矢量 n 求在 投影为.S n  2   的状态中， 2x S    与 2y S    的几率。 解法一： 的本征态即.S n   .n 本征态为： 3 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 2 1 2 2 cos 2( ) sin 2 i n i e S e                2 1 2 2 sin 2( ) cos 2 i i n i e S e e                 取 n ，则得i  xS 的本征态 ( ,2 0)    1 2 12( ) 12x S      12 12( ) 12x S       相应本证值为 2  ， 2   所以： 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( )n xS a S b Sx     2 21 (sin cos ) 2 22 i i a e e     2 21 (sin cos ) 2 22 i i b e e      在 1 2 ( )nS 态中， xS 取 2  的几率： 2 2 2 21 1(sin cos ) 2 2 22 i i a e e   sin cos       在 1 2 ( )nS 态中， xS 取 2 的几率：  22 2 21 1(sin cos ) 2 2 22 i i a e e   sin cos        同理：在 1 ( )nS 2   态中， 取yS 2  和 2  的几率：  1 sin cos 2   ，1 sin cos 2   解法二：在 1 ( )nS 2   态中， xS 取 2  的几率   xS 取 2  的几率 1     则 1(1 ) ( ) 2 2x S             2 所以： 1 1 1 ( 1 2 2x x S      ) 2 2 2 2 sin0 1 2(sin cos ) sin cos 1 02 2 cos 2 i i i x i e e e e                          4 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 所以： 1 (1 sin cos ) 2      ， 1 (1 sin cos )2     同理：在 1 ( )nS 2   态中， 取yS 2  的几率 y  yS 取 2  的几率 1y y    1 1 1 ( 1 2 2y y y S      ) 2 2 2 2 sin0 2(sin cos ) sin cos 02 2 cos 2 i i i y i ei e e i e                           1 (1 sin cos ) 2y      ， 1 (1 sin cos )2y     4．如取 xS 表象，在 2xS  的本征态中， 的可测值和相应几率各是多少？ zS 求某个力学量可能值问题一般是将波函数按这个力学量本征函数展开问题。其系数模的平方即 对应力学量在该本征态下出现的几率。 解：利用轮换对称关系 zS 表象： 0 1 1 02x S       ， 0 02y i S ， i       1 0 0 12z S       xS 表象： 1 0 0 12x S        ， 0 1 1 02y S        ， 0 02z i S i        解： 的本征问题 zS 本征值： 2z S   ，本征函数： 1 2 11 2 i      ， 12 11 2 i        1 1 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( )x z zS c S c S    1 2 1 11 1 0 2 2 c c i i               1  2 2 1 2 1c c  1 1 2 2 1 1 1 0 2 2           5 有一电子处于确定的自旋态，已知在此态中 取zS 2  的几率是 1 3 ，S 取y 2  的几率是 1 6 ，且 xS 的 平均值小于 0，求满足的条件。 5 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 解： 表象： zS 1 0 0 1 a a b b                    2 1 3 a  ， 2 2 3 b  1 3 ia e  ， 2 3 ib e  在 表象中状态为zS 1 3 2 i i e e         在 表象中 为zS yS 2 ， 11 2 i      ， 11 2 i       ( ) ( )y yb S b S        1 1 1(1, ) 2 2 3 62 i i i i e b i e e  ie             2 ( ) ( )1 2 1 2( ) sin( 2 6 2 3 6 i ib i e e               1) 。 2sin( ) 2    。 ( ) ( )y yb S b S       1 11 2 1 12 23 2 i i e c c e                       2 6 ( 2 ) 6 i ic e e    ， 6 ( 26 i ic e )e    2 2 2 2( ) (cos cos sin sin ) cos( ) 0 2 2 3 3x S c c                  4    6 设 A， B是与对易的任何矢量算符，证明 ( )( ) (A B A B i A B              ) 证明：将左端展开成 ，A B与的分量式： 6 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 ( )( ) ( )( )x x y y z z x x y y z zA B A A A B B                 B ) 2 2 2( ) ( ) ( ) ( x x x y y y z z z x y x y y x y x y z y z z y z y x z x z z x z x A B A B A B A B A B A B A B A B A B                         利用 2 2 2 1x y z     x y z yi x       得： ( )( ) ( ) ... (z z )A B A B i A B A B i A B                           ) 7 计算 ，其中1 2. .( i r i rTr e e     为泡利算符。 解： . ( )( . ) ( ) ( ) ! ! ! nn n i r r r n n n n iri r ir ire n n n                奇数 偶数 ! n n .sin cos sin cosr ri r r i r r r      第一项理解为 cosI r ， I 为单位矩阵。第二项理解为线性项 .( sin )rTr i r r 0    其中 r 为 在 r 方向的投影，利用：  2 1r  2( 1) cos ! n n n x x n   偶数 1 2( 1) sin ! n n n x x n     奇数 ! n n x chx n  偶数 ， ! n n x shx n  奇数 所以： 1 2 1 2 1 2 1 2 . . 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( sin cos )( sin cos ) sin sin cos cos sin cos cos sin i r i r r r r r r r e e i r r i r r r r r r i r r i r r                           2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 cos cos ( )( )sin sin sin cos cos sinr r r rr r r r i r r i r r r               2r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 .cos cos sin sin ( )sin sin sin cos cos sinr r r r r rr r r r i r r i r r i r r r r r    2r            7 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 由 ( ) ( ) (A B A B i A B              ) 后三项为线性项 0Tr  0nTr  ， （二阶） 2TrI  1 2. . 1 2 1 2 1 1 2 .( ) 2 sin sin 2cos coi r i r r rTr e e r r r r r r           2s 8 证明： （1） 1, , , , 2 1j z j j z j j m S j m j m j j m l   ，（ 1 2 j l  ） （2） 21, , , , 4 2 1j z j j z j j m S j m j m j j m b ac l    ，（ 1 2 j l  ） 证明： 1 2 j l  ， 1j l ， 2 12j  系数 C G 1 1 1 1 1, , , , , , , 2 2 2 2j j j j m j l m l l m    1 1 1 1 1 1 1 12 2, , , , , , 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 j j j j l m l m l m l m l l           1 1 1 1 1 1 1 12 2, , , , , 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 j j z j j j l m l m S j m l m l m l l            , , 1 1 2 2, 2 2 1 2 2 1 2 1 j j j j z j l m l m m jm S j m l l           l  9 对于电子和其他自旋为 1 2 粒子， 的本征态常记为zs  、  ， 即 1 2  、  即 1 2   ，已知电子的 波函数为： 0( , , , ) ( , ) ( )z lr s Y R r      （1） 求总角动量 2j ， zj 的可能测值及相应几率。取 ( 1) 解： 00( , , ) 0 l z l Y s Y          显然这是 共同本征函数，本征值为： 2 , , , ,z z zL L S S j2 2 2( 1) , 0, , 2 2z z z l l l l s j      （2） 8 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 所以 zj 的测量值必然是 2zj   。 2j 的本征值为 ，2 2( 1)j j j   1 2 j l  如果写成 的共同本征函数2 2( , , )zl j j , , jl j m 的线性叠加必有： 0 1 1 1 2 1, , , , 2 2 2 2 l l l l l Y C C 1       则 1 2 j l  的几率为 21C ， 12j l  的几率为 2 2C ， , , jl j m 具体形式C G 系数： 1 1 0 1, , 2 2 1 2 1 2 1l ll l l lY Y l l        1 1 0 1, , 2 2 1 2 1 2 1l ll l l lY Y l l         容易求出： 1 1 1 0, , 2 2 1 2 1ll l lC Y l       ， 2 1 1 2 1 lC l   2 1 1 0, , 2 2 2 1 ll l lC Y l        ， 2 2 2 1 lC l   因此，测得 2 1 3( )( 2 2 j l l   )的几率为 1 2 1 l l   ，测得 2 1 1( )( 2 2 j l l )   的几率为 2 1 l l  。 解法二：关于 zj 取值的论证和结论与解一同， 2j 的本征值为 ，2 2( 1)j j j   12j l  则 1 2 j l  的几率为， 1 2 j l  的几率为1  ， 本题所给波函数中，自旋变量和轨道变量是分离的， 2j 很容易计算如下： 2 2 2 2 23 3ˆˆ2 ( 1) 2 4 4 x x y y z z j l s l l l s l s l             s l 2 （ 2 2( )( ) 2 .j l s l s l s l s       ） 由于 0lY  是 的本征函数，所以2l 2 2( 1)l l l   0lY  是 的本征函数，zl xl 和 yl 均为 0， zl 也为 0。所以 0 0 0 0 0 0. .l l l l l ll s Y l s Y Y l Y Y s Y l s                 0 2 2 3( 1) 4 j l l   2 2j 的平均值应为： 9 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 2 2 21 3 1 1( )( ) ( )( ) (1 ) (2 1) 2 2 2 2 j l l l l j l             2 1 4  比较两式： 1 ,1 2 1 2 1 l l l l      10 求在下列状态中算符 和2J ZJ 的本征值 （1） 1 1 11 2 ( ) ( , )zS Y    （2） 2 1 10 1 11 2 2 1 ( 2 ( ) ( ) ( ) ( )) 3 z z S Y S Y         （3） 3 1 1 1 1 10 2 2 1 ( ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 z z S Y S Y )       （4） 4 1 1 1 2 ( ) ( , )zS Y    S 解：（1） ，  zz zJ L S   2 2 2 ˆˆˆˆ 2 .J L S L         ˆˆ2 . 2 2 2x y zx y zL S L S L S L S                  ( )( ) ( )( ) 2 2x y x y z zx y x y z zL iL S iS L iL S iS L S L S L S L S            对于 ， 1l  1m   11 11 12 0L Y C Y   ；  11 11 10 102L Y C Y Y       0 1 0 0 1 0 0 0 02 2 x y i S S iS i i                         0 1 0 0 0 1 0 0 02 2 x y i S S iS i i                       且 1 1 2 2 1 0 ( ) , ( ) 0 1z z S S              所以：  1 2 0 1 0 0 0 0 S            1 1 2 2 0 0 1 0 0 S                         2 2 2 2 2 1 1 11 1 2 2 ( 2 . ) ( ) ( , ) ( 2 ) ( ) ( , )z zz zJ L S L S S Y L S L S L S L S S Y11                 10 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 2 2 1 11 1 11 11 1 2 2 1 11 (1 1) ( 1) 2 0 0 2 2 2 Y Y Y              2  2 2 2 11 1 11 1 11 1 1 2 2 2 3 12 4 4 Y Y Y 25            1 1 11 1 11 1 11 1 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 zz z z z zJ L S S Y S Y S Y             （2）为求 的本征值先计算： 2J  10 11 11(1 0 1)(1 0) 2L Y Y Y       ；  11 10 10(1 1 1)(1 1) 2L Y Y Y        1 1 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 S                                      2 2 2 2 1 2 2 1( 2 ) ( 2 3 z zJ L S L S L S L S Y Y         10 1 11) 2 2 2 2 1 10 1 11 1 10 1 11 2 2 2 2 2 1 11 1 11 1 10 2 2 1 3{2 2 2 2 4 43 0 2 ( ) 2 2 0 0 2 } 2 Y Y Y Y Y                             2 3 Y Y 2 2 1 10 1 11 2 2 2 15 1 15( 2 ) 4 43 Y Y        2 1 10 1 11 2 2 1 ( 2 ( ) ( ) ( ) ( )) 3 z z S Y S Y               1 1 1 10 2 2 1 11 1 10 1 11 2 2 2 1( ) ( ) ( 2 3 1 (0 2 ) 2 23 z zz z z zJ L S J L S Y Y Y Y Y                    1 11) 1 10 1 11 2 2 2 1 ( 2 ) 2 23 Y Y       （3） 3 32zJ     （4） 4 4 3 2z J     11 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 11（1）证明轨道角动量 L和自旋 不是此系统的守恒量，而总角动量S  Jˆ L S    是守恒量。 （2）若自旋轨道相互作用 可当作微扰，计算此系统基态能量的一级修正。  ( ) .r L S  （ 2 2 0 ˆ ( ) 2 hH    V r 的本征函数为 (0) nE ，本征波函数： ( ) ( , )nlm nl lm SR r Y    ， S 为自旋波 函数）此题可见中科大 2004.6,中科大 2005.6; 解：1.在球坐标系中哈密顿量可以写成：      2 2 2 02 2 ( ) ˆ ˆ( ) ( ) . ( ) . 2 2 rh LrH V r r L S r r r            H r L S    要证明力学量是否是守恒量只要看海森堡运动方程  1 [ , ] 0dF F F H dt t i      由于 ˆ 0L t    ， ˆ 0S t    ， ˆ 0J t    只要证明力学量算符是否与哈密顿量对易，由于它们与 对易，只要找出它们与交叉相的对易 关系。 0Hˆ [ , ( ) ] ( )[ , ] ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) 0i j j i j j i j j i j j ijk k j j j j j jk L r L S r L L S r L L S r L L S r i L S                [ , ( ) ] ( )[ , ] ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) 0i j j i j j i j j i i j ijk j k j j j j jk S r L S r S L S r S L S r L S S r i L S              [ , ( ) ] ( )[ , ] ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) [ , ]i j j i i j j i j j i j j i i j j j j j j J r L S r L S L S r L L S r S L S r L S S             ( ) ( ) 0ijk k j k j jk r i L S S L    所以 和自旋 不是此系统的守恒量，而总角动量L S  Jˆ L S    是守恒量。 2.考虑到自旋后氢原子基态是二重简并的，故用简并的微扰论修正，可算出微扰矩阵元皆为 0。 12．考虑一个自旋为 1 2 的粒子在外磁场下的运动，假设在 0t  时磁场的方向沿 轴，z 0(0,0, )B B  ， 0B 与磁场无关。 时粒子处在0t  12ZS  的本征态上，如果在 时，突然把磁 场转到 0t  x 轴方向：B B 请求出 时，这个自旋的状态随时间的变化。并求出0( ,0,0  ) 0t  ZS yS 随时间的变化。见中科大 2003.类似题目可见中科大 1994.6 解：由题意设粒子带电量为 e 12 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 1 2 0, ( )zt S   0t  ， 0ˆ . . .B BeH B S B B Bm x                （自旋磁距是 e S m ， 2 S   ） 令 0BB  ，取泡利表象： 0 1ˆ 1 0H        设自旋态 ( )( ) ( ) a t t b t       则 ( ) 0 1 ( ) ( ) 1 0 ( ) a t a t i b t b tt                  有 da i b dt db i a dt      而 1 2 1 (0) ( ) 0Z S        解得： cos sin a t b i t     故 cos ( ) sin t t i t        1 0 cos (cos sin ) cos 2 0 1 sin2 2 2Z Z t S t i t i t  t                  同理： sin 2 2y S t  同学们自己练习： 2004 年北京科技大学第 4 题： 磁场中的电子（40 分）：假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：Vz B    ，这里 2s e eg s m    ，（ ）为电子 的磁矩；自旋用泡利矩阵 2sg  ˆ ˆ 2 s   表示； ，0 1 1 0      ˆ x 0ˆ 0y i i      ， 。 1 0 0 1     ˆ z  （i）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程： ˆi t H   （10 分）； （ii）假设 时，电子自旋指向0t  x 轴正向，即 2x s   ，求 时，自旋 的平均值（20 分）； 0t  s （iii）求 时，电子自旋指向0t  y 轴负向，即 2y s   的几率是多少（10 分）？ 考虑到自旋轨道耦合的氢原子，其哈密顿为   2 2ˆ ( ) ( ) . 2 hH V r      r L S  ， 13 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 （解）总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数  ml, 表示，在考虑到自旋的情形下，若 用 共同表象，则电子的态可有四种；若 ，有以下二态： )ˆ,ˆ,ˆ( 22 zjjl ml                ),(12 ),( 12 1 ),,(, 2 1 1, ,    ml ml z l ml l ml slj （5）               ),(12 1 ),( 12),,(, 2 1 1, ,    ml ml z l ml l ml slj （6） 若 ，有以下的二态： ml     0 ),( ),,(, 2 1 ,  llzslj （7）      ),( 0 ),,(, 2 1 ,  llzslj （8） 将题给的态和一般公式对照，发现（1）（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量平 方算符 ，总角动量分量算符 可能测值如下： 2jˆ zjˆ 状态 数值 算符 （1） （2） （3） （4） 的量子数 3/2 3/2 3/2 3/2 的量子数 3/2 1/2 -1/2 -3/2 6 已知自旋为 1 的自旋矩阵在 对角表象中： zS 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 0 xS        ， 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 y iS        ， 1 0 0 0 0 0 0 0 1 zS        试求出笛卡儿表象[ 非对角！]中， 0 0 0 0 0 0 0 z i S i         2 , ZS S 的归一化本征函数及此两表象间的变 14 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 换矩阵。利用此变换找到新表象中 xS 0 0 0       ， 的矩阵形式。 yS 解：在笛卡儿表象中 ，本征值方程为： 0 0 0 0 z i S i     zS    即： ……………….(1) 0 0 0 0 0 0 0 i a i b c c              a b       由久期方程： 3 0 0 0  0 0 i i            解出： 1,0, 1    1   代入(1),得： 3 0,c a  ib 由归一化条件 2 2 2 1a b c   得 1 1 1 2 0 i        同理，可得相应本征值 0， 的本征态各为： 1 0 0 0 1         ， 1 1 1 2 0 i        因为 ，2 2S I I 为单位矩阵，所以 1 ， 1 为 2 , ZS S 在笛卡儿表象中共同本征态。  ， 0 考虑到在 2 , ZS S 对角表象中 ZS 的本征态为： 1 1 1 2 0 i        ， 0 0 0 1         ， 1 1 1 2 0 i        故知从此表象到笛卡儿表象的变换矩阵为  1 2 3 1 0 1 1 0 2 0 02 V i i           15 石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之七 自旋 主讲教师 吴海滨 01 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 1 0 1 0 0 02 x x i S VS V i i i i i                                01 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 1 0 1 0 0 02 y y i i S VS V i i i i i                                  16